Измененная функция Лагранжа

Этот изящный математический прием имеет неожиданную и вместе с тем поучительную физическую интерпретацию. То обстоятельство, что после изменения функции Лагранжа L вариационная задача становится свободной, означает, что мы опускаем имеющиеся кинематические связи и рассматриваем механическую систему так, как если бы связей не было. При этом, однако, замена функции V на V означает, что мы добавляем к потенциальной энергии приложенных сил потенциальную энергию сил, обеспечиваюш их удовлетворение заданных связей. Эти силы задаются выражениями [c.169]

Измененная функция Лагранжа. У. Гамильтон преобразует все штрихованные символы 0, ф, . .. в соответствующие символы и, V,. .. Однако можно применить лемму, для того чтобы заменить только некоторые лагранжевы координаты соответствующими гамильтоновыми координатами, оставляя другие неизменными. Можно, таким образом, использовать систему, состоящую из уравнений двух видов. Одна и та же функция позволяет нам использовать уравнения Лагранжа для одних координат, для которых эти уравнения более всего подходят, и уравнения Гамильтона для оставшихся координат, если мы считаем, что такая форма для них предпочтительнее. [c.360]

Функцию 2 можно было бы назвать измененной функцией Лагранжа, но более удобно дать это название функции с обратным знаком. Определение можно повторить следующим образом. [c.361]

Найти общее выражение для измененной функции Лагранжа после того, как выполнено необходимое исключение. [c.362]

Т = + + /20 (и + Х)+ 1/2ф (и + X) +. .. (2) Но по определению измененная функция Лагранжа = — 2 есть = L — — Цф ----- [c.362]

Можно разложить определитель и записать измененную функцию Лагранжа в виде [c.362]

Если система начинает двигаться из состояния покоя, измененная функция Лагранжа приобретает простую форму. Предположим, что функция Лагранжа L есть однородная квадратичная функция переменных 0, ф, . .. Тогда, обращаясь к первым интегралам, найденным выше, и вспоминая, что начальные значения 0, ф, . .. суть все нули, имеем и = О, v — О,... [c.363]

Абсолютно шероховатый горизонтальный диск, свободно вращающийся вокруг вертикальной оси, несет симметричный закрученный волчок Пусть 0 — угол наклона оси волчка к вертикали, а ф — азимут относительно диска вертикальной плоскости, содержащей ось Показать, что измененная функция Лагранжа 2Z имеет вид [c.380]

Найдем соответствующее этому сдвигу бесконечно малое изменение функции Лагранжа системы. Это можно сделать, варьируя лагранжиан по координатам [c.200]

Найдем изменение функции Лагранжа, обусловленное поворотом (в качестве обобщенных координат взяты декартовы координаты точек) [c.201]

Видим, что уравнения Рауса имеют форму уравнений Лагранжа, но роль функции Лагранжа в них играет функция Рауса. После интегрирования уравнений Рауса задача определения закона изменения циклических координат приводится к квадратурам. В самом деле. [c.566]

Обобщённый импульс в аналитической динамике выражается через функцию Лагранжа или через кинетическую энергию. 2. Каждому бесконечно малому преобразованию, вызывающему изменение лагранжиана, соответствует постоянная движения стационарной механической системы в потенциальном поле сил. [c.97]

Выше, перед тем, как получить формулу (34.3), мы уже указывали, что L является функцией от и теперь мы специально подчеркиваем, что функция Лагранжа L не должна явно зависеть от времени t. Тогда соотношение (34.3) будет справедливо не только для виртуальных изменений 5qk и 5qk но и для действительных изменений во времени dq dq таким образом, [c.253]

В гл. III было показано, что диссипативные системы можно включить в измененную схему Лагранжа путем введения новой функции, диссипативной функции Рэлея, в дополнение к собственно функции Лагранжа. [c.68]

Здесь необходимо предупредить читателя, что, хотя эта простая форма функции Лагранжа дает правильные уравнения поля, она неудовлетворительна по другим причинам. Однако ее изменения представляются необходимыми только при выходе за пределы метода Лагранжа и здесь рассматриваться не будут. [c.156]

