Интегрируемый случай

Эллипсоид инерции тела в точке О представляет собой эллипсоид вращения вокруг оси Oz с отношением полуосей 1 1 V2 центр тяжести этогО тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (в точке х — = —а, у = 0). Если в точке О поместить острие, предоставив телу возможность вращаться вокруг этого острия, то придем к реализации классического интегрируемого случая вращения твердого тела под действием силы тяжести, открытого С. В. Ковалевской (1850—1891) ). [c.294]

Другой легко интегрируемый случай получается при п=1, т. е. при линейном законе изменения силы. В этом случае уравнение (3.39) можно записать в виде [c.89]

Уравнения (9.3) и (9.4) наталкивают на мысль распространить на н интегрируемый случай определения, обоснованные для интегрируемого случая. Так, мы полагаем [c.33]

Это и есть известный случай Лиувилля интегрирования уравнений Гамильтона. Несколько более сложный интегрируемый случай получается, если возможно разбить функции gi, gz,----, gn на такие две группы [c.24]

Рассматривая пространственные симметрические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия, Ю. Д. Соколов установил, что, за исключением легко интегрируемого случая / (г) = Аг, единственно возможными видами таких движений являются указанные П. В. Воронцом вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси симметрии и оси, па-раллельной основанию, а также плоское движение с осью симметрии в соответствующей плоскости. Им исследованы плоские и пространственные томографические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия. В частности, он доказал невозможность гомографического движения для степенного закона взаимодействия, отличного от закона Ньютона. [c.111]

При к = О имеем интегрируемый случай независимое движение Рис. 2 точек по инерции. [c.22]

Когда /X = О, имеем интегрируемый случай — математический маятник. В этой интегрируемой задаче можно перейти к переменным действие-угол I, ср. Они определяются из следующих соотношений [c.31]

Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение интегрируемого случая Эйлера-Пуансо впервые поставлена А. Пуанкаре в пятой главе Новых методов небесной механики . [c.53]

Пуанкаре принадлежит важное замечание о том, что в некоторых канонических переменных I, ср гамильтониан свободного вращения твердого тела имеет вид 3 1х, /2). Им же введена функция а(25 // А, В, С) отношения а/27г суть числа вращения [опять-таки определенные впервые Пуанкаре) на двумерных торах интегрируемого случая Эйлера-Пуансо. Пуанкаре первым указал вид разложения возмущающей функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным ср, ср2- Ссы- [c.53]

Случай Горячева — Чаплыгина (1900 г.) 1 = I2 = 41-з, гз = = О, с = = 0. В отличие от случаев 1)-3), мы имеем здесь интегрируемый случай на одном интегральном уровне Iq. [c.89]

Угловыми скобками (, ) будем обозначать скалярное произведение, задаваемое внутренней метрикой Яо. Пусть Д — спектр многочлена Н (см. 5). Оставляя в стороне тривиальный интегрируемый случай, когда все точки из Д С 2" лежат на одной прямой, будем предполагать, что Д содержит по крайней мере два линейно независимых элемента. Поэтому можно определить верь шину а множества Д и присоединенную вершину (3 (см. 5). Векторы а и /3 линейно независимы. [c.242]

Здесь т = lev — кинетический момент тела числа а, 2, з об-ратны главным моментам инерции. При е = О будем иметь интегрируемый случай Эйлера. В этой невозмущенной задаче на всех некритических трехмерных поверхностях уровня [c.268]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

Интегральный инвариант 31 Интегрируемый случай Горячева — Чаплыгина 89 [c.427]

Глава 4. Семейства портретов и интегрируемые случай систем... [c.164]

Они принадлежат к тому же типу, что прежние, но имеют точку обобщенного равновесия в начале координат при всех малых значениях параметра с. Решение в формальных рядах такой системы дифференциальных уравнений, разумеется, содержит параметр с. Именно такого рода формальные ряды оказываются часто полезными в приложениях при этом равенство нулю параметров, аналогичных с, может соответствовать специальному интегрируемому случаю динамической проблемы, когда периодическое движение, из которого мы исходим, может быть выражено в явном виде. [c.151]

