Уравнения движения и статического равновесия

Уравнения движения и статического равновесия [c.99]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И СТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [c.99]

Векторные уравнения. В предыдущем параграфе рассматривалось движение стержня относительно его естественного (ненагруженного) состояния. Часто приходится исследовать движение стержня относительно состояния равновесия (а не его естественного состояния). В этом случае необходимо в уравнениях движения учитывать статическое напряженное состояние стержня (векторы Qo и Мо). С учетом статического напряженного состояния векторы О и М, входящие в уравнения движения, приведенные в предыдущем параграфе, можно представить в виде [c.40]

Найти уравнение движения и период колебаний груза, если в начальный момент он был смещен из положения статического равновесия на [c.81]

К пружине, коэффициент жесткости которой равен с = 19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами т1=0,5кг и т,2 = 0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз убрали. Найти уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза. [c.237]

Грузы массы / 1- -2 кг и гп2 = 3 кг подвешены в положении статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости которой с = 392 Н/м. Масляный демпфер вызывает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости и рапную R — аи, где ос = 98 Н-с/м. Груз шз сняли. Найти после этого уравнение движения груза /П . Ответ X = — 0,82е- см. [c.250]

В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость были равны Хо = 2 см, Оо == 3 см/с. Частота возмущающей силы р = 30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы 6 = 0. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. [c.255]

На тело массы М кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с Н/м, действуют возмущающая сила S = Н Ап pt Н и сила сопротивления R —av (R в Н), где v — скорость тела. В начальный момент тело находилось в положении статического равновесия и не имело начальной скорости. Найти уравнение движения тела, если с > а /(4М). [c.256]

Так как в положении статического равновесия х = х = — 0, то Р—сД =0 и дифференциальное уравнение движения принимает вид [c.116]

НИИ статического равновесия. На груз М действуют силы Р—вес груза, F — упругая сила пружины и Л" — нормальная реакция плоскости. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид [c.322]

Пусть АЁ длина ненапряженной пружины бо — статическое удлинение (рис. 333). Возьмем начало координат в точке О (положение статического равновесия) и направим ось j по вертикали вниз. Тогда в произвольном положении на груз действуют сила тяЖести Я = mg и упругая сила F = с , где в нашем случае удлинение пружины М = бо + -< - Составляя дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось X, получим [c.363]

Из принципа Даламбера вытекает, что, для того чтобы при решении динамических задач составить уравнения движения точки в форме уравнений равновесия, нужно к активной силе и силе реакции связи, фактически действующим на точку, присовокупить силу инерции этой точки. Из того что мы с помощью принципа Даламбера уравнениям динамики можем придать форму уравнений статики , вовсе не следует, что мы этим самым сводим динамическое явление к статическому. Последнее невозможно осуществить никакими приемами или методами. [c.493]

Случай нагружения системы следящими силами наиболее простой с точки зрения записи уравнений (3.5), (3.6). Однако, как следует из частных задач, не всегда при действии следящих сил имеет место статическая потеря устойчивости [3, 17], Возможна и потеря устойчивости равновесия с переходом системы в движение относительно этого состояния равновесия. В этом случае определить критические силы из уравнений равновесия, как правило, нельзя. В подобных задачах для исследования устойчивости состояния равновесия требуется рассматривать уравнения движения [c.97]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

При значениях xi и хз, равных статическим, угол 9 равен ранее введенному (см. гл. 6 ч. 1) углу фа. Если рассматривается движение стержня относительно состояния равновесия в потоке, то целесообразно из общих уравнений движения исключить статику, тогда в уравнения движения войдут только силы, зависящие от движения стержня. Для этого достаточно из выражений (8.14) или (8.15) вычесть соответствующие статические составляющие дпх[ , т. е. использовать при рещении нелинейных уравнений колебаний силы = 7 — 7 [c.238]

Следовательно, если идеальная нерастяжимая и однородная нить движется равномерно в своем относительном контурном движении и имеет поступательное переносное движение, то как форма нити, так и ее натяжение удовлетворяют уравнениям равновесия нити, но к действующим силам прибавляются силы инерции переносного движения (переносная кориолисова сила — см. п. 1.1 гл. XVI) и натяжение во всех точках нити увеличивается против статического на одну и ту оке величину ли . Рис. 25.9. [c.443]