Рис. 63. Первое прочтение два типа траекторий движения под действием силы тяжести (направленной вниз) при наличии магнитного поля, ортогонального плоскости (промежуточный вариант — траектория типа циклоиды). Наблюдается не падение, а дрейф. Левый рисунок, в отличие от правого, действителен лишь до тех пор, пока модуль начальной скорости не превосходит некоторого предела, при превышении которого траектория сразу пойдет вверх. Второе прочтение рисунка изменение углов прецессии и нутации в случае Лагранжа. Причина качественного сходства траекторий в обеих задачах — наличие линейных по скоростям членов в функциях Лагранжа и Рауса соответственно

Рассмотрим цилиндрическое тело в форме бесконечной толстостенной трубы в цилиндрических координатах г, <р, z. Представим его как объединение дискретных цилиндрических элементов с границей, определяемой координатами Гг==г(0 , t), где лагранже-ва координата 0 введена в начальный момент времени to вдоль радиуса так, что г (В.-, о) = 6,-, i = l, 2,. .., 7V+1. Для цилиндрического сжатия радиальное деформирование определяется изменением функций rj(f) и ненулевыми деформациями Ег, Еф, а для цилиндрического сдвига — изменением функций (p.(i) = 9(0t, t) и ненулевой деформацией Егф. Полагаем массу элементов сосредоточенной в узловых точках г,-, тогда [c.120]

Так как матрица С] диагональная, а ее элементы положительны, то максимальное значение квадратичной формы (10.230), или, что то же самое, квадрата множителя Лагранжа, достигается, когда компоненты вектора Ь принимают максимальные значения, что имеет место при следующих законах изменения функций [c.486]

При помощи этой функции можно получить уравнения движения, не содержащие циклических переменных. Рассмотрим изменение функции Рауса Я при переходе системы в другое, бесконечно близкое состояние. Сообщим величинам q , <7 , Р произвольные бесконечно малые приращения в некоторый момент времени t, что будет соответствовать возможному перемещению системы. При этом изменятся функции и Перемещение системы в соседнее, бесконечно близкое и кинематически возможное в тот же момент времени состояние, называют вариацией состояния систе-м ы. Вариация состояния вызывает соответствующие изменения исследуемых функций (в данном случае функций Рауса и Лагранжа). Линейная часть приращения-функции при вариации состояния системы называется вариацией функции. [c.349]

Теорема об изменении кинетического потенциала. Динамический смысл обобщённой силы для времени. Пусть голо-номная реономная система имеет функцию Лагранжа (кинетический потенциал) в виде полинома второй степени относительно обобщённых скоростей [c.55]

Физический смысл различия между плотностью действия в исходных выражениях (8), (9) и функцией Лагранжа как плотностью действия по Гамильтону состоит в следующем разные знаки соответствуют противоположным тенденциям влияния движения на изменение действия отброшенные слагаемые, степень малости которых выше, чем /( , отражают эффекты, игнорируемые в классической механике наличие постоянного слагаемого представляет интерес в проблеме квантования и применения принципов в задачах на равновесие. [c.59]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

Положим Па (О = О, В1 (л ) = О, так как эти функции не вносят изменений в уравнения (6.57). Обобщенная функция Лагранжа Ь, согласно выражениям (6.61) — (6.64), запишется так [c.167]

Если функция Лагранжа Ь является функцией 0, 0, ф, ф, . .., то тогда функция, измененная для двух координат 0, ф, будет [c.361]

Эга функция может быть теперь использована в качестве функции Лагранжа для определения изменений в треугольнике, образованном тремя точками. [c.365]

Еще одно, полностью отличное от рассмотренных применение вариационных функционалов основано на том факте, что функционал У можно рассматривать как функцию Лагранжа для системы в том смысле, что, если требуется, чтобы функционал был стационарным для малых, но произвольных изменений функций Ф и Ф+, то можно найти уравнения, которые удовлетворяются обеими функциями Ф и.,Ф+. Покажем, что этот метод приводит к систематическому способу получения приближений к уравнению переноса [32]. [c.239]

В соответствии с принципом Гамильтона, используемым в механике, интеграл от функции Лагранжа по времени в пределах между двумя фиксированными точками должен быть стационарен при изменении траектории системы относительно истинной на небольшую, но произвольную величину. Из этого принципа можно вывести уравнения, которые должны удовлетворяться вдоль истинной траектории. Они называются уравнениями Эйлера и для простой механической системы представляют собой просто законы движения Ньютона [33]. [c.239]

