Якоби алгоритм

Подматрицы Ян отражают свойства отдельных подсхем, Ян, Ян — связи между подсхемами, Яи — изменение граничных переменных. Здесь 1=1, 2,...,/—1 (I—1)—число подсхем. Можно показать, что применение метода Гаусса для решения систем ЛАУ с матрицей коэффициентов блочно-диагонального вида с окаймлением приводит к выполнению арифметических операций только с ненулевыми подматрицами, поэтому метод подсхем можно рассматривать как разновидность методов разреженных матриц. Существенное отличие метода подсхем — возможность организации автономных вычислений для каждой отдельной подсхемы в процессе выполнения прямого и обратного хода в методе Гаусса, что позволяет хранить в оперативной памяти только подматрицы Яге, Ян, Ян и Яи, а не всю матрицу Якоби. Алгоритмы формирования ММС зависят от выбранного координатного базиса V и конструируются на основании простых логических правил, разработанных для схем, содержащих многополюсные элементы (фактически происходит переход от подсхемы к многополюснику). Основной особенностью этих алгоритмов является автономное формирование уравнений моделей подсхем. [c.148]

Использование вышеописанного алгоритма формирования матрицы Якоби непосредственно приводит к ММС вида (4.52). Здесь Ур— проводимость ветви р срл — потенциал к то узла на данном шаге интегрирования ф ,— то же на предыдущем шаге интегрирования. [c.182]

В алгоритмах решения системы конечных уравнений по методу Ньютона для вычисления поправки ДУ,- вместо обращения матрицы Якоби используют решение системы линейных алгебраических уравнений [c.228]

Наиболее сложная часть комплекса - компилятор рабочих программ, именно в нем создаются программы расчета матрицы Якоби Я и вектора правых частей В, фигурирующих в вычислительном процессе (см. рис. 3.9). Собственно рабочая программа (см. рис. 3.10)- это и есть программа процесса, показанного на рис. 3.9. Для каждого нового моделируемого объекта составляется своя рабочая программа. При компиляции используются заранее разработанные математические модели типовых компонентов, известные функции для отображения входных воздействий, алгоритмы расчета выходных параметров из соответствующих библиотек. [c.113]

По затратам машинной памяти неявные методы уступают явным, так как здесь нужно хранить дополнительные массивы ненулевых элементов матрицы Якоби и массивы, содержащие информацию о распределении этих элементов по строкам и столбцам. Для этих массивов нужен дополнительный объем, составляющий, по крайней мере, (2<7 + 1)(р—1) 6а. Учитывая также большую сложность программной реализации алгоритмов метода разреженных матриц, следует заключить, что для машин с малым объемом оперативной памяти (до 8-10 ячеек) более предпочтительны явные методы. При больших объемах памяти неявные методы более предпочтительны, если отношение отрезка интегрирования 7 кон (или периода колебаний Т при 7 кон>7 ) к минимальной постоянной времени анализируемой схемы превышает 0,5-104. [c.102]

Эта формула эквивалентна (6.9). Полученные системы (6.10) и (6.11) решаются методом Ньютона относительно векторов У,-, 1=1, 2,..., т+1. Основное достоинство рассмотренного алгоритма состоит в том, что матрица Якоби для метода Ньютона конструируется непосредственно из подматриц [ Р/(9У], которые вычисляются аналитически в программах анализа электронных схем. При выполнении итераций учитывается структурная разреженность матрицы Якоби. [c.146]

Разделяющие переменные могут быть использованы для построения бифуркационных диаграмм и топологического анализа [170]. Другим их использованием является получение переменных действие-угол, необходимых для изучения возмущенной задачи, а также целей квантования. Здесь мы приведем один из методов, аналогичный использованному в [106] и применим его к случаям Ковалевской, Горячева-Чаплыгина и Чаплыгина (I) на всем пучке скобок (8.13). По сравнению с обычно цитируемой, но слишком формальной процедурой, предложенной А. П. Веселовым и С. П. Новиковым [54], этот алгоритм является более естественным и использует обычный метод введения переменных действие-угол для систем с разделяющимися переменными по Гамильтону-Якоби. [c.317]

Таким образом, алгоритм решения динамической задачи, основанный на использовании уравнения (37.1), сводится к следующему ряду операций. По заданному гамильтониану системы составляют уравнение Гамильтона — Якоби (37.1) и каким-либо способом отыскивают его полный интеграл (37.3). Дифференцируя этот интеграл по произвольным постоянным а, и приравнивая частные производные новым произвольным постоянным , получают [c.208]

Алгоритм Гаусса — Зейделя сходится быстрое алгоритма Якоби. [c.238]