В машине для статического уравновешивания роторов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относнтельно своей оси) и несет неуравновешенную массу т на расстоянии г от оси. Написать дифференциаль ноо уравнение движения ротора и определить частоту малых колебаний около положения равновесия. [c.357]

Найдем уравнение движения сечения 1 системы с одной степенью свободы (рис. XV. , а), в котором расположена сосредоточенная масса т под действием приложенной к ней силы Р = Р(с), изменяющейся по произвольному закону (рис. XV. 1,6). Пусть 5 — перемещение массы т в текущий момент времени от положения статического равновесия. По принципу Даламбера, если сила сопротивления не учитывается, масса т может считаться находящейся в равновесии под действием силы Р и силы инерции Q = —т5. Тогда по закону Гука в силах и перемещениях (1.14) [c.415]

Другой характер движения получится при падающей характеристике силы трения. В решении уравнения (13.16) показатель степени при числе е имеет знак плюс, и потому коэффициент при sin (л4( + 0) с увеличением времени стремится к бесконечности, т. е. амплитуды колебаний возрастают по показательному закону. Графическое изображение зависимости (г) на фазовой плоскости представляется спиралью (рис. 45, б), которая проходит через точку (2о, 0) и может рассматриваться выходящей из точки (2с, 0) статического равновесия при (—>-оо. Точка (2с, 0) в этом случае на- [c.110]

Остается еще учесть влияние двойного знака в правой части уравнения (35 ) или в правой части первоначального уравнения (35) (которое в этом исследовании удобнее, чем уравнение (35 )). Как уже отмечалось в п. 47, движение определяется уравнением (35) (а) в том промежутке времени, в котором оно остается прямым (i 0), и уравнением (35) (б) в промежутке времени, когда оно оказывается обратным (i 0). Поэтому, при непрерывности s, случай, когда мы должны будем заменить для определения движения одно уравнение. другим, может представиться только в момент остановки (i = 0). На этот момент надо обратить особое внимание, так как он может означать конец движения. По законам динамического трения (п. 45) это может произойти только тогда, когда в момент остановки будет выполняться условие статического равновесия f J fN (где / обозначает коэффициент статического трения). В противном случае тотчас же за моментом ti движение начнется снова. Более точно, я силу закона возникающего движения движущаяся точка направится в ту сторону, в которую в момент / j направлена касательная сила F , так что в новой фазе движение будет определяться равенством (35) (а) или равенством (35) (б), смотря по тому, будет ли в момент = сила F( 0 или < 0. Таким образом, закон движения, начиная от положения s =si (и с момента t — ti), будет однозначно определен тем интегралом уравнения (35) (а) или соответственно (35) (б), которое характеризуется начальными условиями [c.57]

Следующие три главы (4, 5, 6) образуют вторую часть книги, в которой рассматриваются вопросы динамики и устойчивости вибрационных режимов движения механизмов с упругими связями. Здесь сначала вводятся понятия о статической характеристике и характеристике частоты свободных колебаний механизма, затем составляются дифференциальные уравнения его вынужденных колебаний, изучается структура коэффициентов дифференциальных уравнений движения, вводится понятие о положении динамического равновесия механизма как о среднеинтегральном значении обобщенной координаты за период внешнего воздействия (глава 4). [c.8]

Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастяиутой пружины и ему была сообщена начальная скорость Vq, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия. [c.237]

Определить коэффициент жесткости составной пружины, состоящей из двух последовательно соединенных прулош с разны-К задача 32.28 МИ КОЭффИЦИеНТа МИ ЖеСТКОСТИ С] — 9,8 Н/см и С2 == 29,4 Н/см. Найти период колебаний, амили-туду и уравнения движения груза массы 5 кг, подвешенного к указанной составной пружине, если в начальный момент груз был смещен из пололсения статического равновесия на 5 см вниз II ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная также вниз. [c.240]

Решение. Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 267). Если обозначить длину недеформированной пружины через 1 , то ее длина в произвольный момент времени будет /=/о—S+ t+J . а удлинение Х=1 1а=Кт+х— . Тогда действующая на груз сила упругости f= X= ( T+- —I). и составляя дифференциальное уравнение движения груза, будем иметь (так как X T=mg) [c.249]