Интегрируемый случай. Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи . Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, 6). Этот пример является еще болсс конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине. [c.249]

Многообразие Му имеет основное значение для проблемы трех тел, но, насколько я знаю, оно нигде не было изучено даже в связи с такими элементарными вопросами, как связность. В работе Пуанкаре доказывается существование известных периодических движений, т.е. известных замкнутых линий потока в Му, получаемых методом аналитического продолжения из предельного интегрируемого случая задачи трех тел им были также рассмотрены (в связи с разложением в формальные ряды) соседние движения, т.е. торообразные окрестности таких замкнутых линий потока, но Пуанкаре не рассматривал многообразия Му в целом. [c.284]

Эти траектории в некотором смысле представляют всю сложность интегрируемого случая Ковалевской, некоторые движения в котором имеют визуально хаотический характер (в абсолютном пространстве движение выглядит еще более неупорядоченным). [c.129]

Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т.е. (М,7) = 0. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов инерции теперь равно не двум, а четырем — = 4. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид [c.132]

В. В. Соколова [157], нашедшего новый интегрируемый случай уравнений Кирхгофа с интегралом четвертой степени (см. таблицу 3.1). Этот результат позволил также построить аналогичный новый случай в уравнениях Пуанкаре-Жуковского (см. 2). Более подробнее описание этих случаев мы приводим в 12 гл. 5. Они оказались неожиданными и замечательными, но нуждаются в дополнительных исследованиях. [c.170]

Представление Лакса для этого интегрируемого случая приведено в [208]. [c.179]

Общий интегрируемый случай (7), обнаруженный авторами совместно с В. В. Соколовым, более подробно рассмотрен в 12 гл. 5. [c.186]

X О получим интегрируемый случай уравнений Кирхгофа с линейными интегралами, причем его кинетическая энергия равна нулю. [c.196]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

Уравнение (2.3.8) — уравнение типа Хилла (с периодическими коэффициентами), в котором имеется периодическая правая часть. Если исключить просто интегрируемый случай Az =l, который, как будет показано ниже, является резонансным случаем, то уравнение (2.3.8) не интегрируется при ei O. Поэтому для решения уравнения (2.3.8) следует применять приближенные методы. При е< п удобно применить для решения уравнения метод Крылова — Боголюбова [19], взяв в качестве малого параметра эксцентриситет орбиты е. [c.73]

Замечание. Если А = В и х = О, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрущатся при добавлении возмущения они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений. [c.95]

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При к > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые песамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57] . Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. 2, 3 гл. IV). [c.145]

Положим V = (/1X1-1-/2X2-1-/3X3). Получим задачу Бруна, уравнения которой, по аналогии Стеклова, тождественны уравнениям интегрируемого случая Клебша уравнений Кирхгофа. Если поло- жить теперь /1 = а, /2 = 6, /3 = с, то гамильтониан Е будет равен С/2 - гГ. Ясно, что Е = 0 и Я = абсе — тождественные гиперповерхности в К = р, х . Покажем, что возникающие на них [c.94]

Заметим, что матрица В в интегрируемом случае Стеклова определяется условием (4.2) (см. соотношение (5.6) гл. II). Условие (4.3) дает интегрируемый случай Клебша (см. (5.5) в гл. II). Интересно отметить совпадение вида условий (4.2) и (4.3). [c.280]

Еще один способ обнаружения гомоклинной структуры предложен в [87]. Пусть а = а2 ф a-i, В = О, С = diag( i, 2, 3) и i = С2 -Ь е. При.е = О имеем интегрируемый случай Кирхгофа. В этой невозмущенной задаче имеются неустойчивые периодические траектории и гомоклинные решения. С помощью результатов 1 можно установить расщепление сепаратрис при малых ненулевых значениях е. В [150] рассмотрена более общая задача, в которой матрица С имеет недиагональные элементы порядка е. [c.286]

