Методы построения функции Ляпунова

Методы построения функции Ляпунова [c.53]

К сожалению, неизвестны общие методы построения функций Ляпунова, но во многих случаях их можно угадать . Условия устойчивости, следующие из двух теорем, являются достаточными и при неудачном выборе [c.164]

Методы построения функций Ляпунова и некоторые задачи об устойчивости. ......-.................-............34 [c.7]

Методы построения функций Ляпунова и некоторые задачи об устойчивости [c.34]

Неустановившиеся движения. Изложим восходящий к работам Н. Г. Четаева (1945—1946) метод построения функций Ляпунова для уравнений возмущенного движения вида [c.40]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Трудности практического использования прямого метода Ляпунова нередко связаны с тем обстоятельством, что в общем случае неизвестен способ построения функции Ляпунова. Ряд приемов построения этой функции разработан при введении некоторых ограничений, которым в каждом конкретном случае соответствует область применения полученных при этом результатов [57, 591. [c.75]

Хотя общих методов отыскания функций Ляпунова для произвольных нелинейных систем не существует, в отдельных случаях могут оказаться полезными энергетический способ способ, основанный на использовании аналогии с соответствующей линейной системой метод деления переменных построение функции Ляпунова, в виде связки первых интегралов и т. д. [3]. , [c.38]

Основная трудность в применении метода А. М. Ляпунова состоит в том, что до настоящего времени нет надежного, простого и хорошо разработанного алгоритма обеспечивающего построение функции Ляпунова для любой нелинейной автоматической системы. [c.34]

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА [c.67]

Трудность проверки условия (2.2.14) в области (1.2.2) связана с тем, что в данном случае при изучении задачи у-устойчивости делается расчет (см. разд. 1.2.4) на наихудший случай изменения г-переменных. Поэтому, как и при построении функций Ляпунова, естественно использовать метод сужения допустимой области изменения неконтролируемых г-переменных. А именно, не умея проверить условие (2.2.14) в области (1.2.2), естественно попытаться это сделать в области (2.1.31) при определенном выборе ц-функции. [c.112]

К сожалению, предложенные доказательства обращения теорем метода функций Ляпунова в большинстве случаев являются достаточно сложными, использующими конструкции, содержащие интегралы от решений уравнений возмущенного движения. В связи с этим теоремы о существовании функций Ляпунова, как правило, мало полезны для эффективного построения функций Ляпунова в конкретных прикладных задачах. Вследствие этого задачу упрощения и большего конструктивизма доказательств теорем существования функций Ляпунова можно считать интересной и в дальнейшем. [c.21]

Несмотря на широкое распространение и применение метода функций Ляпунова, общего способа их построения не дано, в связи с чем эффективность построения функций Ляпунова в той или иной задаче в ряде случаев зависит от искусства исследователя. Тем не менее для многих классов задач разработаны регулярные способы построения функций Ляпунова, часть которых излагается ниже. [c.34]

В настоящее время для исследования устойчивости слол<ных нелинейных систем широко используется метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ) [1, 2]. В большинстве работ при практическом применении метода ВФЛ рассматриваются квадратичные функции Ляпунова [3]. В работе [4] предложена методика построения функций Ляпунова для отдельных подсистем в виде квадратичной формы переменных состояния плюс интеграл от нелинейности [c.296]

Примеры на применение метода связки интегралов будут рассмотрены в 2.6. Заметим только, что этот метод был обобщен и послужил основой для построения вектор-функции Ляпунова [12а . [c.57]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Функция Ляпунова ец построена выше для двух конкретных полей скоростей. Однако метод ее построения будет общим для любого поля скоростей. Это позволяет сформулировать две теоремы о равновесии и устойчивости цилиндрических потоков со свободной поверхностью. [c.62]

Общая характеристика метода. Классический метод функций Ляпунова используют для получения строгих достаточных (иногда необходимых и достаточных) условий устойчивости и неустойчивости. В основе метода лежит идея построения таких функций, по знаку производных которых вдоль фазовых траекторий можно судить об устойчивости невозмущенного движения. Если система является стохастической, то необходимо исследовать поведение всего множества реализаций, смежных с невозмущенным движением [56, 142]. [c.301]

