Особые точки семейства кривых

Особые точки семейства кривых, 287. [c.586]

Качественные методы были вначале применены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Особые точки семейства интегральных кривых -составляют так называемые особые решения дифференциальных уравнений, которые могут быть получены, как правило, без производства интегрирования самого уравнения. [c.9]

Будем рассматривать линии тока как непрерывное семейство пространственных кривых, согласованно параметризованных длиной дуги 5, отсчитываемой вдоль каждой линии тока, что соответствует заданию линии тока уравнением г = г(5). В силу непрерывности поля скорости линия тока всюду, кроме особых точек, — гладкая кривая, поэтому для нее определено понятие длины дуги. [c.15]

В этом смысле мы будем говорить, что состояния равновесия нашей динамической системы суть особые точки семейства интегральных кривых на фазовой плоскости. [c.308]

В граничном случае (б = 1) также получаем семейство интегральных кривых параболического типа, а в начале координат — устойчивую особую точку типа узла. [c.39]

Оно описывает семейство кривых, окружающих особую точку типа центр, причем сами кривые близки к эллипсам при малых к (малых значениях х = и у 4 = 1) (рис. 1.15). [c.37]

Рассмотрим вопрос о существовании энтропии. Положение о существовании энтропии может быть сформулировано в виде принципа адиабатической недостижимости в окрестности точки, изображающей равновесное состояние термически однородной системы, существуют точки, которые не могут быть достигнуты при движении вдоль обратимой адиабаты. Поскольку через любую точку можно провести обратимую адиабату, то принцип недостижимости означает, что соседние адиабаты не пересекаются. Этот факт является следствием опыта, который можно легко представить себе, взяв в качестве термодинамической системы, например, 1 кг газа (идеального или реального), помещенного в теплоизолированный цилиндр с поршнем. Естественно предположить, что каждая адиабата из рассматриваемого семейства кривых характеризуется определенным значением особого параметра и это значение одинаково для каждой точки выбранной адиабаты. Таким особым параметром и является энтропия. [c.89]

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Рассмотрим, далее, значения функционала I на простых замкнутых кривых Г семейства и, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми Си/). Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения I убывают при перемеш,ении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. Предполагая, что значения / на кривых семейства у. ограничены и что точная нижняя грань этих значений т достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая Го, для которой / (Го) = т. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Го не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой С W < О, а ка кри-тй D W > Q, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория. [c.551]

Если эта точка не является особой точкой кривой семейства, то дискриминантная линия касается кривой семейства в этой точке (фиг. 149). [c.213]

Корни чисто мнимые (сопряжённые). Особую точку окружает семейство замкнутых кривых. Точка называется центром. [c.227]

Семейство у = (х г) имеет огибающую у = О — ось Ох, состоящую из особых точек кривых семейства (фиг. 26). [c.269]

Если одна из данных линий скольжения прямая, то по теореме Генки все линии этого семейства в области ОМ/СЛ прямые, а линии второго семейства — кривые, им ортогональные это существенно упрощает решение задачи. Бывают случаи, когда радиус кривизны одной из линий скольжения, например 0N, стремится к нулю, в то время как ф =j= фо, о- Тогда точка О является особой точкой и все характеристики пересекаются в точке О. Можно сказать, что в условиях дана характеристика ОМ и особая точка О. Формулы (3.19) и (3.19а) сохраняют силу, но теперь фо, —угол между линиями ОМ и ОР точке О, где Р — данная точка (т, п) (рис. 33, в). Метод вычисления координат точек тот же, что и ранее. Поле, заданное линией ОМ и особой точкой О, можно продолжить на любой угол вокруг О, пока его не ограничат другие краевые условия. [c.83]

Получаем уравнение семейства равносторонних гипербол, отнесенное к главным осям. Полагая /1=0, находим уравнения двух прямых у = соо с, у = —тх, которые являются асимптотами семейства гипербол. Фазовая плоскость для этого случая показана на рис. ПП.6. Из этого рисунка видно, что через особую точку X = у = О проходят две интегральные кривые — асимптоты. Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий. Все остальные интегральные кривые составляют одну фазовую траекторию. Особая точка такого вида называется особой точкой типа седла. Из рассмотрения фазовой плоскости легко установить характер возможных движений в системе. [c.224]

