Энергия колебаний решетки. Теплоемкость

ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ 141 [c.141]

Энергия колебаний решетки. Теплоемкость [c.141]

ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ 143 [c.143]

Для упрощения А. Эйнштейн предположил, что ЗЫ колебаний N атомов кристалла имеют одинаковую угловую частоту (1)Е и рассматривал ее как регулируемый параметр, с помощью которого обеспечивается согласие между теоретической и находимой в эксперименте теплоемкостью кристалла. Поэтому, если каждому нормальному колебанию отвечает одно и то же значение энергии Е, согласно (1.30) полная энергия колебаний решетки должна быть [c.38]

Энергия нулевых колебаний квантового гармонического осциллятора существует при всех температурах, включая и абсолютный нуль, и не зависит от нее. Добавление этого слагаемого в выражение энергии колебаний решетки не влияет на величину теплоемкости. [c.38]

В качестве первого применения понятия фононов в 32 рассмотрим энергию колебаний решетки и теплоемкость. В 33 коснемся решения дисперсионных соотношений для фононов. Аналогично тому как из зонной модели для электронов следует плотность состояний одноэлектронного приближения, так из дисперсионного спектра для фононов получается соответствующая плотность состояний. Из-за большого сходства обоих случаев мы сможем быть краткими при обсуждении этого вопроса в 34. [c.130]

Говоря о теплоемкости, будем иметь в виДу теплоемкость при постоянном объеме v, которая является более фундаментальной величиной, чем теплоемкость при постоянном давлении Ср, обычно определяемую в экспериментах. Однако разность Ср—С часто мала из-за ничтожно малого теплового расширения твердых тел. Если полная энергия колебаний кристаллической решетки (на 1 г, 1 см или на 1 моль) есть и, то теплоемкость решетки при постоянном [c.35]

Согласно классической теории колебаний кристаллической решетки (гл. I, 9) простые металлы (литий, натрий, калий, цезий, рубидий) должны иметь теплоемкость, равную примерно 25 Дж/(моль-К). Однако в суммарную теплоемкость, кроме колебаний решетки, должны были бы делать вклад и валентные (свободные) электроны, так как их кинетическая энергия при повышении температуры может возрастать. Если каждый электрон дает вклад в теплоемкость независимо от остальных электронов, то его можно рассматривать как атом моноатомного газа и считать его тепловой энергией величину 3/2 коТ. Поэтому следует ожидать, что вклад в теплоемкость от одного электрона равен 3/2ко. Электронная теплоемкость одного моля> электронов должна составить примерно 12,5 Дж/(моль-К), и, следовательно, полная теплоемкость простого одновалентного металла (теплоемкость решетки и электронов) должна бы равняться примерно 37,5 Дж/(моль-К). Эксперименты показывают, что это значение слишком велико наблюдаемые значения теплоемкости почти никогда не превышают 25 Дж/(моль-К). [c.124]

Соотношение (5.2) для энергии колебаний в моде частоты ю аналогично выражению для энергии фотонов (квантов света). Это позволяет рассматривать моду как квазичастицу, называемую тепловым фононом. Введение этого нового понятия является весьма плодотворным и, с математической точки зрения, значительно облегчает анализ тепловых колебаний кристаллической решетки. Представление о фононном газе в твердом теле широко используется при описании таких свойств, как теплоемкость, теплопроводность, тепловое расширение, электрическое сопротивление и др. В физике используются и другие квазичастицы плазмой (волна электронной плотности), магнон (волна перемагничивания), полярой (электрон + упругая деформация), экситон (волна поляризации среды). Эти квазичастицы являются модами соответствующих колебаний. [c.92]

Если рассматривать свободные электроны как классический идеальный газ, то вклад от степеней свободы, связанных с поступательным движением электронов, в Су — молярную теплоемкость при постоянном объеме — будет равен ЗЛ/2 в соответствии с законом о равномерном распределении энергии. Вместе с тем колебания решетки металла обладают ЪЫ — 6 2>М Ма — число Авогадро) степенями свободы на моль и могут рассматриваться как система 3 о гармонических осцилляторов. Считая, что они описываются классической статистикой, получаем вклад колебаний решетки в Су, равный ЪК, а в сумме получаем для атомной теплоемкости металла значение 4,5 К. [c.287]

Допуская возможность существования кластеров в кристалле, мы должны рассматривать их колебания как новый тип тепловых дефектов решетки [512]. В этой связи представляют интерес выявленные расчетом [581—583], а затем экспериментально обнаруженные [584, 585] у ряда чистых отожженных металлов тепловые дефекты неизвестной природы с энергией образования 0,2 эВ, которые могут быть обусловлены тепловым возбуждением атомных групп [585]. Все более возрастаюш ее превышение макроскопического теплового расширения кристаллов А1 [541, 542] и Na [586] над расширением решетки по мере приближения к точке плавления, аномальный рост удельной теплоемкости [587—590], электросопротивления [590, 591] и скорости самодиффузии атомов [592, 593] вблизи точки плавления щелочных металлов, обычно приписываемые развитию вакансий в решетке, с равным успехом могут быть объяснены все более отчетливым дроблением вещества на кластеры, разделенные аморфными прослойками атомов и совершающие колебательные движения. [c.206]