Метод Зубова построения вспомогательных систем [Зубов, 1959] основан на знании оценок (сколь угодно грубых) неконтролируемых z-переменных системы (1.2.1) и построении на основе этих оценок некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений той же размерности. Тогда функция Ляпунова для построенной вспомогательной системы решает ЧУ-задачу для исходной системы. [c.90]

Построение оптимальных функций Ляпунова. К настоящему времени не найдено общих конструктивных методов построения И-функций. [c.127]

Замечания. 1°. Возможность применения метода функций Ляпунова к проблеме построения инвариантных множеств динамических систем рассматривается в работе A.A. Бурова и A.B. Карапетяна [1990] при этом дается также обобщение теоремы Рауса (и ее модификаций) об устойчивости стационарных движений. В этой же работе можно найти пример устойчивого инвариантного множества, не являющегося многообразием. [c.273]

По-прежнему остаются актуальными вопросы разработки конструктивных методов построения решающих ЧУ-задачу К-функций Ляпунова как для достаточно общих классов, так и для конкретных нелинейных систем. В этой ситуации значительный интерес представляет дальнейшая работа по ослаблению требований к V- функциям. [c.275]

При решении вопросов обращения основных теорем метода функций Ляпунова было выяснено, что при условиях теорем I, II, IV Ляпунова и теоремы 2 о неустойчивости Четаева наряду с доказываемым свойством устойчивости имеют место некоторые дополнительные свойства (равномерность асимптотической устойчивости и др.). В связи с этим возник вопрос о том, как эти дополнительные свойства связаны с тем или иным ограничением, налагаемым на соответствующую функцию Ляпунова. Выяснение этого вопроса приводит к разнообразным обобщениям и модификациям основных теорем метода функций Ляпунова. Предложенные многими авторами обобщения и модификации выясняют связь свойств функций Ляпунова со свойствами траекторий (ослабление равномерности и т. д.), уточняют оценки качества устойчивости, облегчают построение функций V для конкретных задач путем ослабления требований к этим функциям и т. п. [c.21]

В связи с этим возникла целесообразность краткого рассмотрения вопросов, оказавшихся дискуссионными, а именно построения функции Ляпунова йд [(4.10) (4.24) (4.29) и др.], обоснования метода принципа минимума кинетической энергии гл. 5, а также исходных положений М. А. Гольдштика в критике работы [61] и в построении метода расчета радиуса свободной поверхности во вращающихся потенциальных потоках в трубах при i/d > 1. [c.165]

Особо следует остановиться на проблеме устойчивости в целом систем автоматического регулирования. Первый фундаментальный вклад в решение этой проблемы внес А. И. Лурье (1944), который предложил специальный метод (метод квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности ) построения функции Ляпунова. Метод Лурье и его работы были изучены и развиты в работах десятков советских и зарубежных исследователей (А. М. Летов, И. Г. Малкин, В. А. Якубович, М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер, С. Леф-шец, Ж. Ла-Салль, Р. Калман, Дж. Пирсон и многие другие). Принципиально новый метод исследования устойчивости систем автоматического регулирования предложил румынский инженер В. М. Попов. Метод частотных [c.128]

Спецкурс по теории устойчивости движения состоит из двух частей. В первой части Основы теории устойчивости движения излагаются общие методы решения задач устойчивости и их приложения к анализу динамических систем с сосредоточенными параметрами. Даются основные определения, подробно излагается второй метод Ляпунова, включая метод вектор-функций Ляпунова. Приводится обзор построения функций Ляпунова для некоторых классов нелшейных систем. Излагается теория устойчивости по первому приближению. Дается анализ критических случаев. Во второй части Специальные главы геории устойчивости движения рассматриваются новые подходы к решению задач устойчивости (в частности, принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова) и вопросы абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем (включая подробное изложение результатов В.М. Попова, [c.12]

