Введение в разностные методы

Глава 4 ВВЕДЕНИЕ В РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ [c.156]

За счет введения в разностную схему значений функции / (т, и)вк точках, предшествующих искомой (/ + 1)-й точке, удается повысить порядок аппроксимации. Похожий прием использовался для повышения порядка аппроксимации в методе Рунге—Кутта, но там вычисление значений / (т, и) проводилось в точках интервала [т , [c.35]

Система уравнений (1.15). .. (1.18) решается численным методом с записью численных аналогов уравнений по неявной схеме и с использованием метода матричной факторизации совместно с итерационными циклами по нелинейностям [16]. Наибольшую трудность при реализации метода вызывает запись конечно-разностных аналогов исходных уравнений в особой точке на оси пучка витых труб (т = 0) и введение в одну из матриц коэффициентов условия периодичности ис1, о-мых функций по азимуту. [c.18]

Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путем разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов. [c.9]

Численные (конечно-разностные) методы решения полных уравнений Навье — Стокса начали развиваться на рубеже 30-х годов в Англии (А. Том), причем уравнения для плоских течений приводились, с помощью введения [c.295]

При расчете турбулентного пограничного слоя используется алгоритм расчета характеристик трехмерного пограничного слоя, основанный на использовании неявных конечно-разностных шаблонов и на методе слежения за направлением скорости потока. Ограничение на шаг интегрирования в этом методе не суш ествует, если нет продольного отрыва, метод прост при практическом использовании. С помош ью такого подхода можно рассчитывать области поперечного течения в рамках уравнений пограничного слоя при некоторых дополнительно введенных модификациях. [c.340]

Представленная система уравнений газовой динамики с соответствующими начальными и граничными условиями решалась конечно-разностным методом С.К. Годунова первого порядка точности по независимым переменным [6]. Введением подвижной расчетной сетки достигалось явное выделение головной ударной волны. Другие поверхности разрыва, возникающие в ударном слое, явным образом не выделялись. Формулы для расчета аэродинамических характеристик приведены в [4]. [c.148]

Несмотря на успешное использование искусственной сжимаемости при поиске эффективных методов решения, все еще остаются серьезные практические проблемы расчета течения с резким изменением параметров в скачках уплотнения. Такие попытки представить численными методами разрывную функцию удаются лишь при значительном раздроблении вычислительной сетки. С целью преодоления трудностей многие исследователи усилили роль искусственной сжимаемости, и оказалось, что такое усиление было крайне необходимо для повышения устойчивости разностных уравнений. Однако это часто приводит к ослаблению и смещению скачка уплотнения. В работе [6.60] эта проблема решается введением в диссипативную функцию как числа Маха потока перед решеткой, так и местных чисел Маха. В результате удалось исключить пики параметров без значительного размывания скачков. [c.192]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Всю схему получения решения с использованием плотности, видоизмененной с учетом введения искусственной вязкости, Хейфец и др. [6.56] назвали методом искусственной сжимаемости. В работе [6.56] представлен новый и простой подход к решению уравнения для потенциала скорости в консервативной форме. Было показано, что решающее значение имеют величина и форма записи модифицированной плотности при этом предпочтительной оказалась конечно-разностная схема с разностным отношением назад. [c.191]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Описанный способ автоматического формирования уравнений движения в узлах сетки подобен конечно-элементной процедуре сборки элементов при составлении уравненш движения. Эта процедура в сочетании с вариационно-разностным методом дает возможность аналогичным образом алгоритмизировать вычислительный процесс при моделировании динамики сопрягаемых, разветвляющихся и подкрепленных оболочек различных конфигураций. В этом случае, например, часть узлов сетки необходимо расположить вдоль линий стыковки оболочек. При условии неотрыва или сплошности материала вдоль линий стыковки узловые скорости оболочки и подкрепляющего элемента будут одинаковы. При формировании результирующих узловых внутренних сил в таких точках необходимо просуммировать соответствующие компоненты обобщенного вектора внутренних сил по всем ячейкам, содержащим данный узел, как для ячеек оболочки, так и для ячеек сетки, введенной на подкрепляющем элементе. Сосредоточенные параметры массы и инерции вращения в узлах стыковки также вычисляются перераспределением в узлы их значений на ячейках, содержащих эти узлы в оболочке и подкрепляющем элементе. [c.82]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Для размазывания скачка вместо явного введения искусственной вязкости можно использовать и неявную вязкость, имеющую место в конечно-разностных аппроксимациях. Это было осуществлено в щироко известном методе частиц в ячейках (методе PI ), разработанном в Лос-Аламосе Эванс, Харлоу и др. ), а также в методе Лакса (Лаке [1954]) и в других методах. [c.23]