Рассмотрим сначала характер беспорядочного теплового движения в газе или твердом теле при приближении температуры к абсолютному нулю. В классической теории, где степени свободы считаются, а не взвешиваются , справедлив закон равнораспределения энергии, который приводит к постоянной величине удельной теплоемкости. Число степеней свободы системы не меняется с температурой и при температурах, близких к абсолютному нулю, она имеет столько же степеней свободы, сколько и при высоких температурах. В классической теории при рассмотрении энергии неупорядоченного движения не существует низких температур. В квантовой теории картина совершенно иная, так как колебания кристаллической решетки уже не могут получать произвольные приращения энергии. Дозволены только дискретные состояния возбуждения, и при понижении температуры все большее число степеней свободы оказывается замороженным . Во многих отношениях положение вещей аналогично тому, которое имеет место при возбуждении состояний атомов и молекул с высокой энергией. [c.280]

Теплоемкость твердого тела, обусловленная увеличением колебательной энергии решетки при поглощении тепла, описывается эмпирическим законом Дюлонга и Пти Легко показать, что изменение внутренней энергии системы, состоящей из N М —число Авогадро) независимых гармонических осцилляторов, имеющих одинаковую частоту, подчиняется этому закону. При низких температурах СУ быстро падает, и модель простого гармонического осциллятора не позволяет объяснить этого явления. Эйнштейн показал, что этот эффект качественно объясняется при рассмотрении квантовых осцилляторов, хотя падение Су До нуля происходит слишком быстро. Количественное описание теплоемкости с учетом того, что осцилляторы связаны и колеблются с разными частотами, дает теория Дебая — Борна и Кармана. Для низких температур они определяют температурную зависимость теплоемкости как Су—аТ полученные расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными, причем основной вклад при этом вносят низкочастотные колебания осцилляторов. [c.84]

Теоретическое исследование температурной зависимости электрического сопротивления в значительной степени аналогично исследованию температурной зависимости теплоемкости, но отличается некоторыми дополнительными осложнениями. Для проведения такого исследования необходимы сведения не только о колебаниях решетки, но и о механизме взаимодействия между электронами и ионами, или, как говорят, о рассеянии электронов. Последний вопрос в свою очередь включает некоторые детали поведения самой совокупности электронов. Введенное Планком представление о нулевой энергии колебаний решетки не повлияло на теорию теплоемкости твердых тел много позже было выяснено, что нулевые колебания решетки не вносят вклад и в электрическое сопротивление металла (Блох, Хаустон и Зоммер-фельд). В настоящее время можно с полным основанием утверждать, что механизм электрического сопротивления, обусловленного колебаниями решетки, предложенный в работах периода 1927—1932 гг., в общих чертах был правилен (хотя этого нельзя сказать относительно некоторых вопросов в теории теплопроводности и термоэлектричества). Тем не менее оставалось много вопросов, в которых численное согласие расчетов с экспериментом и детальное понимание процессов были далеко недостаточными. Таким образом, хотя расчет теплоемкости простых твердых тел не вызывает сомнения, однако относительно электрического сопротивления простого металла этого сказать нельзя. [c.187]

Последнее обстоятельство объясняет феномен, который долгое время оставался непонятным почему электронный газ не дает вклада в теплоемкость металлов Допустим, что каждый атом имеет три колебательные степени свободы и что для изучения колебательного движения применима классическая механика. (Это справедливо для температур, далеких от абсолютного нуля.) Тогда по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы получим энергию колебаний решетки = 3NkT и теплоемкость решетки дЕ [c.162]

Несмотря на малую велЕгчину вклада теплоемкости электронного газа в общую теплоемкость металла, его можно обнаружить при измерениях вблизи абсолютного нуля, так как основной вклад в теплоемкость за счет ко.ле-баний атомов решетки при этих температурах стремится к нулю по закону 7 , т. е. быстрее, чем Су. Таким образом, при очень низких температурах полная теплоемкость Су равна Су = аТ - -уТ, где первое слагаемое — теплоемкость за счет изменения энергии колебания атомов, второе — теплоемкость электронного газа. [c.276]

