Движение точки по гладкой кривой

Движение точки по гладкой кривой линии [c.254]

Если при рассмотрении этой задачи за оси координат взять естественные оси, то дифференциальные уравнения движения точки по гладкой кривой примут вид [c.227]

Движение тонки по гладкой кривой [c.261]

J5.41 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ КРИВОЙ ЗД, [c.345]

J B 4l ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ КРИВОЙ [c.347]

Движение точки по гладкой поверхности или кривой [c.387]

Рассмотрим движение весомой точки по гладкой кривой, лежащей в вертикальной плоскости (рис. 196) проектируя уско рение точки и силу ее веса на касательную к кривой, получим уравнение [c.462]

Естественные координаты удобны, в частности, тем, что в случае движения материальной точки по гладкой кривой реакция связи не входит в первое уравнение. Если же кривая шероховатая, то сила трения не входит во второе и третье уравнения. [c.93]

Случай несвободного движения. При несвободном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа заданных (активных) сил FI и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и N =0. Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим [c.214]

Если связью служит неподвижная гладкая поверхность (рис. 170), то она дает реакцию N, приложенную в точке касания А тела к этой поверхности и направленную по нормали к ней напряжение реакции зависит от активных сил, действующих на тело, и от движения тела. Неподвижная гладкая кривая, служащая связью (рис. 171), развивает [c.182]

Движение тяжелой точки по неподвижной кривой. Пусть точка М массы т движется в однородном поле тяжести по заданной гладкой неподвижной кривой (рис. 359). Направим вертикально вверх ось г. Тогда V = mgz, и уравнение (11) даст [c.407]

Первое уравнение этой системы утверждает, что движение точки по поверхности равномерное. Из третьего уравнения следует, что геодезическая кривизна траектории равна нулю. Следовательно, если на точку не действуют активные силы и поверхность Р — идеально гладкая, точка М движется равномерно по геодезической кривой. [c.427]

Частица движется по гладкой кривой, лежаш,ей в вертикальной плоскости. Найти время движения частицы между двумя точками на кривой. [c.74]

Заметим, что дифференциальные уравнения движения точки по заданной идеально гладкой или шероховатой кривой, рассматриваемой как пересечение двух поверхностей [c.482]

При движении точки по неподвижной гладкой кривой дифференциальные уравнения имеют тот же вид, что и уравнения (7.8), а уравнением связи является уравнение г ривой. Но в этом случае удобнее пользоваться дифференциальными уравнениями движения в проекциях на естественные оси, так как траектория точки известна. Они аналогичны уравнениям (7.6) ,. . [c.107]

Этот результат легко обобщить на случай движения материальной точки под действием произвольных сил по гладкой кривой такой формы, какую может описать точка при свободном движении под действием тех же сил, но при надлежащих начальных условиях. [c.96]

Рис. 4. Движение точки по кривой, взаимодействие с которой может привести к появлению касательной силы реакции (неидеальная связь). В этом случае необходимо предлагать какую-либо конкретную модель для этой силы в первую очередь указав зависимость ее от скорости. Основными являются две модели вязкое трение (зависимость — линейная или вообще нечетная гладкая функция) и сухое трение (зависимость разрывная типа функции sgn)

Наконец, введем еще понятие об идеальной связи. При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Очевидно, что чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция будет направлена по нормали. [c.126]

Предположим, что голономные идеальные связи допускают движение материальной точки (г, т) только по гладкой кривой в [c.261]

Свойства точек кривой. Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называется гладкой. Кривая, состоящая только из одних гладких точек, называется гладкой кривой. Точка кривой называется обыкновенной, если при движении точки по кривой направление ее движения и направление поворота касательной не изменяются. Точки, не отвечающие этим требованиям, называются особыми. [c.56]

Примеры. Пример 1, Теорема Эйлера. Точка движется по гладкой кривой под действием силы Р, направленной по касательной и зависящей от ее расстояния 5 до положения равновесия А. Время достижения положения А при движении точки из произвольного положения без начальной скорости не зависит от дуги. Докажите, что если движение происходит в пустоте, то Р = Сх если же движение происходит в среде, сила сопротивления которой равна к ь , то Р = = С (е — 1). Это утверждение следует доказать непосредственно методом п. 495, а не как частный случай общего результата. [c.442]

Основная исходная модель всех материальных объектов в механике — материальная точка. Она заменяет материальный объект (тело или его часть) с пренебрежимо малыми по условиям задачи размерами, но конечной массой. Тела и их части моделируются геометрической точкой, которая наделяется массой, проявляющейся при взаимодействиях. Существенное свойство материальной точки состоит в том, что мы можем определить ее положение в пространстве и скорость (импульс) в каждый момент времени. При этом материальная точка движется по гладкой кривой линии — траектории движения. [c.27]

Перейдем к задаче о движении точки по кривой. Теоретически, для подсчета числа неизвестных функций и числа уравнений, кривую удобно рассматривать как пересечение двух поверхностей, которые можно выбирать различными способами. В этом случае будут два уравнения связи и соответственно два множителя, Ях и Нормальная реакция связи будет равна геометрической сумме двух векторов, Ящ и Яп2, ортогональных к поверхностям, пересечение которых образует заданную кривую. Однако при решении задач о движении материальной точки по заданной кривой удобнее воспользоваться естественными координатами, поскольку геометрия кривой известна. Предполагая, что кривая абсолютно гладкая, запишем уравнение (2.54) в проекциях на естественные оси [c.92]

Определение реакции связи. При движении точки вдоль неподвижной гладкой кривой реакции связи можно определять по уравнениям (76) и (7в) при этом, когда действующие активные силы потенциальны, для отыскания входящей в уравнение (76) скорости V проще всего пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии. [c.407]

