Производные по независимому переменному и по начальным

Уравнения (1.150) — (1.152), (1.153) — (1.155) представляют собой уравнения в частных производных и, как известно из общей теории краевых задач для систем уравнений с частными производными, для выделения единственного решения необходимо задать краевые условия (для ограниченных тел), условия на бесконечности (для неограниченных тел) и начальные условия, если независимая переменная — время t является существенной. Эти требования представляют собой математическое отражение того факта, что в одной и той же среде могут происходить различные процессы (деформации и др.) в зависимости от того, какие из искомых параметров и каким образом заданы на границе тела, на бесконечности и в момент начала развития процесса. [c.33]

Так как они являются уравнениями второго порядка, то для однозначного определения движения системы необходимо задать начальные значения всех п координат q-, и всех п производных qi. В этом смысле координаты qi и скорости qi образуют полную систему 2п независимых переменных, необходимых для описания движения системы. Поэтому метод Лагранжа (в нерелятивистской механике) может рассматриваться как метод описания системы посредством обобщенных координат и скоростей. В методе, к которому мы сейчас переходим, независимыми переменными будут обобщенные координаты qi и обобщенные импульсы pi, определяемые равенствами [c.240]

Функция у (х, с,,..., С ), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка г(х, у, у, ..., v< )) = О и зависящая от п произвольных постоянных l,..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (v, у. С,,..., С ) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены. если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении Xq независимой переменной X заданы значения функции и её производных JV, ..з д(п —1). Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения п-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных. [c.224]

Уравнения интегрировались методом Рунге-Кутта от х = хъ до ж = 0. Недостающие начальные условия при х = хъ выбирались путем пристрелки по четырем параметрам с использованием метода Ньютона. Так как при приближении к хь число Маха М 1, а все производные стремятся к бесконечности, то х бралось за независимую переменную лишь при и < 1. При > 1 за независимую переменную бралось и. [c.605]

При этих условиях отпадает необходимость различения производных по координатам начального состояния и конечного состояния Xs. Действительно, для некоторой функции / в той и другой системе независимых переменных имеем [c.100]

Это линейное однородное уравнение первого порядка в частных производных для С и есть уравнение Лиувилля. Все входящие в уравнение (4.6) величины известны (за исключением, конечно, неизвестной С) ху, — независимые переменные, изменяющиеся в заданной области фазового пространства (возможно, во всем бЛ -мерном пространстве), I — переменное время, Х — известная функция различных Х/ . Поэтому если С (х , 1/ , 0) задано, можно найти С (хи, 1/1, О, не используя первое описание в обычном пространстве. Но какие начальные данные должны быть выставлены Если мы утверждаем, что нам известно начальное состояние механической системы, т. е. точно известны начальные положения х и скорости I N частиц, то начальное значение С есть просто [c.25]

Уравнение движения в форме Лагранжа. С точки зрения Лагранжа, вместо того чтобы рассматривать отдельную точку пространства, анализируется отдельная жидкая частица и изучается ее перемещение. Независимыми переменными являются Го —вектор начального положения частицы и время t. Если частица в момент времени i занимает положение г, то г = г(го, t), так что ускорение частицы равно частной производной dh/dt , [c.85]

Из этих четырех уравнений с частными производными первого порядка определяются неизвестные функции и, v, w р ъ функциях независимых переменных х, у, в причем в окончательные результаты войдут четыре произвольные функции, вид которых определяется по начальным данным. [c.691]

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, выяснилось, что для линейных уравнений и минимизируемых функционалов при линейных граничных условиях указанные условия оказываются, как правило, достаточными условиями оптимальности (с теми оговорками, о которых шла речь выше,— см. стр. 235). Аналогичные результаты получены и для тех случаев, когда процесс описывается совокупностью уравнений в обыкновенных и частных производных с различными граничными и начальными условиями. Условия оптимальности для задач с нефиксированной областью изменения независимых переменных (в том числе и задач на оптимальное быстродействие) получены в аналогичной форме. [c.238]

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнитель- [c.72]

Производные по независимому переменному и по начальным значениям. [c.553]

Напомним, что в методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные координаты и время Производные по времени от обобщенных координат (т. е. обобщенные скорости д )тоже явно входят как в лагранжиан I, так и в уравнения Лагранжа (29.2), однако, несмотря на это, переменные считаются зависимыми. Это обстоятельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Такой способ описания движения не лишен некоторых недостатков. Действительно, задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только з начальных условий, и, следовательно, для того чтобы полностью определить движение системы, требуется задать еще з [c.187]

В дальнейшем ограничимся определением вторых производных. Так как этих производных три (и. з и г), то нужно составить столько же независимых уравнений для их нахождения. Первым из них будет уравнение (5.2.2), которое удовлетворяется но начальной кривой АВ. Два других получаются из следующих известных соотношений для полных дифференциалов функций двух независимых переменных, имеющих место на этой кривой [c.200]

Применяемый метод в точности противоположен численному дифференцированию, при котором разности функции используются для вычисления производных и даются соответствующие формулы. В настоящей задаче сначала вычисляются производные от функции, а их разности образуются для контроля. Получающаяся при этом таблица затем расширяется палево при помощи суммирования, т. е. путем последовательного сложения следующих друг за другом значений производной с некоторым начальным значением. Окончательные значения интегралов вычисляются по суммам при помощи формулы. Формулы для этой цели можно вывести, интегрируя интерполяционную формулу, в которой п рассматривается как независимая переменная. Эти необходимые формулы даны ниже в них первая сумма обозначена через f, а вторая сумма —через [c.134]

