Интегро-диференциальные уравнения

Таким образом нами найдены четыре независимых друг от друга интеграла диференциального уравнения (84), из которых путем умножения на zb kx a) мы можем составить четыре независимых решения уравнения (76). Прежде чем выписывать эти решения, мы еще рассмотрим другой из указанных выше случаев, когда правая часть уравнения (83) зависит только от X. [c.181]

Получаем, таким образом, систему (2), (5), которая образует систему интегро-диференциальных уравнений для определения функций (ж, у, в). Усложнение вычисления происходит оттого, что объем T неизвестен заранее, и его определение должно получаться в каждый момент из интегрирования самой системы. [c.204]

Механизм представляет собой механическую систему со связями, не зависящими от времени, и движущуюся под действием сил, заданных в функции перемещения. Поэтому к нему приложимо уравнение живых сил, представляющее, как известно, первый интеграл диференциального уравнения движения системы это уравнение в общем виде может быть написано так [c.417]

Интеграфы 242, IX. Интегро-диференциальные уравнения 239, IX. [c.468]

Лихтенштейн приводит задачу к интегро-диференциальным уравнениям, которые можно решать методом последовательных приближений, совершенно аналогичным описанному на предыдущих страницах. [c.243]

Теперь ясно, что интегро-диференциальные уравнения, приводящие к решению задачи, будут иметь вид [c.244]

Общий интеграл диференциального уравнения для будет 1 = х с1) Р х сГ), [c.15]

Полезно напомнить, что для системы обыкновенных совокупных диференциальных уравнений, число которых равно числу неизвестных функций и которые разрешаются относительно производных высших порядков, вообще,, существует система интегралов, зависящих от произвольных постоянных, число которых равно сумме порядков высших производных. Так, например,, общий интеграл системы диференциальных уравнений [c.105]

Эта функция времени удовлетворяет диференциальному уравнению (49) а так как это уравнение 2-го порядка, то выражение (401) представляет собою его общий интеграл с произволь- [c.136]

Функция у х, С), удовлетворяющая диференциальному уравнению 1-го порядка F (лг, у, у ) 0 и зависящая от произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения. Соотношение, связывающее искомое решение, независимую переменную и произвольную постоянную, называется общим интегралом. Всякий интеграл, получающийся при частном значении постоянной С, называется частным интегралом. [c.221]

Если диференциальное уравнение имеет вид F (у, /1) = О и может быть решено относительно у, то, диференцируя соотношение у =f(p) по X, получим диференциальное уравнение, связывающее переменные р, х, интеграл которого записывается в виде [c.223]

Функция у (х, с,,..., С ), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка г(х, у, у, ..., v< )) = О и зависящая от п произвольных постоянных l,..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (v, у. С,,..., С ) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены. если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении Xq независимой переменной X заданы значения функции и её производных JV, ..з д(п —1). Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения п-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных. [c.224]

Особое решение диференциального уравнения может быть также получено путём диференцирования его общего интеграла Ф(х, у, С) = Опо произвольному параметру С, с последующим исключением этого параметра из соотношений [c.228]

Задача практически сводится к решению линейных диференциальных уравнений и-го порядка (3-го, 4-го и выше) с применением критерия устойчивости Гурвица или более нового, использующего применяемый в электротехнике метод частотных характеристик, критерия Найквиста [53, 55]. Эти критерии дают условия, при которых отдельные экспоненциальные функции, входящие в выражение для общего интеграла рассматриваемого диференциального уравнения, постепенно убывают до нуля. Тем самым процесс возвращается к устойчивому состоянию, которое определяется начальными условиями имевшегося переходного процесса. [c.31]

Выражения (6) и (8) удовлетворяют диференциальным уравнениям (1) и ( ) и граничным условиям при х = 0 а х—а. Далее, полагая в формуле (8) х=Ь, получаем интеграл [c.237]

В соответствии с порядком рассматриваемого диференциального уравнения к этим двум интегралам добавляются еще два других интеграла, именно [c.181]

Диференциальное уравнение Клеро.з лгу +f y ). Общий интеграл j 4-/(С) представляет систему прямых линий. Особый интеграл выражает огибающую этой системы прямых линий [c.109]