Чаще всего используется внешняя проба производных, основанная на численном дифференцировании. При этом, как следует из 19, алгоритм вычисления производных не зависит от физического смысла параметров оптимизации х и оптимизируемых функций Этот алгоритм включает в себя последовательное изменение параметров оптимизации на небольшие величины б. у и выполнение проб в полученных точках (см. схему 3.9). В данном случае под х нужно понимать параметры оптимизации, а под — оптимизируемые функции. Такой процесс вычисления элементов матрицы А не связан с конкретным содержанием пробы и оптимизационной модели. Он пригоден для оптимизации любых объектов, т. е. внешняя проба производных относится к аппарату оптимизации, а не к оптимизационной модели. Как следует из 19, для получения матрицы Якоби внешней пробой производных требуется выполнить п или 2п проб, т. е. внешняя проба производных отличается значительной трудоемкостью. [c.206]

При реализации данного алгоритма сначала вычисляется радиус г [1р, т]<,) и определитель матрицы Якоби в точках интегрирования, затем — центробежная сила в таких же точках. С помощью матрицы [Л ] найденная сила распределяется по узловым точкам элемента. Просуммировав силы по всем точкам интегрирования, получим вектор узловых центробежных сил элемента. Для получения глобального вектора узловых сил, как уже отмечалось выще, в каждой узловой точке суммируются центробежные узловые силы по всем смежным к ней элементам. [c.47]

Алгоритм вычисления матрицы Якоби в методе узловых потенциалов. Вычисление матрицы Якоби как матричного произведения AYA без учета разреженности матриц А и Y нерационально, так как приводит к излишне большим затратам машинных времени и памяти. Например, в схеме средней сложности, включающей р = 51 и а = 80, матрица А имеет размер 50X80, а матрица Y—размер 80 x 80, т. е. только эти две матрицы для хранения всех их элементов требуют около 10 000 ячеек памяти. В то же время статистические исследования показывают, что ненулевыми в этих матрицах оказываются лишь около 240 элементов. Поэтому на практике используют алгоритмы формирования матрицы Якоби, учитывающие сильную разреженность матриц А и Y. [c.178]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

Поскольку структура компонентных уравнений определена набором элементов, используемых в объекте, то влиять на разреженность можно только за счет топологической части ММС. Один из алгоритмов, обеспечива-ьощий высокую разреженность М-матрицы, а потому и разреженность топологической части матрицы Якоби, основан на включении в дерево в первую очередь тех ветвей (по возможности), которые обладают наибольшим весом. Вес ветви определяется суммарной кратностью вершин, между которыми она включена. Кратность вершины, в свою очередь, определяется количеством ветвей, ей инцидентных. Для графа гидромеханической системы (рис. 3.4, б) ветви, включенные в дерево, отвечают этому условию. [c.124]

Рассмотренные выше критерии позволяют, например, выделить в иерархической структуре математического обеспечения пакета фупущионального проектирования (см. рис. 5.2) элементы, подлежащие генерации (алгоритм Гаусса, расчет матрицы Якоби и вектора невязок, обращение к подпрограммам моделей элементов). Все остальные процедуры н алгоритмы, участвующие в анализе и параметрической оптимизации проектируемого объекта, должны быть реализованы в интерпретирующем виде и храниться в постоянных библиотеках пакета проектирования. [c.137]

В задачу генератора Г входит генерация объектных модулей процедур рабочей программы РП обращения к моделям элементов проектируемого объекта, расчета матрицы Якоби и вектора невязок, прямого и обратного хода алгоритма Гаусса, расчета данных для печати и др. Непосредственно генерации предшествует оптимальная перенумерация переменных математической модели объекта. Генерация объектных модулей производится в соответствии с деле-ннем проектируемого объекта на фрагменты. Такой подход необхо-ДИМ для реализации диакоптических методов анализа и способствует снижению требований к ОП, занимаемой компилятором, так как возникает возможность последовательной обработки фрагментов объекта с сохранением во внутренней БД только необходимого минимума информации о них. [c.143]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

Анализ показывает, что нули главных миноров матрицы Н (К) строго разделяются, а упорядоченная совокупность главных миноров этой матрицы обладает свойством последовательности Штурма. Указанное служит основой эффективной вычислительной процедуры для локализации собственных значений Тп -моделей [2]. Для многомерных моделей эта процедура по быстродействию и затратам оперативной памяти ЭВМ существенно превосходит наиболее прогрессивные современные вычислительные схемы, базирующиеся на методах К. Якоби, В. Гивенса, А. Хаус-холдера [3]. Помимо эффективного определения собственных значений -модели, разработанная процедура выгодно отличается от указанных методов экономичным и надежным (в вычислительном плане) алгоритмом определения собственных форм. Аналогичными преимуществами характеризуются также разработанные алгоритмы определения собственных спектров Г -моделей общего вида. [c.48]

Алгоритм метода Ньютона обладает меньшими Na, Пд и А а по сравнению с алгоритмом метода итераций, однако составление в процессе вычислений матрицы Якоби по dfJdXj (г, / = 1, 2,. . п) приводит к необходимости пользоваться внешней памятью при реализации алгоритма на средних машинах типа Минск-2 и М-20 . [c.185]

