ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ Равновесие и движение вблизи положения равновесия из "Основы теоретической механики Изд2 " Запись такого вида содержит условность, связанную с понятием мгновенная сила , что было предметом обсуждения в 21. [c.139] Для удобства дальнейших выкладок мы применяем матричные обозначения, в которых все векторы понимаются как матрицы-столбцы, а штрихи обозначают их транспонирование. [c.139] Эта формула и представляет собой общее решение задачи определения послеударного состояния произвольной механической системы по известному доударному в случае идеального удара (идеальных связей). Здесь д — доударные скорости, д Ч- Ад — послеударные, е — единичный вектор нормали к связи в точке удара, А — матрица квадратичной формы кинетической энергии, Ь — коэффициенты линейной формы кинетической энергии, возникающие в случае нестационарной параметризации. [c.141] Остановимся на некоторых свойствах идеального удара в лагранжевых механических системах, вытекающих из полученных формул. [c.141] Свойство 1. Для того чтобы падающая скорость д и отраженная скорость д 4- Ад и вектор нормали е в точке удара лежали в одном линейном многообразии размерности два при любых д, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали был собственным вектором матрицы кинетической энергии в этой точке. [c.141] При произвольном д отсюда следует, что Ло = О и (1оА е = е, т.е. / о — собственное число матрицы А, соответствующее собственному вектору е. [c.141] Таким образом, эффект стесненного идеального удара, проявляющийся в нарушении закона угол падения равен углу отражения , определяется структурой матрицы квадратичной формы кинетической энергии в точке удара. [c.142] Доказательство получается прямой подстановкой в это равенство формулы для приращений скоростей Ад при 6 = 0. [c.142] Свойство 3 (Теорема Аппеля). Обобщенные импульсы, соответствующие обобщенным координатам, на которые не наложена неудерживающая связь, в момент выхода системы на связь, непрерывны. [c.142] Пусть связь наложена на координату дь т.е. [c.142] В заключение этого пункта приведем решение задачи о стесненном ударе, сформулированной в 21 для системы, изображенной на рис. 33. [c.142] Приращение горизонтальной составляющей скорости равно нулю для горизонтального и вертикального положений стержня в момент удара. Если I оо, то стержень движется поступательно (А р = 0), однако имеется разрыв как вертикальной составляющей скорости, так и горизонтальной. [c.144] Между тем существует возможность посредством подходящей замены обобщенных координат исключить удары в системе, после чего дифференциальные уравнения движения оказываются пригодными на бесконечном интервале времени. [c.144] Такая замена переменных называется регуляризацией исходной системы. [c.144] Рассмотрим идею такой замены вначале на простом примере. Пусть изучается плоское движение материальной точки под действием сил произвольной природы (рис. 47). [c.144] Кинетическая энергия в новых переменных приобретает вид Т — ( 2 + у )/2, она оказалась инвариантной по отношению к выполненной замене переменных. [c.145] Полученные уравнения описывают движение материальной точки на бесконечном интервале времени, включая любые фазы движения. После того как решение этой системы х( ), y t) найдено, подстановкой его в выполненную ранее замену находим решение в исходных переменных qi t) = 1х( ) , q2 t) = y t). [c.145] Эти уравнения состоят из двух существенно отличающихся частей. Первая часть представляет собой дифференциальное уравнение, справедливое лишь тогда, когда движение удовлетворяет строгому неравенству. Вторая часть, заменяющая дифференциальное уравнение в моменты, когда неравенство превращается в равенство, связывает значения скорости в моменты времени, непосредственно предшествующие удару, со скоростями сразу после удара. [c.146] Такая форма уравнений движения предопределяет и способ их решения, состоящий в отыскании кусков траекторий между ударами с последующим их сшиванием в моменты удара. [c.146] Между тем при помощи указанной выше негладкой замены переменных можно получить дифференциальные уравнения движения, справедливые в любой момент времени и не дополненные никакими условиями на скорости. [c.146] Вернуться к основной статье