Об интегрировании уравнений в вариациях

Во всяком случае, как это всегда имеет место в случае линейной неоднородной дифференциальной системы, интегрирование уравнений (41) и (42) сводится только к квадратурам всякий раз, когда удается каким-либо способом определить общий интеграл соответствующей однородной системы. В настоящем случае член Ф уравнения (42), делающий уравнение неоднородным, объединяет в себе все, что относится к возмущающей силе. С другой стороны, однородная система, зависящая исключительно от уравнения (28") основной задачи, дает в силу этого последнего уравнения так называемые уравнения в вариациях, которыми мы будем заниматься в общем случае в 5 гл. VI. Мы увидим тогда, что если известен общий интеграл какой-нибудь дифференциальной системы, то из него можно получить посредством одного только дифференцирования общий интеграл соответствующих уравнений в вариациях. Применяя к нашему случаю это замечание и вспоминая сказан- [c.114]

Вариация элементов траектории. Предположим, что нам удалось с помощью теоремы Гамильтона — Якоби найти решение уравнений движения системы с функцией Гамильтона Н. Рассмотрим теперь другую задачу, когда функция Гамильтона равна Н - - К. Решение этой новой задачи получается, как мы покажем, путем интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы чрезвычайно простого вида. [c.506]

Считая в области интегрирования независимыми вариации bw, 6F, а на контуре вариации 6и, би, 6i4), бшу, получаем отсюда уравнения равновесия, совместности деформаций и граничные усл вия в форме Бубнова [c.50]

Значения х 2п) и Х2 2п) определялись численным интегрированием уравнения в вариациях (2.7.20). Результаты исследования корней характеристического уравнения (2.7.21) представлены на рис. 17, где в плоскости п , е построены границы областей устойчивости периодических решений (тонкие линии) и кривая разветвления (жирная линия), выходящая из точки ( =1, б = 0). Область Ез существования трех периодических решений расположена на рис. 17 левее и выше кривой разветвления. Одному периодическому решению соответствует область Ей расположенная правее и ниже кривой разветвления. [c.99]

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИИ В ВАРИАЦИЯХ 609 [c.609]

Об интегрировании уравнений в вариациях [c.609]

Для интегрирования уравнений (4.7.30) Брауэр применяет метод вариации произвольных постоянных. В результате получается [c.417]

Интегрирование уравнений в вариациях. Рассмотрим интегрирование уравнений в вариациях (III. 115) и (III. 116). Обозначим для краткости [c.144]

Для интегрирования уравнения (7) применим метод вариации произвольных постоянных, считая, следовательно, в формуле (8) величины l и a некоторыми функциями переменного z. Для определения этих функций будем иметь два уравнения [c.277]

Варьирование (1.6) в системе функций V, р, 8, Л, р, р, А и интегрирование по частям членов с производными от вариаций 6р, 6р, 6Х приводит к системе уравнений [c.9]

Варьирование (2.1) по переменным V, Я, р, S, Л, т, п, <р, fi. А, а, р, интегрирование по частям членов с производными от вариаций и приравнивание нулю коэффициентов при вариациях под знаком четырехмерного интеграла приводит к уравнениям [c.11]

Уравнение (IV.62) можно интегрировать двумя способами методом вариации постоянных интегрирования (методом Лагранжа) и символическим методом. Мы применим второй метод ). [c.352]

Общим методом интегрирования этой системы, пригодным для широкого класса возмущающих сил Qi t), является способ вариации постоянных интегрирования. Этот способ подробно изучается в курсах интегрирования дифференциальных уравнений, и здесь он не рассматривается. [c.265]

Приравнивая нулю вариацию этого функционала и преобразовывая результат интегрирования по частям, мы получим естественные граничные условия, которые здесь не выписываются, и дифференциальное уравнение [c.527]

После выполнения вариации и последующего интегрирования по частям из формулы (3) получается уравнение Шредингера [c.199]

Уравнение (8) описывает любую упругую нелинейность, но предполагает независимость от пути интегрирования для кривых нагрузка — деформация. Для бесконечно малого приращения трещины второй член в уравнении (8) также бесконечно мал и может быть отброшен. Таким образом, при отсутствии внутренних напряжений в твердом теле выражение для вариации энергия деформации упрощается [c.217]

Принцип Гамильтона совершенно общий и равносилен общему уравнению динамики. Действительно, от уравнения (2) можно перейти к уравнению (1), выполняя интегрирование по частям в обратном порядке. Вследствие неопределенности Ь интеграл (1) может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В самом деле, в противном случае, так как мы всегда можем изменить знаки у всех 5 одновременно, можно выбрать эти знаки таким образом, чтобы сумма под знаком интеграла все время была положительна. Тогда интеграл, будучи положительным, не был бы равен нулю. [c.222]

Замечание. — Вариация Ы, соответствующая системе вариаций 5л , 5 у, Sz, может быть найдена интегрированием выражения 151, полученного из уравнения (2). Таким образом, находим [c.321]

Требование независимости вариаций 6Qi и 8pi играло в этом доказательстве весьма существенную роль. Это обстоятельство подчеркивает основное различие между методами Лагранжа и Гамильтона. В методе Лагранжа поведение системы описывается ее обобщенными координатами qi и обобщенными скоростями qi. Но переменная qi тесно связана там с переменной qi, так как она равна производной от qi по t. Поэтому при выводе уравнений Лагранжа мы должны были выражать вариации б г через независимые вариации 6 j. Это делалось с помощью интегрирования по частям, в результате чего появлялись члены d I dL [c.252]

