Момент инерции тела относительно произвольной оси

Как видно из формул (1.53а), моменты инерции тела относительно координатных осей равны интегралам от произведения элемента массы йт на квадрат его расстояния от соответствующей оси. Следовательно, момент инерции тела относительно произвольной оси и можно определить так [c.57]

Теорема. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции те,ш относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела центральной оси), и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. [c.84]

Формула для момента инерции тела относительно произвольной оси [c.281]

Из формулы (25) видно, что для вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси , проходящей через начало координат— точку О тела, достаточно знать направляющие косинусы оси L и вычислить шесть величин — осевые моменты инерции тела относительно координатных осей и соответствующие этим осям его центробежные моменты инерции. Заметим, что для данного твердого тела и заданной системы осей координат Охуг, не меняющей своей ориентации относительно тела, величины Уу, УУу и Убудут постоянными. [c.561]

Что понимается под моментом инерции тела относительно произвольной оси [c.184]

Так как ось г может иметь произвольное направление, то это уравнен ние выражает следующую теорему момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции его относительно оси, которая параллельна данной и проходит через центр тяжести тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния центра тяжести от данной оси. [c.50]

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции 5 0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела т на квадрат расстояния а между осями [c.233]

Если требуется найти момент инерции тела относительно произвольной оси (рис. 13.9), то способом качания сначала определяют период колебаний тела относительно оси, на которую жестко насажены два цилиндра, с известными моментами инерции. Затем определяют период колебаний исследуемого тела относительно той же оси без цилиндров. Тогда, если период колебания тела совместно с цилиндрами равен [c.312]

Момент инерции твердого тела относительно оси Ох удовлетворяет неравенству Jqx где J — момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через точку О. Показать, что ось Ох является главной осью инерции тела для точки О. Сохраняет ли силу это утверждение, если Jqx J [c.108]

Таким образом, каждой точке О твердого тела соответствует поверхность второго порядка, обладающая тем свойством, что момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через точку О, обратно пропорционален квадрату длины радиуса-вектора точки пересечения этой поверхности с осью. Удобство этого геометрического построения состоит в том, что соотношения, Которые существуют между моментами инерции относительно пучка прямых, исходящих из произвольной точки О, могут быть обнаружены с помощью известных свойств квадратичных форм. [c.27]

Поскольку в зависимости от условий задачи тело может участвовать во вращении относительно той или иной оси, возникает необходимость находить момент инерции тела относительно любой оси. Существуют две теоремы, позволяющие выразить момент инерции тела относительно произвольной оси всего через три значения момента инерции, сводя тем самым задачу к нахождению этих трех так называемых главных значений момента инерции. В теоретической механике доказывается, что у всякого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые замечательны тем, что тело, будучи вовлеченным в свободное вращение относительно этих осей, стремится сохранить состояние равномерного вращения и ориентацию оси в пространстве, т.е. такие вращательные движения обладают инерцией. Эти оси называются главными осями инерции,а моменты инерции тела относительно них и являются главными значениями момента инерции тела. Заметим, правда, что вращение относительно главной оси, которой соответствует промежуточное по величине значение главного момента инерции, является неустойчивым. [c.67]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Эллипсоид инерции. Рассмотрим моменты инерции тела относительно различных осей, проходящих через данную точку О. Примем эту точку за начало системы осей декартовых координат Охуг. Пусть направление произвольной оси Од характеризуется направляющими косинусами а, р, у. Радиус-вектор произвольной точки ту/ тела обозначим через Гу [c.359]

Выберем в качестве основных осей координат некоторые оси, проходящие через центр тяжести тела, и будем считать моменты инерции тела относительно этих осей известными. Чтобы вычислить моменты инерции этого же тела относительно других произвольно расположенных осей, нужно [c.20]

Теорема о параллельных осях. Даны моменты и произведения инерции тела относительно произвольных осей, проходящих через центр тяжести тела. Найти моменты и произведения инерции относительно любых параллельных им осей. [c.20]

Этим эллипсоидом можно также воспользоваться для нахождения момента инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат. Пользуясь результатами, полученными в п. 15, можно доказать, что момент инерции тела относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат, пропорционален разности двух выражений. Одно из пих является суммой величин, обратных квадратам длин полуосей этого эллипсоида, другое — величиной, обратной квадрату длины радиуса-вектора эллипсоида, направленного вдоль данной прямой. Рассматриваемый эллипсоид является поверхностью, взаимной эллипсоиду Лежандра. У всех этих эллипсоидов главные диаметры совпадают по направлению, и любой из этих эллипсоидов может быть использован для определения направления главных осей инерции в произвольной точке. [c.34]

