ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об устойчивости точек либрации из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Предполагая, что в общей ограниченной задаче выполняются условия, обеспечивающие существование лагранжевых или эйлеровых решений, представляющихся в координатах Нехвила точками либрации, мы можем теперь поставить задачу об устойчивости этих решений в смысле Ляпунова. Решение этой задачи (когда это возможно) дает представление о характере решений уравнений возмущенного движения (5.47), близких к какому-либо либрационному решению, соответствующему какой-либо из возможных точек либрации, координаты которой обращают в нуль правые части уравнений (5.47) при любом значении независимой переменной v. Однако задача об устойчивости точек либрации, т. е. задача об устойчивости нулевого решения системы (5.47), вообще чрезвычайно сложна и решение ее в самом общем виде, т. е. при любых законах действующих сил, вряд ли может быть выполнено и доведено до конца. [c.249] Но в некоторых частных случаях решение задачи об устойчивости точек либрации оказывается возможным хотя бы в первом приближении, и к рассмотрению таких случаев мы теперь и перейдем. [c.249] Предположим далее, что функции Fij не зависят явно от времени t и ограничимся случаем плоской задачи, когда переменная 2 в уравнениях (5.47) равна нулю. [c.249] Чтобы получить интеграл уравнений (5.47), нужно в (5.30) положить 2 = 0, затем перейти к переменным Нехвила подстановкой (5.19) и, наконец, подстановкой (5.46) перейти к системе четвертого порядка, определяющей отклонения от точки либрации. [c.249] При этом нужно не упускать из вида, что буквы х, у, г я X, У, Z обозначают в уравнениях (5.11) и (5.47) совершенно разные величины. В уравнениях (5.11) эти буквы обозначают координаты и составляющие сил точки М. во вращающихся осях, а в уравнениях (5.47) те же буквы обозначают отклонения от координат точек либрации в системе Нехвила и правые части полученных уравнений возмущенного движения в той же системе. [c.249] Очевидно, что функция R(x, у) есть знакоопределенная, отрицательная функция, и устойчивость точки либрации обеспечена. [c.251] Если функция R x, у) не окажется знакоопределенной отрицательной, то теорема Ляпунова неприменима и вопрос об устойчивости останется открытым. [c.251] Предположим при этом, что задача круговая и что действующие силы не содержат явно время t, а значит, и переменную V, которая для круговой задачи просто пропорциональна времени (v = nt). [c.252] Тогда все коэффициенты уравнений в вариациях являются вещественными постоянными, и вопрос об устойчивости сводится к рассмотрению характеристического (или, что то же, определяющего) уравнения, соответствующего уравнениям с постоянными коэффициентами, и установлению природы его корней. [c.252] Это заключение остается верным и в том случае, когда коэффициенты членов высших порядков будут функциями V, лишь бы они оставались непрерывными и ограниченными функциями при всех значениях и. [c.252] Случай такого рода мы будем иметь тогда, когда функции F20 и / 21 зависят только от расстояний г и А соответственно, в частности, для случая закона Ньютона, а также закона Вебера, когда в функции F20, F21 входят квадраты производных г и A. [c.253] Рассмотрим тогда уравнение (5.66 ) как квадратное относительно Если оно имеет хотя бы один вещественный положительный корень или два комплексных сопряженных, то уравнение (5.66) относительно К будет иметь корни с положительными вещественными частями и нулевое решение системы (5.55) будет неустойчиво. Следовательно, и нулевое решение системы (5.48) также будет неустойчивым, каковы бы ни были члены высших порядков в этих уравнениях. [c.253] Поэтому для устойчивости нулевого решения системы (5.55) необходимо (но недостаточно), чтобы оба корня уравнения (5.66 ), рассматриваемого как квадратное, были вещественными и отрицательными. Тогда все корни уравнения (5.66 ), относительно X, будут чисто мнимыми, попарно сопряженными и задача об устойчивости будет представлять особенный случай теоремы Ляпунова. [c.253] В качестве полезного примера рассмотрим вопрос об устойчивости прямолинейных точек либрации, когда в системе царствует закон Вебера с постоянными / и а. Ньютоновский случай получится, как уже отмечалось выше, при а = о°. [c.254] Тогда уравнения в вариациях примут вид (5.59), где Аг определяется формулой (5.56) и есть величина всегда положительная. Поэтому уравнение (5.65) для каждой из точек (1 ) (/ = 1, 2, 3) имеет два сопряженных чисто мнимых корня. [c.254] Нетрудно показать, используя формулы (5.56 ) и уравнение (5.38), где нужно положить N = — 3, что А, 1. [c.254] Отсюда следует, что уравнение (5.66), рассматриваемое относительно имеет вещественные корни, причем из (5.68) следует, что один корень положителен, а другой отрицателен. [c.254] Следовательно, в ньютоновском случае уравнение (5.66 ) имеет пару сопряженных чисто мнимых корней и два вещественных, из которых один отрицателен, а другой — положителен. Это показывает, что в ньютоновском случае каждая из прямолинейных точек либрации неустойчива, т. е. каждое из трех эйлеровых решений также неустойчиво. В случае закона Вебера скорость распространения действия должна быть достаточно велика (порядка скорости света), а поэтому каждая из величин численно весьма мала. [c.254] Поэтому для каждой прямолинейной точки либрации уравнение (5.66 ) будет иметь один корень, весьма мало отличающийся от положительного корня в ньютоновском случае. Следовательно, и в случае закона Вебера каждая из трех прямолинейных точек либрации тоже неустойчива. [c.254] Характеристическое уравнение, соответствующее системе (5.69), имеет такой же вид, как и характеристическое уравнение для случая N — 3, только с заменой Л,- на Я,-. [c.255] Вернуться к основной статье