Интегрирование по частям определенного интеграл

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Путем двухкратного интегрирования по частям преобразуем определенный интеграл и получим [c.43]

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла [c.173]

Двукратным интегрированием по частям преобразуем определенный интеграл и получаем [c.27]

Это доказывает возможность пренебречь трением при определении поддерживающей силы Р и находить силу как интеграл только элементарных сил давления. Имеем, производя интегрирование по частям и отсчитывая [c.426]

Величина х/г, как это видно из ее определения, существенно превосходит единицу. В таких случаях удобно пользоваться следующим общим представлением интеграла (содержащего показательную функцию), которое получается как результат интегрирования по частям [c.600]

Интегрированием по частям находим определенный интеграл [c.206]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Проинтегрируем это уравнение в пределах от у=0 до у=оо. Напом-НИ1 Л, что за пределами пограничного слоя производные, входящие в уравнение (7-1), равны нулю по определению (см. 4-4). Поэтому увеличение верхнего предела от до оо не дает изменения интеграла. Интегрирование правой части уравнения дает [c.179]

Интегрирование. Опишем теперь коротко теорию интегрирования аналитических функций. Понятие интеграла по кривой у, лежащей в комплексной плоскости, можно ввести для любой комплексной функции /, определенной на у. Для этого нужно разбить у на конечное число частей точками го = а, ги , г = Ь (а и Ь — концы у)> на каждом отрезке (гь, 2и+ ) кривой у произвольно выбрать точку и взять предел суммы [c.74]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

Проведем сопоставление скоростей сходимости методов ячеек и Монте-Карло. Из (6.23) вытекает, что погрешность определения многомерного интеграла с помощью метода Монте-Карло убывает пропорционально MYN, где N — число многомерных точек. Причем скорость сходимости не зависит от размерности интеграла. В методе ячеек, применяемом для кусочно-аналитических подынтегральных функций, которые, как было указано, часто встречаются при расчете угловых коэффициентов, скорость сходимости пропорциональна 1/л, где п — число отрезков разбиения по каждой координате. Поскольку в методе ячеек для расчета /п-мерного интеграла необходимо рассчитывать N = п " многомерных точек, погрешность численного интегрирования в этом случае будет иметь порядок [c.188]

В уравнении (96) вместо О,, вошедшей в правую часть уравнений (92), записано (т) с целью показать, что время , входящее в определение должно быть заменено под знаком интеграла на букву т, по которой ведется интегрирование. [c.60]

Теоремы механики в способе конечных объемов записываются обычно в виде уравнений, содержащих интегралы, и скорость входит при этом под знак интеграла. Поэтому небольшие изменения скорости,— в особенности тогда, когда в одной части области интегрирования они оказываются больше истинных, а в другой части—меньше истинных, — не отражаются сколько-нибудь значительно на результате. Это обстоятельство приводит к широкому применению способа конечных объемов при всякого рода приближенных определениях аэродинамических характеристик тел. Другим преимуществом этого способа по сравнению со способом дифференциальных объемов является то, что он применим и к областям разрыва скоростей, давлений и других величин. [c.269]

Формула (90) также непосредственно следует из определения проекции скорости Ух путем интегрирования уравнения неразрывности (57) по координате ж, а затем подстановки получившегося выражения в интеграл, находящийся в левой части равенства (88), с последующим его интегрированием в заданных пределах и с учетом граничных условий (10) и (11). Произвольная функция С(1) находится с помощью второго из граничных условий (15). На основании этого условия для функции С Ь) получим следующее выражение [c.112]

Так как Р не является частью массы М, то р не обращается в нуль в области интегрирования. Пределы интеграла не зависят от положения притягиваемой точки, поэтому функция под знаком интеграла может быть диференцируема по х, у, г, которые при вычислении определенных интегралов рассматриваются как постоянные. Частные производные от V по X, у и г будут иметь вид [c.105]