Вычисление момента инерции твердого тела относительно произвольной оси. Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, можно легко определить, если известны направления его главных центральных осей инерции и моменты инерции тела [c.105]

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОСЕЙ [c.110]

Как вычисляют момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, проходящей или iie проходящей через центр масс тела [c.117]

Теорема момент инерции / твердого тела относительно произвольной оси О равен моменту инерции 1с этого тела относительно оси С, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы т тела на квадрат расстояния а между осями [c.240]

При помощи этой формулы момент инерции тела относительно оси, произвольно проведенной через некоторую точку тела, выражается через моменты инерцни относительно трех пересекающихся в этой точке взаимно перпендикулярных осей н соответствующие этим осям центробежные моменты инерции. [c.284]

Возьмем теперь произвольную точку В тела массы с координатами j ,, / и 2. Расстояние точки В от оси z обозначим через а расстояние от оси 2j — через /г/. Тогда согласно определению моменты инерции тела относительно оси z и относительно оси будут равны [c.558]

Общая формула для момента инерции твердого тела относительно произвольной оси. Найдем момент инерции твердого тела относительно произвольно выбранной оси L, проходящей через заданную точку О. Направление этой оси определим тремя направляющими косинусами этой оси в произвольно заданной декартовой системе осей координат Охуг, начало которой совпадает с точкой О (рис. 330). [c.559]

Пусть нам требуется вычислить момент инерции У относительно произвольно выбранной оси /, направление которой образует с главными центральными осями инерции углы а, р и 7 (рис. 333). Проведем через центр масс тела ось L, параллельную оси I. Обозначим расстояние между осями / и L через d. Тогда по теореме Гюйгенса будем иметь [c.564]

При произвольных направлениях осей координат выражение 2 т(х2 -ф у ) называют моментом инерции тела относительно оси 2 он равен квадрату радиуса-вектора эллипсоида (3), который совпадает с осью г. Положив р = о и у = о, получим г равным длине этого радиуса-вектора, а из уравнения (3) имеем [c.49]

Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси, перпендикулярной плоскости тела, равен сумме моментов инерции этого тела относительно двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z. [c.235]

Основное уравнение динамики вращательного движения позволяет вычислить момент инерции всякого тела относительно произвольной оси. Для этого необходимо измерить приложенный к телу вращающий момент и приращение угловой скорости за определенный отрезок времени. Отношение вращающего момента к получаемому угловому ускорению и будет выражать момент инерции данного тела. [c.103]

Излагается упрощенный способ определения динамических реакций в опорах вращающегося твердого тела — без расчета центробежных моментов инерции. В общем виде решается задача зная главные центральные моменты инерции тела, при произвольном положении центра масс и произвольном направлении главных осей относительно оси вращения определить динамические реакции на опоры. [c.119]

Для решения задачи возьмем в теле произвольную точку N массой йт и с координатами Ху у, г и опустим из нее перпендикуляр ЫР на прямую ОЬ (рис. 12.8). Момент инерции тела относительно оси ОЬ определяется равенством [c.279]

Перейдем к вычислению центробежных моментов инерции тела относительно осей X, у, г. Рассмотрим произвольную точку N тела. Пусть ее координаты в системе Сх у г будут х, у и г, а в системе Охуг — х, у, г. Эт / координаты связаны формулами преобразования [c.287]

Последняя формула позволяет рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси в том случае, если известны главные [c.29]

Теорема о шести постоянных твердого тела. Даны моменты инерции твердого тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, выходящих из одной точки, и соответствующие произведения инерции. Найти момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, проходящей через эту точку. [c.23]

Пусть (и, и) и (и, V ) — компоненты скоростей центра тяжести произвольного тела в прямоугольной системе координат соответственно перед ударом и сразу после него. Пусть ю и ю — угловые скорости вращения тела относительно центра тяжести в те же моменты времени, а Мк — момент инерции тела относительно центра масс. Тогда для этого тела эффективные силы эквивалентны двум ударным силам, импульсы которых определяются величинами М (и — ы) и М (и — V), приложенными к центру тяжести и параллельными осям координат, и паре ударных сил с моментом Мк (ю — ю). [c.149]

Рассмотрим сначала плоскопараллельное движение тела (см. п. 139). Пусть V— скорость центра тяжести тела, г, 0 —полярные координаты центра тяжести с полюсом в произвольной точке плоскости движения, r — расстояние от центра тяжести до произвольной частицы тела, т — масса частицы, — ее скорость относительно центра тяжести, и — угловая скорость тела и Мк — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, перпендикулярной к плоскости его движения. [c.309]

