Ляпунова функция

Характеристичным числом Ляпунова функции г называется такое вещественное число X, что функция будет не- [c.241]

Пусть вдоль оси 0 исследуемого перманентного вращения расположена большая или малая ось эллипсоида инерции. Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей эллипсоида инерции, это означает, что А а В, С или А>В, С. Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию [c.211]

Однако сформулированный выше критерий устойчивости сохраняет свою силу и в общем случае, когда для возмущенного движения величины = —р1 а. = т- , . .., п) могут быть отличными от нуля ). Для того чтобы убедиться в этом, достаточно использовать следствие из теоремы Ляпунова (стр. 209), взяв в качестве функции Ляпунова функцию [c.288]

Второй метод основан на использовании так называемых F-функций, иначе функций Ляпунова,— функций от х , относительно изменения [c.125]

Рассматривая в качестве функции Ляпунова функцию [c.586]

Локальная положительная инвариантность 219 Ляпунова функция [c.241]

ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ВТОРОГО РОДА. При исследовании устойчивости неустановившихся движений по второму методу Ляпунова функции, скорость изменения которых в силу уравнений возмущенного движения определяет при известных условиях общее направление изменений координат системы, как правило, явно зависят от времени. Такие функции будем называть в дальнейшем функциями Ляпунова второго рода. Они зависят, кроме , от относительных координат х , Х2,. .., обращаются в нуль для Ху = Х2=. .. = х = Он для них, так же как и для функций первого рода, должна существовать область [c.406]

Вторая теорема Ляпунова. Если в положении равновесия консервативной системы функция V (q) имеет строгий максимум и это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов наименьшей степени m 2 в разложении V q) в ряд по степеням q, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова. Рассмотрим теперь строго диссипативную систему, т. е. стационарную систему, отличающуюся от консервативной наличием таких непотенциальных обобщенных сил Q, что [c.230]

Теорема Ляпунова. Если можно найти такую непрерывную функцию V (х), что [c.233]

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

Рассмотрим случай, когда Л меньше как В, так и С. В качестве функции Ляпунова выберем функцию [c.235]

Предположив теперь, что А больше, чем В, и больше, чем С, и взяв в качестве функции Ляпунова ту же самую функцию, но заменив у членов, стоящих вне квадратной скобки, знак плюс на минус, вновь приходим к тому же выводу. [c.235]

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить [c.235]

Функции Ляпунова. Теоремы об устойчивости. движения автономных систем [c.85]

Определение. Если функция V и ее производная (2.19) непрерывны и однозначны в области (2.7) и если они тождественно равны нулю при X = О, то функцию V называют функцией Ляпунова. [c.85]

Замечание 8.6.1. Функция 1/(<,х), удовлетворяющая условию теоремы 8.6.1, называется функцией Ляпунова. [c.569]

Тем самым Д есть функция Ляпунова. [c.570]

Может ли функция Ляпунова зависеть только от части обобщенных координат или скоростей [c.623]

Рассмотрим сначала условие устойчивости движения (11.309), найденное А. М. Ляпуновым. Период <о функции Ф t), как это видно из формулы (а), равен 2я/Я. Условие, при котором Ф(0—положительная знакопостоянная функция, имеет следующий вид [c.317]

Сначала рассмотрим частный, но наиболее важный случай, когда функции Qk, введенные А. Д4. Ляпуновым, определяются равенствами [c.328]

Это замечание позволяет упростить применение признаков устойчивости движения по А. М. Ляпунову к вопросу об устойчивости траекторий. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени t, и приравнивая остальные координаты функциям Qh Ляпунова, вновь заключаем, что определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому вытекает из общего определения А. М. Ляпунова как частный случай. [c.330]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Следуя Ляпунову, функции ф и г ) можно получить в виде сходящихся рядов. Для этого введем в уравнение Хилла параметре [c.90]

Ввиду важност11 данного свойства закона управления (4.61) приведем его доказательство, воспользовавшись для этого вторым методом Ляпунова. Функция Ляпунова в рассматриваемой задаче устойчивости вводится следующим образок (см. [1)) [c.480]

В которой для всех i > О эти функции конечны, однозначны, непрерывны по всем переменным и знакоопределенны. Однако определение знакоопределенности функций, явно зависящих от времени, существенным образом отличается от определения знакоопределенности функций первого рода. По Ляпунову функция [c.407]

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравргения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так [c.234]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Приведем формулировку одной из теорем Ляпунова если отсутствие минимума потенциальной энергии П в исследуемом положении равновесия обнаруживается уже по членам второго порядка или вообш е по членам наименьшего порядка) в разложении функции Л qi, <72,, Qs) в ряд Тейлора, то равновесие неустойчиво. [c.43]

Выполнение всех перечисленных операций — отыскание корней (7.4), составление характеристического полинома (7.5) и проверка условия локальной устойчивости, нахождение области Sn — представляет значительные труд-1ЮСТИ, которые далеко не всегда могут быть преодолимы аналитически. При этом наиболее сложным является определение или оценка области притяжения. Разработанный для этого аналитический аппарат функций Ляпунова приводит к успеху лишь в ограниченном числе случаев. В остальных случаях остается только прямое вычисление областей б (/). Как правило, это трудоемкая, но с привлечением вычислительных машин вполне выполнимая операция. В последнее время при решении конкретных задач к ней прибегают все чаще и чаще [56, 58, 10, 9, 14, 16, 17]. [c.246]

Теорема 2.4. (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция К(х), для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с У, или тождественно обращается в нуль, ТО невозмущенное движение устойчиво. [c.85]

Закон был открыт Лагранн<ем (1788 r. i и в отношении устойчивости равновесия при максимуме силовой функции строго доказан Лежсн Дирихле (1846 р.) в отношении же неустойчивости равновесия, при котором условие максимума силовой функции не выполнено, доказан для шнрокоро класса случаев А. М. Ляпуновым (1892 и 1897 г.), но пока еще никем не доказан в общ,ем виде. [c.401]

Достаточным условием устойчивости нулевого рещения с.аужит существование функции Ляпунова. Применительно к рассматриваемому случаю функция Ляпунова есть дифференцируемая функция [c.569]

Попытаемся применить метод, которым мы пользовались в этом параграфе при доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле, к доказательству теорем А. М. Ляпунова. Вновь рассмотрим функцию [c.227]

Соотношения (П.381Ь)—искомые уравнения в вариациях. Они соответствуют уравнениям (П.331Ь) первого приближения В теории устойчивости движения А. М. Ляпунова. Вместе с уравнениями (11.379) уравнения (П.381Ь) составляют систему 2д уравнений с неизвестными функциями х, Х2, х , 6x1, [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...