Вариационные принципы встречаются во многих физических и других задачах, и методы приближенного решения таких задач часто основаны на соответствующих вариационных принципах. Математически вариационный принцип состоит в том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее (или большее) значение для реального состояния системы, чем для любого возможного состояния, допускаемого основными условиями системы. Подынтегральная функция зависит от координат, амплитуд поля и их производных, а интегрирование осуществляется по области, покрываемой координатами системы, среди которых, возможно, есть и время. Задача определения минимума интеграла часто сводится к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений с частными производными при соответствующих граничных условиях. Цель нашей книги не в том, чтобы рассматривать приближенные методы решения этих дифференциальных уравнений как способ решения исходных физических задач, сформулированных в виде вариационных принципов. Вместо этого мы намерены описать приближенные методы, которые основаны непосредственно на вариационных принципах. [c.32]

В особых обстоятельствах может оказаться необходимым преобразование этого выражения к другому виду, например к выражению, не содержащему Н, и т. п. Как было показано, это можно всегда сделать, если терпеливо применять сложное интегрирование по частям до тех пор, пока мы не придем к желаемому виду. Однако подчас эта задача просто внушает страх своей сложностью. Поэтому полезно знать о существовании другого, более общего и простого подхода, требующего, одна.ко, некоторой математической интуиции [144]. Метод основан на внимательном исследавании аберрационного интеграла, в результате которого формирую7ч я производные различных комбинаций переменных. Эти производные умножаются на произвольные постоянные и прибавляются к подынтегральному выражению. Подбирая определенные значения постоянных, можно преобразовать аберрационный интеграл в различные формы без каких-либо трудоемких вычислений. Мы продемонстрируем этот метод, начав с выражения (5.111). [c.275]

Практически значение определенного интеграла вычисляют численным методом или графическим интегрированием. При этих-методах наиболее распространенными являются формула трапеций или формула парабол. По формуле трапеций опреде-лешшй интеграл, численно равный площади криволинейной тра-пеции, ограниченной частью оси абсцисс, двумя ординатами и подынтегральной кривой, заменяется приближенно площадью элементарной прямолинейной трапеции, которая образуется, если верхние концы ординат соединить прямой линией. При графическом интегрировании площадь элементарной прямолинейной трапеции заменяют равновеликой площадью прямоугольника, как это показано на рис. 4.3, б. Подсчитав сумму площадей всех трапеций и разделив ее на значение угла поворота звена приведения за цикл, определяют искомое значение момента сил сопротивления [c.130]

Ф-лы для интегрирования суммы, для постоянного множителя и интеграции по частям в случае определенного интеграла напишутся так b ъьь [c.112]

Наиболее последовательное использование представления о том, что среднее значение f и пульсация f функции I отличаются в первую очередь характерными периодами (или длинами волн) состоит в определении среднего значения f как части разложения функции f в интеграл Фурье. отвечаю-щей интегрированию по области значений соответствующей переменной (частоты или волнового числа), меньших по абсолютной величине некоторого фиксированного числа ро. Легко понять, что в этом случае условия (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) будут выполняться ) будут выполняться также и первые два из условий (3.7 ), следующизс из (3.7). Однако общее условие (3.7) здесь, вообще говоря, не будет иметь места для его выполнения необходимо наложить на рассматриваемые функции и д некоторые весьма специальные условия, несовместимые с предположением о том, что их преобразования Фурье всюду отличны от нуля (см. по этому поводу подробное исследование Изаксона (1929), а также заметку Кампе де Ферье (1951). [c.165]

Определение числа циклов в минуту, таким образом, связано с вычислением интеграла движуш их сил за прямой и обратный ходы. Наиболее часто проводят графическое интегрирование по методу средних ординат. Суш,ествует также несколько методов аналитического расчета интеграла с заменой действительного изменения результируюш ей силы приближенным, аппроксимированным линейной или другой зависимостью. Естественно, что применение аппроксимируюп1,их зависимостей мож<ет привести к появлению ошибок при расчетном определении числа циклов (достигаюш их при линейной аппроксимации 30%). [c.344]

