Гам??л?.то??а Якоби уравнение интеграл

Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее W, для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида [c.484]

Все сказанное придает новый смысл функции S, определенной как произвольное частное решение уравнения Гамильтона — Якоби, Полный интеграл этого уравнения был интерпретирован с помощью абстрактных математических понятий он представлял собой производящую функцию определенного канонического преобразования. Однако S-функция в виде частного решения имеет гораздо более непосредственный физический смысл. Оптическим эквивалентом функции S является функция ф, определяющая время, необходимое свету для прохождения от одного волнового фронта до другого. Это время может быть определено с по- [c.311]

Легко также видеть, что между п 1 постоянными параметрами q тл Е всегда можно выбрать п таких, что по отношению к ним (и по отношению к п независимым переменным q) функция А ( l l ) будет представлять для уравнения Гамильтона—Якоби полный интеграл. [c.445]

Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона — Якоби. Предположим, что мы отыскиваем все лучи или траектории и соотнесенные им векторы импульса — энергии для динамической системы с уравнением энергии [c.250]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Название — полный интеграл — оправдано тем обстоятельством, что при переходе функция Гамильтона уравнение Гамильтона-Якоби полный интеграл, — не происходит потери информации. По полному интегралу 3(1,Ц1,...,Цп,а1,...,ап) вычисляются равенства [c.176]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Теорема Остроградского — Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так если известен полный интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений (132.5) имеют следующий вид [c.382]

Тогда полный интеграл уравнения Остроградского—Якоби имеет вид [c.387]

Любая функция S (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Г амильтона — Якоби. [c.323]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по каким-либо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамильтона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой. [c.325]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию V, зависящую от всех q н от п констант, причем последней из этих констант является a = /i. Эта функция V должна удовлетворять условию [c.333]

Итак, если известен полный интеграл (6 13) уравнения Гамильтона — Якоби, то для получения решения исходной системы уравнений (6.1) следует за производящую функцию взять функцию [c.155]

Следовательно, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби [c.168]

Теорема 9.4.2. (Якоби). Пусть 5(<,91,..., 9п, 1, чОп) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Тогда соотношения [c.644]

Доказательство. Поскольку 3 есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, то для него [c.645]

Учтем, что 3 есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби [c.645]

Рассмотренный пример показывает, что задача о поиске полного интеграла решается неоднозначно. Полный интеграл не дает общего решения уравнения Гамильтона-Якоби, охватывая лишь небольшую часть решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение. Действительно, дифференцируя полный интеграл, получим [c.648]

Вернемся к задаче определения закона движения механической системы с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Для симметрии обозначим [c.649]

Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби представляется в виде суммы [c.652]

Тогда полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби следует искать в виде [c.653]

Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби примет вид [c.653]

Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби не зависеть от каких-либо координат [c.701]

Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби зависеть от постоянных, число которых меньше числа степеней свободы системы [c.701]

Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах. Метод разделения переменных, если он применим, приводит к получению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, необходимого в теории интегрирования Якоби. Полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка может принимать множество различных форм. Предположим, что мы имеем какой-то полный интеграл [c.279]

Полученное условие представляет собой первый интеграл канонг ческих уравнений Гамильтона, известный как интегра. Якоби. Он существует при тех же предположениях, что и ин теграл Якоби уравнений Лагранжа второго рода. [c.454]

Такпм образом, 1 3 теоремы Остроградского — Якоби следует, что в том случае, если известен Юлн1з1Й интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то перемен ые q и ру определяются как функции времени t и 2s произвольных постоянных а , о,. .., Pj, Ра, Ps ИЗ уравнений (139.3) и (139.4), представляющих собой ПО отношению к q, и р/ систему алгебраических уравнений. [c.384]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

P = f (<7i = Y2та — m q и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.335]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Так 1м образом, мы показали, что если известеи полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла у1)авнения (6.12). [c.156]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

В следующем параграфе мы рассмотрим метод раз-делен 1 переменных, позволяющий в ряде важных случаев получить полный интеграл уравнения Гамильтоиа — Якоб . [c.158]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...