Метод сужения допустимой области неконтролируемых переменных [Воротников 1995а, 1995Ь, 1998, 1999с] идейно связан с предыдущим и сводится к корректировке структуры области, в которой происходит построение функций Ляпунова. [c.91]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Метод Четаева построения функций Ляпунова из известных первых интегралов уравнений возмущенного движения оказалось возможным применить также в задачах устойчивости движения по отношению к части переменных (В. В. Румянцев, 1957 М. Е. Темченко, 1958) и в задачах устойчивости твердых тел с полостями, содержащими жидкость (В. В. Румянцев, 1955, 1959—1960). [c.36]

Близкий к методу Четаева возможный способ построения функций Ляпунова для линейных уравнений с переменными коэффициентами предложил Я. Н. Ройтенберг (1958). Этот способ состоит в выделении из коэффициентов уравнений части, не зависящей от времени. Система преобразуется так, чтобы выделенная постоянная часть имела канонический вид, корни характеристического уравнения которой были бы простыми. Функция Ляпунова V строится далее в виде суммы квадратов новых переменных со знаком минус. Условия устойчивости доставляются условиями определенной положительности У, накладывающими на переменные части коэффициентов некоторые ограничения. Успешность решения задачи зависит от удачного разделения уравнений на постоянную и переменную части. Для большей гибкости процедуры предлагается варьировать функцию Ляпунова введением коэффициентов перед квадратами переменных. Этот способ Я. Н. Ройтенберг (1965) распространил в дальнейшем на линейные уравнения в конечных разностях. Роль производной функции Ляпунова здесь уже играет в силу системы первая разность функции Ляпунова (см. Ю. И. Неймарк, 1958). [c.43]

Метод Лурье построения функций Ляпунова вида (8.10) нашел широ-кое применение также при решении одной задачи из теории автоматического управления, поставленной М. А. Айзерманом (1949). Эта задача состоит в следующем. Наряду с системой уравнений [c.45]

Задача Айзермана для случая ге = 2 исследована Н. П. Еругиным (1950, 1952), указавшим многие случаи, когда задачи (а) и (б) имеют положительное решение. Для решения этой задачи он применил качественные методы исследования траекторий на плоскости х , х . Эти работы привлекли внимание многих ученых как к этой задаче, так и вообще к задачам устойчивости в целом. Построением функций Ляпунова по методу Лурье И. Г. Малкин (1952) показал, что для случая п — 2 задача (б) имеет [c.45]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

В практическом использовании второй метод Ляпунова значитель но сложнее, чем способы исследования устойчивости по первому при ближению, ибо общих рецептов построения функций Ляпунова не су ществует- Теория устойчивости по первому приближению сводит вопр об устойчивости к чисто алгебраической задаче - к анализу расположени корней характеристического уравнения в комплексной плоскости корне а для этой цели разработаны различные стандартные приемы [14, 33]. [c.44]

Предложенный впервые А, И. Лурье и развитый А. М. Летовым [69, 74] метод построения К-функции Ляпунова основывается на предварительном преобразовании исходной нормальной системы дифференциальных уравнений (3.59) к особой однообразной форме, названной канонической. [c.534]

Значит, как метод функций Ляпунова, так и метод построения вспомогательных ц-систем в ЧУ-задачах могут пропустить в качестве допустимых системы с г-непро-должимыми решениями. [c.125]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Н. Г. Четаев (1945) эти результаты получил на основании второго метода. В сомнительных случаях (когда правые части дифференциальных уравнений не зависят от ) Ляпунов либо доказывал вторым методом асимптотическую устойчивость нулевого решения либй неустойчивость (при этом решения в окрестности нулевого решения построить мы не умеем и по сей день), либо в сочетании первого метода (построение интегральной поверхности — интегрального множества) и второго доказывал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Но в этом случае он мог бьг построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следует и неасимптотическая устойчивость нулевого решения рассматриваемой системы. Мы видим, таким образом, что в случае асимптотической устойчивости нулевого решения удается построить функцию Ляпунова [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...