По-,мое.му, подобные волновые группы можно построить, причем таким же способом, каким Дебай ) и фон Лауз ) решили задачу обычной оптики о нахождении точного аналитического представления для светового конуса или светового пучка. При этом появляется еще крайне интересная связь с не рассмотренной в 1 частью теории Якоби—Гамильтона, а именно с из-вестны.м способом получения интегралов уравнений движения посредством дифференцирования полного интеграла уравнения Гамильтона по постоян-ны.м интегрирования. Как мы сейчас увидим, упомянутый только что метод получения интегралов движения Якоби равносилен в нашем случае следующему положению изображающая механическую систему точка совпадает длительный период с той точкой, где встречается определенный континуум волн в равной фазе. [c.686]

Практическое применение развиваемой теории в механике идет точно в обратном направлении. Для того чтобы избежать интегрирования системы уравнений Гамильтона, пытаются найти какой-либо полный интеграл уравнения Г амильтона-Якоби. Хотя, по суш,еству, эти задачи эквивалентны, практика показывает, что определение полного интеграла, если это возможно, реализуется прош,е. При этом и объем вычислений на таком принципиальном шаге оказывается обычно меньше, чем при прямом интегрировании уравнений Гамильтона. Поскольку читатель понимает, что чудес не бывает, то следует указать, куда переходят аналитические сложности. Часто трудно перейти от неявного вида решения (29), полученного с помогцью произво-дягцей функции, к явному виду р = р (а, р, /), q = Ч( , Р, О- Однако здесь уже не приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями. [c.340]

При решении задачи о неустановивш емся обтекании крыла потенциал скорости возмущений представляется в виде интеграла от потеН циалов источников, распределенных в плоскости плана крыла х, у) Для определения потенциала скорости в некоторой точке пространства х, у, Z) область интегрирования в выражении для потенциала должна представлять часть плоскости (х, у), которая лежит внутри характеристического конуса с вершиной в точке (х, у, z), обращенного вверх по потоку. Если область интегрирования не выходит за пределы проекции крыла, то, как уже было сказано выше, формула для потенциала источников дает решение, так как распределение интенсивности источников на крыле задается условиями задачи. Для того чтобы вычислить потенциал скорости в тех точках, для которых область интегрирования выходит за пределы крыла, нужно из граничных условий задачи определить, всюду в области интегрирования нормальную к плоскости (х, z) составляющую скорости. Эта задача сводится к решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с ядрами, вид которых зависит от характера добавочных неустановившихся движений крыла. [c.159]

Однако вернемся к основному интегралу (28) теории дифракции. Когда точка ( , 1- ) пробегает область интегрирования, функции /(g, т]) изменяется на очень много длин волп поэтому вещественная и мнимая части подынтегрального выражения многократно изменяют знак. В общем случае вклады от различных элементов фактически уничтожают друг друга (деструктивная интерференция). По для элементарного участка, окружающего точку (назовем ее критинеской тошюй или полюсом), где /( , т ) постоянна, положение другое. Здесь подынтегральное выражение изменяется значительно медленнее, и можно ожидать, что его вклад станет заметным. Поэтому, если длина волны достаточно мала, величина интеграла, по существу, определяется поведением f вблизи точек, где f постоянно. Это является основой метода стационарной фазы, позволяющего определить асимптотическое поведение ннге1 рялов определенного класса (более подробно он разбирается в приложении 3). Ниже мы [c.355]

Здесь, вероятно, будет полезно вспомнить, что, согласно определению (2.49), X = s h/l KeH. Пределами интегрирования служат значения /с, при которых плоскость к = onst касается ПФ, или, если ПФ представляет собой непрерывную трубку, периодически повторяющуюся от зоны к зоне, пределами будут значения на гранях зоны. Однако, как будет непосредственно видно, обычно вполне допустимо положить пределы равными оо, если отсчитывать к от значения, при котором X (т.е. площадь) принимает свое максимальное или минимальное значение Xq. В действительности, если Xq> только малая часть полного интервала интегрирования вблизи к = О дает заметный вклад в интеграл, а за пределами этого интервала конкретный вид X(к) и пределы интегрирования несущественны. По той же причине величину j3, которая в общем случае также есть функция к, можно считать постоянной, равной значению j3 при /с = О, и вынести ее за знак интеграла. Далее мы разлагаем X в ряд Тейлора в точке к = 0 [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...