Уравнения пространственного ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости представляют собой нелинейную систему уравнений в частных производных, состоящую из двух уравнений количества движения второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности). Для этой системы уравнений в каждом конкретном случае задаются начальные и граничные условия. [c.139]

В большинстве задач параметры, описывающие поведение дан-НОЙ системы, связаны между собой дифференциальными уравнениями или неголономными связями движение системы исследуется при помощи интегрирования этих уравнений с привлечением необходимого количества начальных условий. Во многих случаях число независимых переменных оказывается больше, чем число связей, и описать правильно движение невозможно, если не будет назначена какая-то программа изменения группы переменных, символизирующих дополнительные степени свободы системы. Такие переменные соответственно именуются управляемыми переменными . В большинстве случаев их можно опознать по тому признаку, что их дифференциальные коэффициенты, или производные по времени, если время считается независимым переменным, не входят в уравнения связи. В авиационной технике управляемыми переменными являются именно те параметры, которые подвергаются воздействию со стороны летчика в ракетной технике —это те параметры, которые управляются командными сигналами. [c.746]

Вышеописанная процедура решения дифференциального уравнения при помощи операционного исчисления относилась к случаю обыкновенного дифференциального уравнения (однородного или неоднородного). Эту методику можно распространить и на случай уравнения в частных производных. В этом случае преобразование (10. 1) следует применить столько раз, сколько независимых переменных в уравнении. Мы будем получать последовательно первое, второе и т. д. изображения уравнения. Все эти изображения до (т—1)-го включительно т—число аргументов) будут дифференциальными уравнениями, (та—1)-е изображение будет уравнением в полных производных, и, наконец, т-е изображение будет алгебраическим уравнением, включающим в себя как начальные, так и граничные условия задачи (также в виде соответствующих изображений). Для нахождения окончательного результата необходимо, разумеется, пройти те же т ступеней преобразования в обратном порядке. [c.287]

Переменные, которые зависят только от начального или конечного состояния процесса, а не от его п)гги, называются функциями состояния. Посредством этих функций и их производных по независимым термодинамическим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы. К функциям состояния относятся внешние переменные, которые характеризуют или точно определяют данное состояние, а именно температура, давление, объем, напряженность электрического поля, энергия, импульс и момент импульса. [c.26]

Расчленение всей теории дифференциальных уравнений на три отдельные, не связанные между собой частн, использование при построении каждой из них различных начальных положений, отсутствие общих методов доказательств — все это, взятое вместе, определяет основные недостатки постановки в учебнике Шюле этой теорИ И. Крупным недостатком является также и то, что одним и тем же выводом охватываются многие и притом различные по своему содержанию вопросы. Трудно уследить, где же кончается вывод одних положений и начинается вывод других. Действительии, какие только вопросы не охватываются теми выводами в учебнике Шюле, которые приведены выще. В них выводятся уравнения энтропии, энтальпии, теплоты, даются частные производные энтропии, энтальпии, внутренней энергии, вычисляются вторые производные их и т. д. Построение этих выводов не позволяет установить направление их развития и их конечные цели. При этом формулы одной и той же термодинамической величины, например энтальпии, энтропии, теплоты и пр., выводятся 3 раза в различных разделах и притом в каждом отдельном случае они выводятся, исходя из различных начальных положений один раз при независимых переменных а и Г, второй раз при независимых переменных р и Т и, наконец, при независимых переменных р я V. [c.438]

Необходимы частные производные целевой функции по независимым переменным. Поскольку в основе метода лежит доп>ще-ние об унимодальности целевой функции, в тех случаях, когда есть основания предполагать, что она не является таковой, следует брать несколько исходных точек. На рис. 7.7 представлена схема алгоритма метода Дэвидона — Флетчера — Пауэлла. Алгоритм выполняется следующим образом. Сначала в пространстве проектирования выбирают подходящую начальную точку. Затем, вычисляя составляющие вектора градиента [c.176]

Непосредственно видно, что коэффициенты при степенях R в правой части уравнения (13) при переходе через характеристику С+ меняются непрерывно. Поэтому, если на есть слабый разрыв, то эволюция вдоль комбинации R, производных с каждой стороны от С+ описывается одним и тем же уравнением (13), но, вообще говоря, с разными начальными данными. В частности, если в некоторой точке слабый разрыв отсутствует, то его не будет и вдоль всей характеристики С+. Другая важная особенность уравнения (13) состоит в том, что оно нелинейно, точнее, является уравнением Риккати. Из теории уравнения Риккати известно, что его peuie-ние. может обращаться в бесконечность на конечном интервале изменения независимого переменного. Этот факт имеет большое значение для понимания структуры решений уравнений газовой динамики. В более простой ситуации он будет подробно изучен в 16. [c.141]

С точки зрения, связываемой обычно с именем Лагранжа, то же самое движение можно описать с помощью мгновенных координат г/у(г/ , ) индивидуальных частиц, заданных в виде функций их начальных координат и времени t. Здесь независимые переменные отличны от тех, которые были использованы выше. Для того чтобы подчеркнуть это различие, условимся обозначать частные производные по новой системе независимых переменных черточками (5г//ф =г/,,1 и дупусть р описывает начальное распределение плотности. С точки зрения Лагранжа, деформацию сплошной среды удобно описывать тензором деформации [c.83]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...