Пусть I = diag(/i,/2,- 3)- При /i = /2 имеем интегрируемый случай Кирхгофа (новым интегралом будет /3W3 + 73) он отмечен и исследован в [151]. Рассмотрим теперь общий случай, когда все главные моменты инерции /. различны. Пользуясь теоремой 1, запишем (4.2) в предположении (4.12) [c.287]

Нашей задачей является найти выражение для энергии деформации балки. Техническая теория изгиба балок основывается на представлении, что деформация балки, если пренебречь очень малыми величинами, определяется деформацией ее средней линии ( / == г = 0). К выражению для работы деформации можно притти, лнбо делая специальные допущения относительно деформации, например, что поперечные сечения балки, перпендикулярные к средней линии, остаются и при изгибе к ней перпендикулярными и плоскими, либо выбирая строго интегрируемый случай, и распространяя получающееся из него выражение для работы деформации на общий случай изгиба. Мы остановимся на последнем методе и для простоты будем рассматривать перемещения средней линии только в направлении оси общий случай получается отсюда наложением друг на друга напряжений и деформаций. [c.70]

Рис. 63. Неустойчивость интегрируемого случая Ковалевской. Фазовый портрет (сечения плоскостью g = тг/2) возмущения случая Ковалевской при небольшом отклонении от динамической симметрии А = diag(l,o,2). Периодическое решение Бобылева - Стеклова сохраняется при любом значении а, на фазовом портрете ему соответствует неподвижная точка I = тг/2, L/G = 0. Значения интегралов энергии и площадей h = 4, с = 1. (Видна бифуркация удвоения периода.)

Эта задача рассматривалась Бруном [198]. Ф. Тиссеран рассматривал ту же задачу в связи с движением твердого тела под действием ньютоновского гравитирующего центра [275]. При этом квадратичный потенциал в (1.4) появляется как квадрупольное приближение в разложении ньютоновского потенциала по отношению размеров тела к удалению от ньютоновского центра. Оказывается, что задача Бруна эквивалентна интегрируемому случаю Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 4 гл. 3). Эта аналогия (1.4) была замечена В. А. Стекловым [272]. [c.166]

Связь этой системы с динамикой твердого тела в суперпозиции однородных полей указана в 1 гл. 4 в этом параграфе также показано, каким образом этот случай может быть продолжен до общего интегрируемого случая в кватернионных уравнениях, являющегося непосредственным обобщением случая Ковалевской. Случай Чаплыгина допускает также добавление гиростата вдоль оси динамической симметрии ( 1 гл. 4). Кроме того, на нулевой постоянной площадей интегрируется система, потенциальная энергия которой представляет собой суперпозицию случаев Чаплыгина и Ковалевской ( 7 гл. 5). [c.176]

Как будет показано далее, эта система является интегрируемой (случай Шоттки-Манакова). Система (2.11) описывает также интегрируемый геодезический поток некоторой метрики на группе [c.184]

В 1891 г. Ф. Шоттки в работе [265] открыл первый интегрируемый случай системы (2.8) и заметил его связь со случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. При этом В = О и гамильтониан задается формулой (2.11), а коэффициенты матриц А, С удовлетворяют соотношениям (2.12) с произвольными параметрами /л = О,..., 3. Этот случай обычно также связывают с именем С. В. Манакова, который показал интегрируемость его п-мерного аналога (1976, [121]). [c.187]

Замечание 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван Мёрбеке [187, 186, 185], где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах [37,38]. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) к должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом к должно быть рациональным. [c.190]

Смотреть страницы где упоминается термин Интегрируемый случай : [c.249] [c.102] [c.141] [c.324] [c.176] [c.22] [c.163]

Смотреть главы в:

Динамические системы -> Интегрируемый случай

~~ПОИСК~~

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...