Тогда 1/(1 <1 и семейство кривых не имеет особых точек, кроме р"= 1 к точке р"=1 стягиваются [c.199]

Семейство интегральных кривых (21.14) заполняет всю фазовую плоскость. Фазовая скорость, равная г/ = )/(2/гг/ + л ) + г/ , нигде не равна нулю, кроме особой точки, и стремится к нулю при приближении к этой точке. [c.513]

В заключение рассмотрим особенности течения вблизи донного среза за плоской пластинкой, которые могут возникать при достаточном низких значениях донного давления рд. В самом деле, для найденного семейства решений задачи на пластине через каждую точку плоскости переменных (р, ж) проходит или одна интегральная кривая, или ни одной, если эта точка лежит ниже кривой, проходящей через концы интегральных кривых, описывающих течения разрежения, где эти решения имеют особые точки /" = оо, dp/dx = —оо. (Для 7 = 1,4 эта кривая имеет вид р = [c.152]

В качестве примера на фиг. 41 представлено семейство кривых, полученных Ф. Ферстером, качественно показывающее характер изменения комплексного сопротивления катушки при изменении электропроводности о испытуемого листового материала, его толщины (1 и зазора к между поверхностью испытуемого листа и катушкой. Особо важным является то, что все три фактора а, й к оказывают качественно различное влияние на изменение комплексного сопротивления катушки, а следовательно, на амплитуду и фазу напряжения этой катушки, что может быть обнаружено при включении ее в ту или иную измерительную схему. На фиг. 41 направления смещения точки комплексного сопротивления под действием этих факторов показаны стрелками. [c.247]

Типичное одномерное подсемейство нашего двумерного семейства имеет вид кривой в плоскости параметров, не проходящей через особую точку. Всякое одномерное подсемейство, содержащее особую точку, можно сдвинуть с нее малым шевелением, [c.398]

Замкнутые кривые семейства (12) при —я/2<й<0 охваты- вают особую точку, при О < й < < — фазовый цилиндр. Состояния равновесия при [ьФО смещены с линии сшивания и будут Ог ((1/2) р,Гя, 0) — фокус и Ог(я — (1/2) хГя, 0)—седло. [c.453]

Одно из семейств интегральных кривых, соответствующее знаку в формуле (3.22), представляет собой замкнутые овалы (на рис.3.1 они изображены сплощными линиями), содержащие внутри себя особые точки. Второе семейство (изображенное на том же рисунке штриховыми линиями) состоит из кривых, концы которых уходят в бесконечность. Оба семейства симметрич- [c.170]

Корни равные (действительные). Если при этом имеем тот случай, когда a = d = 0, Ь = с, то все кривые проходят через особую точку (семейство прямых), причём имеют в этой точке всевозможные направления касательных. Особая точка в этом случае называется дикритическим узлом, В остальных случаях при равных корнях имеем снова узел — все интегральные кривые проходят через особую точку, причём все кривые имеют в этой точке одну и ту же касательную. [c.227]

Уравнение (8-94) является обыкновенным нелинейным уравнением первого порядка относительно функции к (х). Его решение В общем случае может быть получено только численно и связано с преодолением некоторых вычислительных трудностей, обусловленных наличием особых точек U = 0 и L" = 0. Кроме того, изложенный метод Польгаузена оказался недостаточно точным для пограничных слоев с замедленным движением внешнего потока dilldx <0). Для этих случаев разработаны более точные способы. Однако метод Польгаузена сохраняет по настоящее время принципиальное значение в этом методе была впервые показана возможность аппроксимировать профили скорости однопараметрическим семейством кривых, что используется и в современных, более совершенных методах. Кроме того, при наличии ускоренного млн равномерного движения внешнего потока dU dx > 0) метод Польгаузена может давать практически удовлетворительные результаты. [c.377]