Наряду с переменными Эйлера часто пользуются переменными Лагранжа. В отличие от переменных Эйлера переменные Лагранжа связаны не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей вещества. Наблюдение ведется не за точками физического пространства, а за фиксированными частицами среды. Газодинамические и тепловые величины, выраженные как функции лагранже-вых координат, характеризуют изменение плотности, давления, скорости и температуры каждой частицы вещества с течением времени. [c.15]

При умножении функций Лагранжа разных систем на произвольные множители это равенство разрушилось бы. Таким образом, у нас остается только возможность одновременного умножения всех функций Лагранжа на одну и ту же константу — но такая операция сводится по существу к изменению системы единиц. [c.19]

Во-вторых, для того специального класса динамических систем, которые описываются функциями Лагранжа типа (7), инвариантность уравнений относительно преобразований Галилея вообще не ведет ни к каким новым следствиям. Дело в том, что при преобразовании Галилея, как уже отмечалось при обсуждении преобразования энергии, второй член в выражении (7) вовсе не испытывает никаких изменений, и все сводится к изменению кинетической энергии, которая при выполнении допущения (7) есть просто сумма кинетических энергий отдельных материальных точек системы. А вид кинетической энергии одной свободной материальной точки как раз и устанавливался в 4 исходя из требования максимально допустимого изменения при преобразовании Галилея — т. е. изменения на полную производную. [c.42]

От координаты К второй член здесь зависеть не может, так как иначе уравнение Лагранжа — Эйлера по этой степени свободы приводило бы к изменению полного импульса со временем.) Это и есть наиболее общая функция Лагранжа, удовлетворяющая требованиям принципа относительности Галилея и асимптотической аддитивности. [c.50]

Можно также модифицировать функцию Лагранжа по отношению к 0. Чтобы это осуществить, полагаем м= дТ1дв= PQ + .Замечаем, что поскольку силовая функция U не зависит от 6, то и, согласно п. 422, есть постоянная. Составим измененную функцию Лагранжа [c.365]

Решение. Как известно из механики, де11ствующий на тело момент сил М определяется по его функции Лагранжа (в данном случае — по энергии Е) соотношением 6Е М60, где 60 — вектор бесконечно малого угла поворота тела, а б — изменение при этом повороте. Вместо того чтобы поворачивать тело на угол 60 (и соответственно менять компоненты т.. ), можно повернуть на угол — 60 жидкость относительно тела и соответственно из меиить скорость и. Имеем при повороте би = — [б0и], так что [c.54]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемой системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы прцдем к так называемым обобщенным уравнениям движения. [c.32]

Таким образом, условие (5.16) означает дифференцирование при постоянных токах. В этом случае бЛ = 6L, где слева стоит выражение элементарной работы, а справа — изменение (вариация) функции Лагранжа Но, поскольку функция э в дискретном описании зависит лишь от параметров х,, характеризующих токи, и координат X", характеризующих взаимное положение объемных проводников, условие (5.16) означает, что вариация производится при Хг = onst, т. е. варьируются лишь координаты х ". Следовательно, вариация ЬЬд имеет вид [c.449]

Пример. Пусть М — область в координатном пространстве с координатами д = (5 ,. . ., д ). Функция Лагранжа ТМ К заппсывается в виде функции 2п координат Ь (д, д). Как доказано в 12, изменение координат движущейся точки со временем удовлетворяет уравнениям Лагранжа. [c.77]

Измеяеиная функция Лагранжа ). Еслн некоторые из координат входят в функцию Лагранжа только через свои скорости (т. е. производные по времени), то соответствующие им импульсы будут постоянны во все время движения. Как объяснено в т. I, п. 422, в этом случае иногда оказывается удобным исключить эти скорости путем изменения функции Лаграижа и использования измененной таким образом функцни в обычных уравнениях Лагранжа. Предположим, что в выражении для L некоторые из координат, скажем q-y, qi,. .. отсутствуют, ио в тнчины < i, < 2, присутствуют, в то время как для оставшихся коордииат, 11. I2. такого ограничения нет. [c.342]

Для формулировки удобно перейти от гамильтонова описания движения к лагранжевому. Пусть Н(р,д)—гамильтониан системы с п степенями свободы. Предположим, что из соотношения г=дН р,д)/др можно выразить р = р г,д). Тогда изменение со временем величин д, г = д описывается лагранжевыми уравнениями с функцией Лагранжа [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...