Моменты инерции тела относительно осей произвольно выбранной декартовой системы координат (рис. 16.2) соответственно обозначим XX = /ц 1уу = /22 /гг = /зз- Они имеют выражения [c.147]

Таким образом, момент инерции тела относительно произвольной оси ОД можно вычислить, если известны три момента инерции тела относительно координатных осей и три его цен тробежных момента инерции. Для данного тела и заданной системы осей Oxyz, не изменяющей своей ориентации относитель но тела, величины /жж, 1уу,. . ., 1ху постоянны. [c.361]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ — поверхность, характеризующая распределение моментов инерции тела относительно пучка осей, проходящих через фиксированную точку О. Строится Э. и. как геом. место концов отрезков 0К= 1/у , отложенных вдоль 01 от точки О, где 01— любая ось, проходящая через точку О I, — момент инерций тела относительно этой оси (рис,). Центр Э. и. совпадает с точкой О, а его ур-ние в произвольно проведённых координатных осях Oxyz имеет вид [c.609]

Равномоментная система материальных точек наиболее широко применяется для определения моментов и произведений инерции тела относительно произвольных осей. Эта система мате- [c.36]

Случай 2. Ось не проходит чергэ центр масс тела (рис. 92, б). Для вычисления момента инерции твердого тела относительно произвольной оси V сначала по формуле (40.1) определяют его момент инерции относительно оси v , параллельной [c.106]

Кинетическая энергия потерянных скоростей в случае твердого тела. Получим формулу для вычисления кинетической энергии потерянных скоростей в случае тела, совершающего произвольные движения в пространстве. Пусть Gxyz — система координат, образованная главными центральными осями инерции тела. А, В и С — моменты инерции тела относительно осей Gx, Gy и Gz г — про- [c.447]

Для доказательства теоремы рассмотрим тело произвольной формы, ложащее в плоскости чертежа (рис. 9.15). Пересечение оси с плоскостью тела отметим точкой О. Будем пользоваться декартовой прямоугольной системой координат, у которой плоскость xOij совпадает с плоскостью тела. Разобьем тело на малые элементы массой Amj. Момент инерции тела относительно оси г равен [c.235]

Эллипсоид инерции, построенный для центра тяжести тела, называется центральным, а его оси называются главными центральными осями инерции. Теперь нетрудно показать, что для вычисления момента инерции тела относительно какой угодно оси достаточно знать направления трех главных центральных осей инерции тела, которые мы обозначим через т) и и моменты инерции /р, /,j и относительно этих осей. В самом деле, пусть требуется вычислить момент инерции J относительно произвольно выбранной оси L, направление которой образует с главными центральными осями инерции углы а, Р и у. Проведем через центр тяжести тела o bL, параллельную оси L расстояние между этими осями обозначим через I. Если момент инерции относительно оси L обозначим через J, то по теореме предыдущего параграфа имеем [c.513]

Сх, Су, С, — коэффициенты жесткости упругих элементов (амортизаторов) в направлении соответствующих осей JX, Jуг If xyt xzf Jyz — моменты инерции и центробежные моменты инерции тела относительно осей XYZ, проходящих через его центр тяжести. При этом плоскость XY параллельна плоскости, в которой расположены упругие оноры, а направления осей X и Y выбираются произвольно, исходя из удобства расчета х, у, Z — координаты размещения амортизаторов в системе координат XYZ. [c.27]

Из первого свойства следует, что моменты инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей нельзя задать произвольно —они должны удовлетворять соотношьН1ям (12.6). [c.270]

При решении различных задач динамики, в частнсигги. при определении динамических реакций опор твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, необходимо знать ие только осевые, но и центробежные моменты инерции относнтельно вполие определенных координатных осей короче говоря, иеобходимо знать тензор янерции / в произвольно выбранной координатной системе (см. формулу (12.10)). Конечно, при вычислении составляющих тензора инерции можно пользоваться основными формулами (12.3) и (12.8). Однако в тех случаях, когда известим моменты инерции тела относительно главных центральных осей, задача может быть существенио упрощена. [c.487]

Вычисление момента инерции твердого тела относительно произвольной оси. Момент инерция твердого тела относительно произвапьиой оси можно легко определить, если известны направления его главных центральных осей инерции и моменты инерции тела относительно эти.х осей. Рассмотрим два случал вычисления момента инерции твердого тела относительно произвольной оси. [c.354]

Случай 2. Ось не проходит через центр масс тела (рис. 92,(5). Для вычисления момента инерции твердого тела относительно произвольной оси и сначала по формуле (40.1) определяют его момент инерции отно-О5тельно оси vi, параллельной оси v и проходящей через центр С масс теле. Затем к полученному результату прибавляют произведение массы тела на квадрат расстояния между осями [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...