Рассмотрим теперь семейство (2+). При е<0 особая точка О устойчива, однако ее бассейн (область ее притяжения) при e-v О становится малым (радиуса У—е). При е=0 особая точка О неустойчива, как и при е>0 все фазовые кривые, кроме положения равновесия, покидают некоторую окрестность особой точки при всех достаточно малых е О. Эта ситуация называется жестким возбуждением или жесткой гютерей устойчивости-. при прохождении е через нуль система скачком переходит на другой режим (стационарный, периодический или более сложный), далекий от изучаемого положения равновесия (рис. 4а). [c.22]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Если уравнение (так называемый С-дискри-минант), полученное в результате указанной операции, является уравнением огибающей семейства интегральных кривых, то она представляет особый интеграл диференциального уравнения. В общем случае С-дискриминант определяет не только огибающую, но и геометрическое место кратных точек семейства интегральных кривых (например, узловых или точек возврата), когда вдоль кривой, изображающей С-дискриминант, одновременно соблюдаются условия дФ/дх = 0, дФ/ду = 0 (см. стр. 212). [c.228]

Семейстио = (.г -1- f имеет огибающую 3f=0— ось Ох, состоящую из особых точек кривых семейства (фиг. 25). [c.269]

Через каждую точку плоскости проходят две взаимно ортр-гональные кривые разных семейств (начало координат является особой точкой типа центра). В системе криволинейных ортогональных координат т], образованных этими семействами, уравнение (5.1, 4) приводится к простому виду = 0. [c.265]

Вблизи такой особенности возможен непрерывный переход от дозвукового течения к сверхзвуковому. Из соотношений (2.8), (2.2) и (2.4) следует, что такого рода особенность может сугцествовать в сужаю-гцемся канале у < 0), в режиме ускорителя. Очевидно, что в этом случае нельзя построить однозначного решения, так как из особой точки выходит семейство кривых, зависягцее от одного параметра, каждая кривая которого удовлетворяет условию Мь > рь > Роо-Увеличению неренада давлений рз — Роо) соответствуют кривые из области Q и ее граничная кривая 1 на рис. 2. Далее этот тип особенности не рассматривается. [c.71]

Уравнение имеет семейство решений Р (а), зависяш ее от параметра Ре одно из них с Ре = схэ (V = 0) совпадает с найденным Рейли, для которого вблизи фокусировки Р а /2., Начало координат (а = О, р = 0) есть сложная особая точка уравнения (3.2), она показана на рис. 4. л Среди кривых, ВЫХОДЯШ.ИХ из начала коорди- [c.318]

Уравнение семейства кривых, зависящих от одного параметра, Ф х, у, с) = 0 можно рассматривать как общий интеграл диференциального уравнения 1-го порядка F (х,у,у )=0(см. Диферен-гщальпые уравнения). Геометрически оба эти уравнения представляют одно и то же семейство интегральных кривых. Уравнение в конечной форме определяет каждую отдельную кривую семейства как непрерывную последовательность ее точек, диференциальное уравнение — как непрерывную последовательность направлений, так как оно содержит угловой коэф-т у касательной и выражает то или иное свойство ее, общее для всех кривых семейства. Т. к. огибающая имеет те же касательные, что и огибаемые кривые в общих с нею точках, то координаты ее удовлетворяют ур-июjP(х,у,у ) 0,и ур-ие ее является одним из его решений. Вместе с тем ур-ие огибающей не содержит параметра, не получается из общего интеграла ни при каких значениях с стало быть это не частный, а особый интеграл ур-ияF (ж, у,у ) = О.Т. о. особый интеграл представляет геометрически огибающую семейства интегральных кривых. Ур-ие огибающей или особый интеграл можно получить и непосредственно из диференциального ур-ия семейства, если рассматривать в нем у как параметр и исключить последний из системы ур-ий [c.255]

Замкнутые кривые семейства (13) при 0<к<л охватывают особую точку, при лфазовый цилиндр. Система будет иметь особые точки на линиях сшивания в точке 01(0, 0) — квазифокус, в точке Ог(я, 0)—седло, сшитое из обыкновенных траекторий. [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...