Альтернативным подходом является разработка таких конечно-разностных схем, в которых размазывание скачков осуществляется автоматически, без явного введения в уравнения членов с вязкостью. Такие методы будем называть методами с неявной искусственной вязкостью или методами с неявным демпфированием. В некоторых из этих методов для стабилизации сильных разрывов может потребоваться введение также явной искусственной вязкости. Первые расчеты скачков с введением неявной искусственной вязкости были выполнены Ладлоффом и Фридманом [1954]. Как при явном, так и при неявном введении искусственной вязкости схема должна быть диссипативной в математическом смысле (Рихтмайер и Мортон [1967]), должна подавлять коротковолновые возмущения в большей мере, чем длинноволновые. Это свойство является необходимым условием того, чтобы конечно-разностная схема удовлетворяла условию роста энтропии при переходе через скачок уплотнения, автоматически запрещая существование скачков разрежения (см., например, Овчарек [1964]). К счастью, это условие легко (даже непроизвольно) удовлетворяется. [c.345]

Искусственная вязкость. Для расчета ударной волны без явного выделения на сетке ее фронта применяется метод размазывания фронта за счет введения в систему разностных уравнений некоторых диссипативных членов (так называемой псевдо-вязкости или искусственной вязкости). Они моделируют действие реальной вязкости, т. е. преобразуют кинетическую энергию колебательного движения в тепловую энергию [75, 107]. Очевидно, диссипативный механизм теплопроводности для этой цели менее удобен, так как при этом разрывы в решении для достаточно сильных ударных волн сохраняются, в то время как вязкость разглаживает ударные волны любой иитонспвности (см. гл. I, С), [c.126]

Уравнения движения в стационарной постановке имеют смешанный эллиптико-гиперболический тип вблизи передней части затупления, поэтому необходимо решать смешанную задачу для уравнений типа уравнения Трикоми. Эта задача является нелинейной, так как положение и форма ударной волны, звуковой поверхности и предельных характеристик заранее неизвестны и зависят от решения в дозвуковой зоне. Если искать решение методом установления, то введение новой независимой переменной (времени) приводит к тому, что уравнения движения становятся уравнениями гиперболического типа и можно применять конечно-разностные методы, разработанные для уравнений гиперболического типа. [c.198]

Введение. Большая часть исследований в области наследственной теории ползучести, берущих свое начало с основополагающих работ Больцмана [540—541] и Больтерра [642, 643], посвящена нестареющим материалам, т. е. материалам, реологические свойства которых описываются ядрами разностного типа. Для этих материалов выполняется условие замкнутого цикла, вытекающее из того, что уравнения теории ползучести с разностными ядрами инвариантны относительно сдвига начала отсчета времени. К упомянутым уравнениям применима алгебра резольвентных операторов, методы преобразования Лапласа — Карсона, предельные теоремы и др. [c.59]

Введение. Методы выделения поверхностей разрывов при численных расчетах газодинамических задач известны [1-5]. Основываются они либо на методе характеристик [1] с алгоритмическим внесением специальных процедур, например выделение плавающих разрывов [6], либо на решении задачи о распаде разрыва [2] с последующим использованием подвижных сеток. Применение подобных подходов в нелинейной динамике деформируемых твердых тел проблематично из-за взаимозависимости в них, по существу, двух процессов распространения граничных возмущений изменение объемных деформаций и деформаций изменения формы. Поэтому в этом случае используются, главным образом, различные варианты схем сквозного счета [7-9]. Следует, однако, заметить, что из-за наличия в деформируемых телах более значимого диссипативного механизма (пластичность, ползучесть), проблема выделения фронтов разрывов в твердых деформируемых средах не стоит столь остро, как в газовой динамике. Иначе, использование здесь разных вычислительных методик, основанных на процедурах сквозного счета, гораздо более оправдано. И все же существуют ситуации в динамике деформируемых твердых тел, когда нестационарность явления столь существенна (отражение и взаимодействие ударных волн при высокоскоростном соударении и др.), что выделение нелинейных разрывов может стать необходимым. Здесь предлагается способ расчета ударного деформирования, выделяющий поверхность разрыва путем включения в неявную разностную схему одновременного вычисление параметров прифронтовой асимптотики, т. е. параметров разложения решения непосредственно за поверхностью разрывов в асимптотический ряд. Способы построения таких разложений могут основываться на методе возмущений [c.146]

Методу маркеров и ячеек (метод MA ), предложенному в работах Харлоу и Уэлча [1965] и Уэлча с соавторами [1966], присущи следующие четыре отличительные черты применение уравнений для простейших физических переменных (составляющие скорости и давление), специфическая конечно-разностная схема, специфическая структура ячейки, введение частиц-маркеров. [c.298]

На разностной сетке в методе маркеров и ячеек составляющая скорости W определяется в точке (i,j,k /2) и т. д. Для трехмерного уравненпя Пуассона также ставятся граничные условия Неймана введение дополнительной пространственной переменной существенно снижает скорость сходимости, и в связи с этим желательно рассчитывать решение при помощи прямых методов. Даже в этом случае время, необходимое для решения задачи, очень велико. Здесь большое значение приобретают контрольные и пробные расчеты на грубой сетке. Например, Уильямс [1969] для конвективных членов применял схему Аракавы (разд. 3.1.21) и прямой метод для решения уравнения Пуассона, что позволило сократить время решения этого уравнения до 25% от общего времени решения всей задачи. На машине UNIVA 1108 для расчета одного слоя по времени потребовалось 2 секунды на сетке ИХ 14X 14 и 96 секунд на сетке [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...