Решение. Будем определять положения грузов координатами и х , отсчитываемыми от положений статического равновесия грузов, направив ось X по вертикали вверх. Тогда силы тяжести уравновесятся силами упругости fi T= i i T и. 2ст= 2 гст и из уравнений движения исключатся (см. в 94 задачу 112), а учитываемые при движении силы упругости будут пропорциональны удлинениям, которые получают пружины при смещениях грузов от положений статического равновесия. Эти удлинения будут соответственно равны >-i=Xi и k =x —xi и на груз 2 будет действовать сила упру гати ( 2х= —а на [c.274]

Задача 249. Груз веса Р=98 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с =10 г/с ж. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза / = р ц, где р = 1,6 гсск/сдг. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 4 слг и ему была сообшена вниз начальная скорость т1о = 4 слг/сск. [c.90]

Формула (IV.32), полученная для общего решения уравнения (IV.28), удобна для исследования. Сперва обратим внимание на общий характер движения точки М. Как видно из формулы (IV.32), отклонение х точки М. от положения статического равновесия с течением времени t уменьшается и стремится к нулю благодаря наличию множителя е . Поэтому колебания точки в этом случае называются затухаюш ими. Движение точки М в этом случае имеет периодический характер, но полностью периодическим его назвать нельзя, так как х, как видно из формулы (IV.32), не является периодической функцией времени. Поэтому мы лишь условно введем понятие периода такого движения. [c.337]

Решение. Проведем ось Ох вертикально вниз, приняв начало коор-липат в положении статического равновесия повозки (при условии, что точка А занимает на вертикали самое нпжнее положение, показанное па рис. 14.12). На повозку действуют сила веса mg и упругая сила пружины F F= —с%). Дифференциальное уравнение движения повозки имеет вид [c.271]

Отвгт j —, 31 sin54,22 + 4,64sin6л см. 32.89(32.86 . Груз массы т = 200 г, подвешенный к пружи 1е, коэффиаиеет жесткости которой 9,8Н/см находится под действием силы 5=Я sin р/, где И = 20 Н, р = 50 рад/с. В начальный момент хо = 2 см, t>o= 0 см/с. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. Найти уравнение движения груза. [c.254]

Принцип Длламбера. Результат, полученный в предыдущем пункте, в какой-либо из трех своих эквивалентных форм носит название принципа Даламбера ) название принцип находит свое оправдание в характере интуитивной очевидности, которой обладает это положение механики. С чисто математической стороны этот принцип, по сравнению с постулатами и общими теоремами, уже ранее установленными, не дает чего-либо нового, так как по существу он сводится к номинальному истолкованию основных уравнений (8). Но с теоретической точки зрения и для исследования механических задач принцип Даламбера представляет значительный интерес, поскольку он позволяет свести постановку какого угодно динамического вопроса к статическому вопросу. Составление уравнений движения материальной системы для какой-либо динамической задачи при помощи принципа Даламбера сводится к составлению уравнений равновесия соответствующей статической задачи. [c.267]

Третий том курса содержит шестой отдел, посвященный динамике (глава XVII) и устойчивости (глава XVIII) деформируемых систем. Такое объединение этих разделов механики стало традиционным. Часто оно основывалось лишь на сходстве математических задач по определению собственных частот и критической силы как собственных чисел матрицы коэффициентов некоторой линеаризованной системы уравнений, относящейся к механической системе с конечным числом степеней свободы, или собственных значений некоторого дифференциального оператора, в случае системы с бесконечным числом степеней свободы (в проблеме, устойчивости интересуются, как правило, минимальным собственным числом (значением)). Еще более органичным сближение указанных выше разделов механики стало в связи с развитием теории динамической устойчивости. Существенным импульсом для дальнейшего такого сближения явились работы В. В. Болотина, способствовавшие осознанию специалистами того факта, что само понятие устойчивости форм равновесия (покоя) следует рассматривать как частный случай понятия устойчивости движения, поскольку само равновесие (покой) является частным случаем движения. Даже обоснование широко используемого статического критерия устойчивости становится строгим лишь при использовании аппарата динамики. В связи со сказанным естественно предпослать обсуждению устойчивости изложение динамики. Именно такая последовательность расположения материала и принята в настоящей книге. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...