ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о фазовой плоскости из "Введение в теорию механических колебаний " Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений q ]1 q ж может быть представлено изображающей фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат q, q, если откладывать по оси абсцисс обобщенную координату q, а по оси ординат — обобщенную скорость q. Такая плоскость называется фазовой. [c.18] В процессе движения рассматриваемой системы величины q ж q изменяются и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. На рис. 0.9, а, б показаны фазовые траектор1ш для случаев равномерного а) и равноускоренного (б) движений материальной точки. Положение исходной изображающей точки Мо определяется начальными условиями. [c.18] Совокупность фазовых траекторий описывает все возможные движения данной системы и называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы. Структура фазовой диаграммы наглядно характеризует качественные особенности возможных движений рассматриваемой системы. [c.20] Следует иметь в виду, что фазовая диаграмма не только может служить иллюстрацией закона движения, после того как он найден путем интегрирования дифференциального уравнения задачи. В принципе фазовая диаграмма может быть построена непосредственно, и о этому уравнению, без его решения в виде q = q(t). [c.20] В состояниях равновесия равны пулю обобщенная скорость (знаменатель правой части уравнения (0.13)) и обобщенное ускорение (числитель правой части уравнения (0.13)). Таким образом, в точках фазовой плоскости, соответствующих состояниям равновесия, производная не определена и вместе с этим не определено направление касательной к фазовой траектории. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения. В качественной теории дифференциальных уравнений устанавливается, что через любую особую точку проходит либо больше чем одна фазовая траектория, либо не проходит ни одной. Например, как мы видели на рис. 0.9, в, через особую точку в начале координат не проходит ни одна из фазовых траекторий (такая точка называется особой точкой типа центр ниже будут рассмотрены особые точки других типов). [c.21] Через всякую регулярную точку фазовой плоскости (т. е. не особую точку) проходит одна и только одна фазовая траектория. Изображающие точки, лежащие в верхней полуплоскости, определяют состояния системы с положительными значениями обобщенной скорости, т. е. состояния, которым соответствует возрастание обобщенной координаты, поэтому такая пзобрансающая точка движется вдоль фазовой траектории слева направо. Соответственно, изображающая точка, находящаяся в нижней полуплоскости, движется вдоль фазовой траектории справа налево. Отсюда также следует, что касательная к фа-ЗОВ011 траектории в точках пересечения траектории с осью д перпендикулярна этой оси. [c.21] Вернуться к основной статье