Величину электронного вклада можно обнаружить вблизи абсолютного нуля, так как при этих температурах вклад в теплоемкость за счет колебаний атомов решетки стремится к нулю быстрее, а именно, по закону Г . Таким образом, при низких температурах для полной теплоемкости Су получаем Су = аТ + уТ, где первое слагаемое — теплоемкость за счет изменения энергии колебания атомов, второе — теплоемкость электронного газа, коэффициент 7 = n kRI2Ep. [c.49]

Третье из этих замечаний означает, что формулы для излучения черного тела всегда соответствуют по своему виду пределу крайне низких температур для кристаллов. Это вполне разумно, поскольку у подавляющего большинства (бесконечно большого числа) нормальных мод поля излучения величина Нек больше квТ, какой бы высокой ни была температура. В сочетании с точной линейностью по к закона дисперсии фотонов отсюда следует, что мы всегда находимся в области, где теплоемкость строго кубична. Поэтому мы можем получить точную формулу для плотности тепловой энергии излучения черного-тела, воспользовавшись выражением (23.20) для низкотемпературной удельной теплоемкости = duloT, связанной с колебаниями решетки. Для этого достаточно считать с скоростью света и умножить выражение (23.20) на Vg (чтобы исключить вклад продольной акустической ветви). В результате получаем закон Стефана — Больцмана [c.95]

При рассмотрении колебаний атомов кристаллической решетки а также теплоемкости твердых тел, связанной с этими колебания ми, предполагалось, что силы, действующие между атомами, упру гие и атомы совершают гармонические колебания с малыми ам плитудами около их средних положений равновесия. Это позволи ло разделить весь спектр колебаний на независимые моды, рассчи тать в этом приближении тепловую энергию кристалла и получить формулу для теплоемкости, хорошо описывающую ее поведение при низких и высоких температурах. Однако для объяснения ряда явлений, таких, например, как тепловое расширение твердых тел и теплопроводность, сделанных предположений уже недостаточно и необходимо принимать во внимание тот факт, что силы взаимодействия между атомами в решетке не совсем упругие, т. е. они зависят от смещения атомов из положения равновесия не линейно, а содержат ангармонические члены второй и более высоких степеней, влияние которых возрастает с ростом температуры. [c.183]

Зная среднюю энергию нормального колебания (4.18), можно определить тепловую энергию решетки реш и ее теплоемкость v = dEpemldT. [c.132]

Объяснение правил Дюлонга и Пти и Неймана — Копна можно получить из классической кинетической теории, по которой на основе закона о равномернодм распределении энергии на каждую из степеней свободы в расчете на один моль приходится теплоемкость С,, равная /г Я- Поскольку для колебаний атомов или ионов в кристаллической решетке твердых тел следует принять шесть степеней свободы (три из них относятся к кинетической и три — к потенциальной энергиям), получаем, что для одного грамм-атома [c.259]

Поэтому мольная теплоемкость (теплоемкость одного моля) металла, помимо величины 3/ , которая отражает колебания кристаллической решетки, должна также включать и величину 3/ /2, учитываюшую энергию движения свободных электронов. Между тем если провести практические измерения мольной теплоемкости металлов, то правило Дюлонга — Пти выполняется так же, как и в случае неметаллов, а энергия движения электронов оказывается почти не связанной с мольной теплоемкостью. Это можно было бы объяснить значительно меньшим числом свободных электронов по сравнению с числом атомов, но для легких веществ, несущих электрический заряд, таких как щелочные металлы, серебро, медь, такое объяснение не пригодно. Кроме того, выдвинутое предположение входит в противоречие с наличием таких принципиальных свойств металлов, как электропроводность и теплопроводность. Вместе с тем для объяснения термоэлектронной эмиссии представление свободных электронов в виде частиц, подобных молекулам газа, не годится. [c.352]

Оценим длину свободного пробега фононов в рассматриваемой области температур. Согласно элементарному газокинетическому соотношению (7,10), х vl, где С—теплоемкость (отнесенная к единице объема), и—средняя скорость носителей энергии, I—длина их пробега. Теплоемкость кристалла при высоких температурах постоянна постоянна и скорость фононов, которую можно оценить как скорость звука и. Тогда мы видим, что длина пробега / оо 1/7 . Длина I должна была бы стать порядка постоянной решетки d при температурах настолько высоких, что амплитуда колебаний атомов тоже стала бы d. Согласно оценке [c.352]

Фононы (см. разд. 3.4.) с энергией (где > — частота колебаний осциллятора) распространяются по кристаллу в направлении температурного градиента, рассеиваясь на дефектах и других фононах, и переносят тепло по кристаллу. Как и при определении теплоемкости,, здесь необходимо учитывать вклад электронов проводимости в теплопроводность. Как электропроводность, электронная составляющая теплопроводности определяется рассеянием электронов на дефектах решетки. Относительный вклад в теплопроводность электронов и фюнонов для разных кристаллов различен. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...