ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрируемый случай из "Динамические системы " Из элементарной геометрии известно, что если какой-нибудь отрезок этой ломаной проходит через фокус эллипса, то все последующие и предыдущие отрезки этой ломаной будут проходить поочередно через оба фокуса эллипса, как бы далеко мы их ни взяли. Другое общеизвестное свойство состоит в том, что если мы построим систему эллипсов и гипербол, конфокальных с границей бильярдного стола, то последовательные отрезки нашей ломаной или их продолжения будут касаться одного и того же эллипса или гиперболы нашей системы конфокальных конических ссчений ссли эти точки касания лежат на эллипсе, то бильярдный шар будет двигаться кругом стола все время в одном и том же направлении если же эти точки лежат на гиперболе, то последовательные точки касания лежат поочередно на ее двух ветвях, а последовательные отрезки лежат между ее ветвями большая и малая оси эллипса, ограничивающего стол, образуют два предельных случая периодического движения. [c.249] Для любых р, ), где + тт и р могут быть рассматриваемы как полярные координаты точки на кольцеобразной секущей поверхпости (рис. 10), существует одно и только одно исходное состояние движения шара и существует непосредственно следующее состояние (ч 1, рх). Таким образом, определяется преобразование Т, переводящее , р) в ( 1, Рх). Мы ПС будем заниматься здесь выводом формул, выражающих Х, Рх через р, хотя эти формулы могут быть получены прямо или как предельный случай формул, появляющихся в геодезической проблеме на эллипсоиде. Такие явные формулы не нужны для наших целей. [c.250] Мы хотим определить качественный характер преобразования Г в этом интегрируемом случае. [c.250] Прежде всего, движение бильярдного шара вокруг стола в каком-нибудь из двух противоположных направлений, очевидпо, соответствует последовательности точек на одной замкнутой аналитической кривой, лежащей вблизи кривой соответственно = О или = тг, в зависимости от направления движения, т.е. от того, возрастает или убывает р оба предельных случая ( = О и = тг соответствуют катанию бильярдного шара вокруг стола вдоль его эллиптической границы в двух противоположных направлениях. Таким образом, мы получаем два аналитических семейства кривых, сходящихся соответственно к кривым = О и = тг, которые остаются инвариантными при преобразовании Т. Согласно результатам, полученным в главе VI, преобразование Т оставляет па месте точки кривой = О, но поворачивает точки, лежащие на кривой = тг, на угол, равный 2тг. [c.250] Очевидпо, что предельным случаем любого из этих четырех типов движения будет упомянутый вначале случай, когда прямолинейные отрезки проходят через фокусы. Но исходные состояния движения, соответствующие прохождению через какой-нибудь фокус, соответствуют одной замкнутой аналитической кривой, и эти две кривые имеют две общие точки, а именно точки ]У1 = (тг/2, 0), N2 = (тг/2, тг), соответствующие движению шара вдоль большой оси. Таким путем мы можем разделить все точки кольца (соответствующие всем возможным состояниям движения) на области, как показано на рис. 10. [c.251] Преобразование Т оставляет инвариантными точки, лежащие на внутренней границе кольца, и вращает инвариантные аналитические кривые, лежащие близко к ней, на угол, возрастающий вместе с расстоянием от границы, поскольку, — когда I возрастает, в то время как р остается неподвижным, — рх оказывается возрастающим. Для предельной кривой этого семейства, состоящей на двух аналитических дуг, сходящихся в точках Мх и N2, мы видим, что преобразование Т вращает Мх в N2 и Л г в в положительном направлении, причем дуги, проходящие через ]У1 и /Уг, меняются местами. [c.251] Подобно этому, преобразование Т передвигает точки, лежащие па внешней границе кольца, на угол 2тг в положительном направлении, а инвариантные аналитические кривые, лежащие близко к внешней границе, преобразование Т вращает на угол, меньший 2тг и уменьшающийся с увеличением расстояния от границы. [c.251] Предельная кривая этого семейства состоит из двух аналитических дуг, имеющих общими концами точки Мх и М2, и преобразование Т переводит Мх в N2 меняет местами обе дуги. [c.251] Рассмотрим теперь различные типы движения и для начала какое-нибудь движение, соответствующее кривой аналитического семейства, содержащего кривую = 0. [c.252] Здесь (У. ф) — аналитическая функция от ф. [c.252] Следовательно, преобразование любой инвариантной кривой аналитического семейства, содержащего кривую = ), является по существу вращением на угол а, изменяющийся аналитически вместе с кривой и возрастающий, начиная с нуля при = О к предельному значению тг. Но эту переменную ф, разумеется, не следует считать определенной на предельной псаналитической кривой. [c.252] Следовательно, если а ф) соизмеримо с 2тг, скажем, а = 2тгр/(7, то каждая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению бильярдного шара, нри котором он обходит за один период р раз вокруг эллипса и имеет па нем ц вершин. Здесь р считается взаимно простым с. д н р, д принимают все зпачепия, при которых р 7/2. [c.253] Если а[ф) несоизмеримо с 2тг, то вся кривая соответствует одному минимальному множеству рекуррентных движений непрерывного типа. [c.253] Таким же образом, па аналитическом семействе инвариантных кривых, содержащем кривую д = тг, преобразование Т является по существу вращением с коэффициентом вращения /9, изменяющимся аналитически от одной инвариантной кривой к другой и уменьшающимся от значения 2тг на границе к предельному значению тг. И в этом случае мы имеем такое же распределение периодических движений и движений рекуррентного типа. [c.253] Если мы теперь обратимся к двум аналитическим семействам кривых, которые примыкают соответственно к точкам М и М2 и которые меняются местами при преобразовании Т, то целесообразнее рассматривать вместо Т, поскольку оставляет кривые обоих семейств инвариантными, в то время как ни одна точка этих кривых не может быть инвариантной относительно нечетной степени преобразования Т. [c.253] Рассуждая аналогичным образом, мы можем показать, что преобразование каждой из этих инвариантных кривых в себя при является по существу вращением, коэффициент которого 7 изменяется аналитически от кривой к кривой в каждой из двух инвариантных точек М1. М2 значение 7 будет просто коэффициентом вращения для соответствующего устойчивого периодического движения вдоль малой оси, причем 7 стремится к предельному значению вдоль предельной псаналитической кривой семейства. [c.253] Если 7 соизмеримо с 2тг, скажем 7 = 2тгр/д, то всякая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению, имеющему на эллипсе 2(/ вершин и р раз колеблющемуся по направлению малой оси. Если 7 не соизмеримо с 2тг, то кривая соответствует единственному минимальному множеству рекуррентного типа. [c.253] Очевидно, что точки N1, N2 соответствуют периодическому движению вдоль большой оси и, следовательно, будут неустойчивого типа с аналитическими асимптотическими ветвями, представленными инвариантными кривыми, проходящими через эти точки. Подобным же образом М1, М2 соответствуют периодическому движению устойчивого типа вдоль малой оси. [c.253] И пе только эти, но и другие естественно возникающие вопросы могут быть разрешены без затруднения. [c.254] Вернуться к основной статье