Пример 8.11.1. (Задача о брахистохроне). Материальная точка массы т соскальзывает без начальной скорости в поле параллельных сил тяжести в вертикальной плоскости по абсолютно гладкой кривой у, соединяющей заданные начальную точку А и конечную точку В. Среди всех дважды непрерывно дифференцируемых кривых у, проходящих через фиксированные точки А л В, найти такую, для которой время движения точки из. 4 в б минимально. [c.601]

Рассмотрим движение материальной точки по идеально гладкой кривой, которая для нее является связью. Пусть кривая, по которой движется материальная точка, определяется системой уравнений [c.429]

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной идеально гладкой плоской неподвижной кривой. Пусть на движущуюся точку действует активная сила лежащая с этой линией в одной плоскости. Тогда, кроме силы Р , к точке будет приложена еще реакция связи N, направленная по нормали к данной линии и лежащая с ней в одной плоскости. В этом случае уравнения (10) примут следующий вид [c.483]

Движение точки по заданной неподвижной кривой. Рассмотрим материальную точку, движущуюся по ида ной гладтой неподвижной кривой под действием активных сил FI, F%,. , F% и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О и будем определять положение точки М криволинейной координатой5=0 Л1 (см. 37). Проведем из точки М оси МгпЬ (см. 42), т. е. касательную Мх (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль Мп (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль Л16 и воспользуемся уравнениями (И) из 77. Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой, [c.219]

Уравнения (7) называются естественными уравпелиями движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой. Они замечательны тем, что первое из этих уравнений не содержит наперед неизвестной реакции связи и служит для нахождения закона движения точки уравнения же (76) и (7в) определяют реакцию связи, которая, как видим, зависит как от активной силы р, так и от скорости движения. [c.405]

Если движущая сила равна нулю, то теорема живой силы непосредственно дает = onst. Скорость точки имеет постоянную величину во все время движения. В этом случае нормальная реакция N поверхности есть в то же время полная сила, действующая на точку поэтому эта сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости к траектории и направлена по главной нормали к этой кривой. Таким образом, главная нормаль к траектории в каждой ее точке есть в то же время нормаль к поверхности. Кривые, обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Можно доказать, что геодезические линии являются кратчайшими из всех линий, которые можно провести на поверхности между двумя точками, если только эти две точки находятся достаточно близко одна от другой. Таким образом, если при движении точки по абсолютно гладкой поверхности движущая сила равна нулю, то траекторией точки будет геодезическая линия. В частности, если поверхность сферическая, то траекторией точки будет дуга большого круга этой сферы. [c.195]

Дифференциальные уравнения движения частицы по ilie-роховатой кривой. В 128 были выведены уравнения движения частицы по абсолютно гладкой кривой, отнесё11ные к осям естественного трехгранника [формулы (22.8) на стр. 211], Нели кривая шероховатая, то, кроме нормальной реакции, возникает сила трения, направленная по касательной к траектории противоположно скорости частицы. Следовательно, уравнения движения частицы по шероховатой кривой напишутся следующим образом [c.230]

Несвободное движение материальной точки. Дана кривая, по которой движется точка. Силы, действующие на точку, в этом случае делятся на активные силы и реакцию кривой. Точка оказывает давление ка кривую, и кривая действует, на точку равной и противоположно направленной реакцией. Если кривая абсолютно гладкая, то реакция будет направлена по нормали к кривой. Если между кривой и точкой возникает трение, то реакция кривой разбивается на две составляющие - нормальную реакцию N и силу трения, равную fN и направленную по касательной к кривой в сторону, противоположную направлению скорости точки, Коэффждаент / является коэффициентом трения скольжения в начале движения. При решении задач на движение точки по кривой целесообразно применять естественные уравнения движения точки [c.49]

Рассмотрим движение материальной точки по гладкой материальной кривой предполагая, что кривая может со временем менять свою форму и положение относительно системы отсчета Oxyz, в которой определены силы, действующие на материальную точку. Кроме активных сил на точку будут действовать еще и силы реакции связи. Так как кривая гладкая, то силы реакции не будут препятствовать перемещению точки по кривой, и полная реакция кривой будет ортогональна к кривой. [c.258]

В случае идеально гладкой поверхности реакция целиком сводится к силе, нормальной к поверхности. Таким образом, если связью служит поверхность без трения, то реакция связи нормальна к связи. В этом случае элементарная работа реакции на любом возможном перемеи ении точки равна нулю, так как сила направлена перпендикулярно к перемеи ению. Подчеркнем, что по определению возможных перемещений только что сказанное верно как в случае стационарных, так и нестационарных связей. Само собой разумеется, что элементарная работа реакций на той части бесконечно малого перемещения, которая соответствует собственному перемещению связи, может быть в общем случае и не равна нулю. Точно так л<е в случае движения по идеальной абсолютно гладкой кривой реакция будет нормальна к кривой и работа реакции на возможном перемещении будет равна нулю. Если же поверхности или кривые не идеально гладки, то работа реакций не будет равна нулю. Аналогичное заключение относится к твердому телу, скользящему по плоскости. Если поверхности соприкасающихся тел идеально отполированы, реакция будет направлена по общей нормали к ним при этом работа реакции на. "юбом возможном перемещении будет равна нулю. [c.315]

Пусть материальная точка массы т под действием активных сил движется по заданной неподвижной идеально гладкой кривой (рис. 286). Примером такого движения может слулсить движение шарика в кри-волинейной трубке. Тогда уравне-Рис. 286 ние этой несвободной точки в век- [c.482]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...