Заметим, что рассмотренные здесь алгорттмы дискретного продолжения в качестве основного элемента содержат систему линейных уравнений с расширенной матрицей Якоби /. Это делает их сходными с алгоритмами непрерывного продолжения, и их алгоритмическая близость становится еще более очевидной, если системы (1.2.16), (1.2.22), (1.2.26) решать методом ортогЬналиэации. Рассмотрим подробное уравнение (1.2.16), а дополнительное условие возьмем в форме (1.2.19) [c.41]

Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( > . п. Pi. > Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201]

Для численного решения задач о линейном УГД контакте широкое распространение получили алгоритмы, основанные на методе Ньютона [1, 5, 7, 49] и многосеточном методе [69]. В работе [22] предложен вычислительный алгоритм, объединяющий метод Ньютона и многосеточный метод. Особенностью этого алгоритма является сведение полной матрицы Якоби к трехдиагональной обнулением внетрехдиагональных элементов. [c.509]

Метод Гивенса основан на преобразовании подобия, аналогичном применяемому в методе Якоби. Однако в этом случае алгоритм построен таким образом, что вновь образованные нулевые элементы при всех последующих преобразованиях сохраняются. Поэтому метод Гивенса требует выполнения конечного числа преобразований и по сравнению с методом Якоби связан с меньшими затратами машинного времени. Его единственный недостаток состоит в том, что симметричная матрица приводится не к диагональному, а к трехдиагоня.льному виду. Ниже будет показано, что такая форма матрицы может быть весьма полезной и оправдывает усилия, затраченные на ее получение. [c.60]

Для численной реализации зтого алгоритма необходим эффективный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассо-яа в круге. В работе [5] уравнение Пуассона на прямоугольной сетке решалось попеременно треугольным методом, а для аппроксимации якобиана использовалась аппро1Лимация Аракавы. Был рассмотрен случай зллипса с полуосями 4 и 2, для которого опор-вая функция равна [c.74]

Следствие 7г1. Если среди операторов (7.4), порождающих псевдогруппу имеется к линейно несвязных операторов, то реализация алгоритма асимптотической декомпозиции сводится к последовательному интегрированию системы Якоби (7.15) от п — /с переменных ш системе к независимо интегрируемых уравнений (7.16). (Подробно вопросы построения проекторов рг F, от операторов Fi и решения истем (7.15), (7.16) были рассмотрены в 3,4.) [c.138]

Следствие 7.2. Если известны к линейно несвязных операторов, входящих в псевдогруппу Хц. .., Xft, а также 1 — к операторов Xfe+i,. ..J Xj, допускаемых оператором U (см. соотношения (7.18)), то реализация алгоритма асимптотической декомпозиции сводится к последовательному интегрированию системы Якоби (7.19) от п — [c.139]

Классическим итерацноииым методам — алгоритмам Якоби и Гаусса — Зейделя — свойственны следующие достоинства [c.238]

Этот метод известен также как метод Якоби (Сальвадори и Барон [1961]), как метод - итераций полными этапами (Кренделл [1956]) и как метод одновременных смещений (Янг [1954]) последнее название связано с тем, что каждое значение вычисляется в точке, которую можно брать независимо в любом порядке из последовательности точек (1,1), и поэтому все точки можно в известном смысле рассчитать одновременно. Такое свойство алгоритма очень важно при оценке методов для вычислительных машин с параллельными процессорами. [c.179]

Принцип Рэлея — Ритца привел к матричной задаче на собственные значения К0 — 1М0, которую и надо теперь решить. Однако эта задача не тривиальна, и она почти не рассматривается в обычных учебниках по линейной алгебре. Эффективный алгоритм ее решения должен учитывать симметричность и положительную определенность матриц К и М, а также их разреженность. Последнее свойство, например, потерялось бы, если бы мы разложили М в произведение (исключение Холесского) и вычисляли собственные значения матрицы с помощью обычного алгоритма. (Мы выбрали бы р/ -алгоритм, начинающийся с преобразования исходной, матрицы в треугольную, а не более старый метод Якоби.) Эта потеря разреженности не будет слишком серьезной в небольших задач, которые можно решать при наличии лишь оперативной памяти ЭВМ, но для больших систем этот подход не эффективен. [c.273]

При анализе различных методов полезно сравнивать их с некоторым идеальным методом. Естественно, что в самом лучшем методе мы должны получить направление спуска от исходной точки прямо на искомый минимум, однако при оптимизации нелинейных систем у нас нет информации для такого прстроения. Максимально доступной информацией являются вектор Го значений функций в начальной точке, полученный алгоритмом пробы, и матрица Якоби А, определяемая алгоритмом пробы производных. Как следует из соотношений (5.23), эта информация достаточна для построения линейной модели, поэтому будем считать идеальным методом тот, который на каждом шаге позволяет найти наилучшую точку в пределах области линейности 2 данного шага. При этом на начальных шагах, когда искомый минимум далеко за пределами области линейности, мы продвигаемся практически до границ областей (рис. 5.7), причем то- [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...