Равновесие. Движение вблизи положения равновесия

РАВНОВЕСИЕ. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [c.207]

Составить уравнения малых движений вблизи положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче. [c.371]

Прежде чем приступить собственно к изучению условий равновесия и движений вблизи положений равновесия, введем представление о четырех основных пространствах, которые будут широко использоваться в этой и следующей главе. [c.207]

Линейное приближение уравнении, описывающих движения вблизи положения равновесия [c.212]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 569 [c.569]

Движение вблизи положения равновесия. Возникает вопрос являются ли ноложения равновесия устойчивыми и существуют ли такие движения планетоида, при которых он все время остается вблизи какой-либо-из точек iVj [c.569]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия — один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы. [c.42]

Еще в своей первой работе (1907) Е. Л. Николаи показывает, что выигрыш в объеме (весе) при сжатии колонны наивыгоднейшего очертания мал по сравнению с колоннами конического, эллиптического и параболического очертаний. В магистерской диссертации Николаи (1916) дается решение проблемы упругого равновесия стержня двоякой кривизны. Наиболее важные результаты Николаи получил после Октябрьской революции. В его классических работах по устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня (1928, 1929) показано, что при неконсервативности действуюш,их сил статический метод определения критических нагрузок непригоден и что в этом случае следует рассматривать характер малых движений вблизи положения равновесия. [c.258]

Вступительные замечания. Вопросов устойчивости состояний равновесия мы уже касались в главе I (см. стр. 35—40, 44), но поскольку она была посвящена свободным колебаниям, мы рассматривали только такие системы, в которых отсутствует приток энергии при их движении вблизи положения равновесия. [c.188]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

Далее в этой главе будут изучаться некоторые особенности движений стационарных систем, происходящих вблизи положения равновесия. [c.212]

Действие внешней силы, зависящей явно от времени, на произвольную стационарную систему при ее движении вблизи положения устойчивого равновесия (в линейном приближении) [c.241]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

Практически этому условию соответствуют два положения равновесия нижнее при 0 = О и верхнее при 0 = п. Для положения равновесия при 0 = 0 характерно то, что при сообщении маятнику достаточно малого отклонения от этого положения равновесия и достаточно малой скорости он будет совершать движения вблизи состояния равновесия. Для состояния же равновесия при 8 = я при сколь угодно малых отклонениях маятника от него и при сколь угодно малой начальной скорости маятник будет удаляться от этого положения равновесия. [c.41]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область изменения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения равновесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последующем движении системы ограничены заданной в окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений q, и q , определяемые положительными числами T]i и Ti2> зависят от выбранной е окрестности, т. е. самого числа е. Эти области начальных значений qf и q] не должны соответствовать Лх = о и Ла = 0> т. е. только самому положению равновесия, для которого i = о и q = 0. [c.409]

Дифференциальное уравнение малых собственных движений при действии линейного сопротивления. Вблизи положения равновесия системы имеем следующие выражения для кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции [c.424]

Замечательным примером колебаний механической системы вблизи положения равновесия является случай твердого тела, молекулы которого расположены вблизи положения равновесия, но находятся в состоянии непрерывных беспорядочных колебаний в связи с тепловым движением. Все эти колебания могут быть аналитически изображены одной С-точкой, помещенной в ЗЛ/-мер-ном евклидовом пространстве, где N — число молекул, составляющих твердое тело. Движение С-точки можно представить в виде гармонических колебаний определенных частот вдоль взаимно перпендикулярных осей. Каждой степени свободы отвечает одна ось. Спектр этих колебаний простирается от очень низких упругих и акустических частот вплоть до очень высоких инфракрасных частот. Распределение амплитуд и фаз определяется статистическими законами и является функцией абсолютной температуры Т. [c.187]

Если систему вывести из положения равновесия, сообщив ее точкам какие-то малые начальные отклонения от положений равновесия и малые начальные скорости, то в последующем движении точки системы либо все время остаются вблизи положений равновесия, либо удаляются от этих положений. В первом случае положение равновесия будет устойчивым, а во втором — неустойчивым. [c.489]

В интервалах (3.2) означает, что в этих интервалах выполнены условия крутизны функций Ь М и Ь М соответственно, Но мы встречаемся со следуюпщм затруднением. Н. Н. Нехорошев показал справедливость экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда для аналитических гамильтонианов, а в нашем случае движения вблизи положения равновесия, совпадаюш,его с началом координат, функция Гамильтона не является аналитической относительно п (есть аналитичность только относительно У г г). В автореферате работы [78] утверждается, что и в этом последнем случае можно показать воз можность применения экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда, если исключить резонансы до некоторого, достаточно высокого, конечного порядка. И тогда будет иметь место следуюш,ая оценка [c.143]

Исследуя линейные уравнения, мы не можем также ничего сказать о том, какой процесс установится в системе по прошествии достаточно длинного промежутка времени и, в частности, возможен ли в данной системе периодический процесс. Мы можем лишь утверждать, что в рассматриваемой нами линейной системе периодический процесс невозможен. Для ответа на вопрос о дальнейшей судьбе реальной системы, после того как она выйдет за пределы области, которой мы ограничили наше рассмотрение, нужно, очевидно, рассматривать эту систему уже как нелинейную. Такое нелинейное рассмотрение и составляет пашу да.чьнейшую задачу. Пока мы лишь укажем, что отсутствие колебательных движений вблизи положения равновесия отнюдь не доказывает вообще невозможности колебательных движений в данной системе. В частности, если вблизи положения равновесия происходит апериодическое нарастание (неустойчивый узел), то это вовсе не значит, что в дальнейшем в системе не может установиться колебательный процесс. Как мы увидим, и в случае особой точки типа узла вполне возможно существование периодического процесса (незатухающих колебаний). [c.93]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область измеч1ения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения рав1ювесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последуюн ем движении системы ограничены заданной е окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений и определяемые [c.421]

Рассмотрим интервал А А1. В каждой точке интервала модуль координаты д меньше е, а потенциальная энергия Я( 7)< Я. И, если будет известно, что при дальнейшем движении системы в каждый момент времени будет П д)аП, то, следовательно, будет I 7 I < е и система находится вблизи положения равновесия, т. е, положение равновесия есть положение устскчивого равновесия. [c.387]

Смотреть страницы где упоминается термин Равновесие. Движение вблизи положения равновесия : [c.208] [c.212] [c.214] [c.216] [c.220] [c.224] [c.226] [c.228] [c.230] [c.232] [c.242] [c.244] [c.246] [c.254] [c.256] [c.508] [c.516] [c.311] [c.602]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...