Движение точки по гладкой поверхности или кривой

Первое уравнение этой системы утверждает, что движение точки по поверхности равномерное. Из третьего уравнения следует, что геодезическая кривизна траектории равна нулю. Следовательно, если на точку не действуют активные силы и поверхность Р — идеально гладкая, точка М движется равномерно по геодезической кривой. [c.427]

Наконец, введем еще понятие об идеальной связи. При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Очевидно, что чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция будет направлена по нормали. [c.126]

Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил FI и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и N =0. Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим [c.214]

Если связью служит неподвижная гладкая поверхность (рис. 170), то она дает реакцию N, приложенную в точке касания А тела к этой поверхности и направленную по нормали к ней напряжение реакции зависит от активных сил, действующих на тело, и от движения тела. Неподвижная гладкая кривая, служащая связью (рис. 171), развивает [c.182]

Движение точки по гладкой поверхности или кривой [c.387]

Заметим, что дифференциальные уравнения движения точки по заданной идеально гладкой или шероховатой кривой, рассматриваемой как пересечение двух поверхностей [c.482]

Рассмотрим, например, движение материальной точки по абсолютно гладкой поверхности или кривой. Виртуальные перемещения точки в обоих случаях перпендикулярны к силам реакции связей, [c.151]

Случай в соответствует типичной траектории в окрестности первичного резонанса (рис. 1.10,6). Пересечения траектории с поверхностью образуют пять гладких замкнутых кривых первичных островов), окружающих неподвижные точки (случай б). Наконец, случай г иллюстрирует еще более сложное движение замкнутую периодическую траекторию, которая за 15 оборотов по три раза обходит первичный резонанс й 5 / = 2 Этот случай представляет пример вторичного резонанса между колебаниями на первичном резонансе и невозмущенным движением. Вторичные резонансы возникают под действием возмущения и в свою очередь окружены резонансами еще более высокого порядка. [c.62]

Перейдем к задаче о движении точки по кривой. Теоретически, для подсчета числа неизвестных функций и числа уравнений, кривую удобно рассматривать как пересечение двух поверхностей, которые можно выбирать различными способами. В этом случае будут два уравнения связи и соответственно два множителя, Ях и Нормальная реакция связи будет равна геометрической сумме двух векторов, Ящ и Яп2, ортогональных к поверхностям, пересечение которых образует заданную кривую. Однако при решении задач о движении материальной точки по заданной кривой удобнее воспользоваться естественными координатами, поскольку геометрия кривой известна. Предполагая, что кривая абсолютно гладкая, запишем уравнение (2.54) в проекциях на естественные оси [c.92]

Динамические, трещины. Пусть в линейно-упругом теле распространяется некоторый математический разрез со свободными вблизи кромки берегами. Поверхность разреза в любой момент времени считаем гладкой, так что вектор скорости роста разреза лежит в плоскости, касательной к поверхности разреза в соответствующей точке. Под скоростью движения контура (кривой) в пространстве, как обычно, понимается скорость по нормали к контуру. [c.239]

В плоских задачах о внедрении в упругое полупространство цилиндрических тел, как правило, предполагается, что поверхность Ej, ограничивающая ударник, является гладкой, а ее направляющая кривая выпукла. Эти вопросы при вертикальном движении ударника и постоянной скорости внедрения рассмотрены в работах В. Д. Кубенко [41], С. Н. Попова [51, 52], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [42]. В первой из них использовано разложение в тригонометрический ряд Фурье по координате х с периодом, равным расстоянию между соседними периодически расположенными на полуплоскости фиктивными штампами. Он выбирается так, чтобы за рассматриваемый промежуток времени соседние штампы не оказывали влияния друг на друга. В трех других работах с помощью интегральных преобразований задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдены напряжения в центральной точке контакта. [c.378]

Некоторое указание на причину возникновения стохастичности вблизи сепаратрисы можно получить из картины перекрытия резонансов, которое приводит к чрезвычайно запутанному движению, в особенности с учетом резонансов высоких порядков. К такому же заключению можно прийти и с другой точки зрения, рассмотрев траекторию самой сепаратрисы. Как из теоретического анализа, так и из численных экспериментов следует, что с учетом возмущения сепаратриса не является уже такой гладкой кривой, как в интегрируемой системе (рис. 1.4), а напротив, также оказывается чрезвычайно сложной. Движение вблизи сепаратрисы подробно обсуждается в п. 3.26. При достаточно малом возмущении инвариантные поверхности ограничивают область стохастического движения (см. 3.2а), однако с увеличением возмущения резонансы более высоких порядков отодвигают инвариантные поверхности от сепаратрисы и тем самым расширяют область сложного движения. [c.63]