Если бы мы были вправе рассматривать величины Sqk и Spk как независимые вариации, то непосредственно получили бы уравнения Гамильтона (41.4), приравняв нулю порознь множители при Sqk и Spk-Это, однако, недопустимо хотя qk и pk и входят в Н как независимые переменные, но при вычислении интеграла действия они связаны между собой временной зависимостью, точно так же, как и в равенстве (41.6), вследствие чего мы и должны были проделать интегрирование по частям. Однако если мы возьмем частную производную по р от выражения (41.1) (при фиксированных ), то убедимся, что выражение во вторых фигурных скобках формулы (41.7) тождественно обращается в нуль отсюда мы вполне строго заключаем, что и выражение в первых фигурных скобках формулы (41.7) должно быть равно нулю. [c.291]

Если мы теперь подставим выражения (41.10) и (41.11) в уравнение (41.5), то при интегрировании и последующем варьировании слагаемое с выпадает, так как на пределах интеграла вариации 8q и 8Q at [c.293]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Мы знаем общий метод варьирования произвольных постоянных интегралов дифференциальных уравнений с целью согласования этих интегралов с теми же уравнениями, но с прибавлением к ним определенных членов однако та форма, которую мы в предыдущем отделе (п- 10) придали общим уравнениям динамики, имеет то преимущество, что она дает некоторое соотношение между вариациями произвольных постоянных, вводимых при интегрировании, которое особенно упрощает формулы этих вариаций в задачах, где они выражают действие возмущающих сил. Мы выведем сначала это соотношение затем мы дадим наиболее простые уравнения для определения вариаций произвольных постоянных в интересующих нас проблемах. [c.413]

Пуассон в одном из своих мемуаров изложил весьма общую теорему, на которой он основал новый метод изложения теО рии вариации произвольных постоянных. Хотя эта теу>ема сама по себе представлялась чрезвычайно интересной, Пуассон удовольствовался применением ее к специальной цели, которую он себе поставил, не отметив даже того обстоятельства, что ее можно применить и в других случаях. Спустя больше чем тридцать лет после этого, уже в момент смерти Пуассона, внимание математиков снова было привлечено к этому вопросу знаменитым Якоби, который указал на теорему Пуассона как на замечательное достижение, по его мнению, — наиболее важное во всей науке о движении. Впрочем, Якоби не подкрепил какими-либо выводами своего утверждения, относительно которого, быть может, мы найдем более подробные указания в его посмертных трудах. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы изложить теорему Пуассона и указать ту пользу, какая может быть из нее извлечена для интегрирования дифференциальных уравнений механики. [c.566]

Следует добавить, что формула (15), хотя и включает, в отличие от уравнения (13), интегрирование по времени, однако имеет преимущество благодаря большей краткости, так как помимо виртуальной работы Lf, которая входит также и в уравнение (13) или (13 ), содержит только скорости, входящие неявно через посредство вариации ЬТ живой силы, тогда как в уравнение (13) входят явно ускорения отдельных точек. [c.402]

Путем интегрирования по частям исключим двойной символ dд а если теперь принять во внимание вариацию времени, то мы получим следующее преобразованное уравнение [c.168]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Весьма интересна работа о методе вариации произвольных постоянных в применении к интегрированию уравнений Гамильтона <<0 вариациях произвольных постоянных в задачах динамики . В этой работе О.строградский выводит с большим изяществом дифференциальные уравнения теории возмущений, выражая через скобки Пуассона производные от постоянных, входяпщх в интегралы невозмзтценйого движения. Интересно отметить, что в статье все время используются линейные формы от вариаций канонических перемен- [c.21]

Необходимыми условиями оптимальности относительно для произвольных вариаций 5рь1 и брь будут равенства = О и = 0. Эти равенства определяют оптимальные значения р г и которые служат граничными условиями для оптимальных распределений, получаемых интегрированием уравнений (1.1). [c.58]

Общее представление о сравнительной производительности методов дает работа (Leidenfrost et al., 1999), в которой авторы постарались снизить влияние посторонних факторов на скорость решения задачи. Выяснилось, что несмотря на общие теоретические основы и высокое, во всех случаях, качество программирования, основные параметры - точность, производительность и требуемая память - различаются в диапазоне почти двух порядков. Наиболее точным методом оказалось конструирование фронтов трассирование лучей дает примерно ту же точность, что и интегрирование уравнения эйконала. Самым быстрым оказалось интегрирование эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта, самым медленным - трассирование лучей. Наибольших ресурсов памяти требует конструирование фронтов. В конечном счете, для точных расчетов в среде с сильными, но гладкими вариациями скорости и необходимостью обхода принципа Ферма рекомендуется метод конструирования фронтов а для сравнительно простых разрезов оптимальным оказывается интегрирование уравнения эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта благодаря его непревзойденной вычислительной эффективности. [c.29]

Варьируя усилия мы получим уравнения связи (12.5.4), где afi определяются формулами (12.10.1) варьируя перемещения Ua, получим снова дифференциальные уравнения и граничные условия (12.5.7). При варьировании прогиба мы поступаем так же, как в 12,5, с той разницей, что производные от прогиба входят в множитель при Та . Поэтому нам придется дополнительно преобразовать интегрированием по частям вариацию [c.412]

Затем сюда следует подставить те выражения для т, н, р, д, т",. .. в функции I, которые были найдены путем интегрирования дифференциальных уравнений пунктов 103 и 109 и которые в упомянутых выше мемуарах Берлинской академии были даны нами для всех планет так как эти величины выражены с ПОМОПЦ.Ю рядов синусов и косинусов, то вариации а",. . . поддаются интегрированию при этом постоянные члены дадут в //, а",. . . члены, пропорциональные I, которые совпадают со средними движениями а члены с синусами и косинусами дадут аналогичные члены, которые выразят вековые вариации этих движений. [c.178]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...