С. Траектория точки при движении по инерции по гладкой стационарной поверхности является геодезической кривой. [c.67]

В случае идеально гладкой поверхности реакция целиком сводится к силе, нормальной к поверхности. Таким образом, если связью служит поверхность без трения, то реакция связи нормальна к связи. В этом случае элементарная работа реакции на любом возможном перемеи ении точки равна нулю, так как сила направлена перпендикулярно к перемеи ению. Подчеркнем, что по определению возможных перемещений только что сказанное верно как в случае стационарных, так и нестационарных связей. Само собой разумеется, что элементарная работа реакций на той части бесконечно малого перемещения, которая соответствует собственному перемещению связи, может быть в общем случае и не равна нулю. Точно так л<е в случае движения по идеальной абсолютно гладкой кривой реакция будет нормальна к кривой и работа реакции на возможном перемещении будет равна нулю. Если же поверхности или кривые не идеально гладки, то работа реакций не будет равна нулю. Аналогичное заключение относится к твердому телу, скользящему по плоскости. Если поверхности соприкасающихся тел идеально отполированы, реакция будет направлена по общей нормали к ним при этом работа реакции на. "юбом возможном перемещении будет равна нулю. [c.315]

Если движущая сила равна нулю, то теорема живой силы непосредственно дает = onst. Скорость точки имеет постоянную величину во все время движения. В этом случае нормальная реакция N поверхности есть в то же время полная сила, действующая на точку поэтому эта сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости к траектории и направлена по главной нормали к этой кривой. Таким образом, главная нормаль к траектории в каждой ее точке есть в то же время нормаль к поверхности. Кривые, обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Можно доказать, что геодезические линии являются кратчайшими из всех линий, которые можно провести на поверхности между двумя точками, если только эти две точки находятся достаточно близко одна от другой. Таким образом, если при движении точки по абсолютно гладкой поверхности движущая сила равна нулю, то траекторией точки будет геодезическая линия. В частности, если поверхность сферическая, то траекторией точки будет дуга большого круга этой сферы. [c.195]

Движение, описываемое этим гамильтонианом, рассматривается в следующем параграфе. Известно, что эта система неинтегрируема Хенон и Хейлес 188] обнаружили в численных экспериментах, что при увеличении энергии Н = Е происходит переход от регулярного движения к стохастическому. При этом оказалось, что стохастичность присутствует в какой-то мере при любой энергии. Все это указывает на отсутствие в системе изолирующего интеграла. Форд и др, [136] исследовали численно гамильтониан Тоды Н, ожидая получить такой же результат. Каково же было их удивление, когда они обнаружили, что траектории остаются регулярными для произвольной энергии Н = Е, т. е. все пересечения траектории с поверхностью х = О ложатся на гладкие инвариантные кривые. На рис. 1.9 кривые показаны для значений Е = я Е = = 256. Эти результаты резко расходятся с данными следующего параграфа, согласно которым в модели Хенона—Хейлеса траектории, заполняющие значительную часть площади, явно видны вплоть до такой низкой энергии, как Е = 1/8. Это различие связано, конечно, с тем, что у цепочки Тоды есть скрытая симметрия и соответствующий ей изолирующий интеграл. Воодушевленный численными результатами Форда, Хенон [186] нашел явное аналитическое выражение для этого интеграла [c.54]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

В общем случае гладкая регулярная поверхность Д И) сложной формы имеет выпуклые, вогнутые и выпукловогнутые участки. Поэтому К-отображение такой поверхности располагается в двух или в трех разрешенных сектора а , а2, аз одновременно. Движению по поверхности Д И) от одной точки к другой соответствует перемещение из одной точки ее К-отображения в другую. Переход из одного разрешенного сектора К-отображения в другой возможен при пересечении одной из осей координат (точки которых соответствуют A -отображению параболических локальных участков поверхности Д И)) либо через начало системы координат К,д и) 2.д ц) (совпадающая с ним точка соответствует К-отображению точки уплощения, являющейся вырожденной параболической точкой). Это хорошо согласуется с доказанным в дифференциальной геометрии поверхностей положением (Норден А.П., 1948 do armoM., 1976 StruikD.J., 1961) если некоторая поверхность содержит выпуклые и вогнутые участки, на ней всегда существуют параболические кривые. [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...