Необходимое условие (но недостаточное). Для того, чтобы интеграл J мог принять экстремальное значение, необходимо, чтобы функция fix) была решением диференциального уравнения Эйлера [c.118]

Представление функции в виде интеграла Фурье имеет большое значение для тех диференциальных уравнений физики и техники, где ищется решение в бесконечном промежутке (например теплопроводность неограниченной среды). [c.461]

Если уравнение (так называемый С-дискри-минант), полученное в результате указанной операции, является уравнением огибающей семейства интегральных кривых, то она представляет особый интеграл диференциального уравнения. В общем случае С-дискриминант определяет не только огибающую, но и геометрическое место кратных точек семейства интегральных кривых (например, узловых или точек возврата), когда вдоль кривой, изображающей С-дискриминант, одновременно соблюдаются условия дФ/дх = 0, дФ/ду = 0 (см. стр. 212). [c.228]

Последнее граничное условие для свободного конца балки выражсег, что здесь изгибающий момент полок обращается в нуль. Интеграл диференциального уравнения, удовлетворяющий граничным условиям, будет иметь вид [c.338]

Упрощение уравнения Эйлера и интегрирование его при наличии потенциала екоростеп. Перейдем теперь к составлению значительно более общего интеграла диференциального уравнения Эйлера, Уравнение Эйлера можно написать в сразу интегрируемой форме, если только кроме некоторых специальных предположений о плотности р и силовом поле g еще предположить, что движение жидкости в каждой точке свободно от вращений, причем это предположение достаточно сделать только для ОДЕЕОГО определенного момента времени. [c.109]

Уравнение семейства кривых, зависящих от одного параметра, Ф х, у, с) = 0 можно рассматривать как общий интеграл диференциального уравнения 1-го порядка F (х,у,у )=0(см. Диферен-гщальпые уравнения). Геометрически оба эти уравнения представляют одно и то же семейство интегральных кривых. Уравнение в конечной форме определяет каждую отдельную кривую семейства как непрерывную последовательность ее точек, диференциальное уравнение — как непрерывную последовательность направлений, так как оно содержит угловой коэф-т у касательной и выражает то или иное свойство ее, общее для всех кривых семейства. Т. к. огибающая имеет те же касательные, что и огибаемые кривые в общих с нею точках, то координаты ее удовлетворяют ур-июjP(х,у,у ) 0,и ур-ие ее является одним из его решений. Вместе с тем ур-ие огибающей не содержит параметра, не получается из общего интеграла ни при каких значениях с стало быть это не частный, а особый интеграл ур-ияF (ж, у,у ) = О.Т. о. особый интеграл представляет геометрически огибающую семейства интегральных кривых. Ур-ие огибающей или особый интеграл можно получить и непосредственно из диференциального ур-ия семейства, если рассматривать в нем у как параметр и исключить последний из системы ур-ий [c.255]

Исходя из выражения общего интеграла диференциального уравнения, получены величины функций влияния, т. е. таких функций, умножение на которые даклого силового фак-тор.7 даёт значение его слияния на изучае- [c.176]

Лихтенштейн изучил уравпения этого рода и в своей работе о фигурах равновесия (Math. Zeits hrift, 1922, р. 201) подробно исследовал решение задачи, когда дело идет не о двух цилиндрах, но о двух объемах, мало отличающихся от сфер. Логарифмический потенциал, фигурирующий в (6) или (7), оказывается тогда замененным обыкновенным потенциалом масс в трех измерениях. Перенося рассуждения Лихтенштейна на данный случай, находим, что вращение и> и вид кривых S и 8 будут определены одним интегро-диференциальным уравнением, разрешимым методом последовательных приближений,по крайней мере, когда 8 и 8 достаточно мало отличаются от окружностей и когда [c.249]

Но из анализа нам хорошо известно, что диференциальное уравнение 2-го порядка допускает оо2 решений или частных интегралов, т. е., что общий, интеграл такого диференциального уравнения зависит от двух произвольных постоянных. Отсюда мы заключаем, что выражение (39 ) представляет собою обш кн интеграл уравнения (41 ), причем г и % суть произвольные постоянные еще иначе, это означает, что диференциальное уравнение (41 ) определяет все гармонические двиокения с пе- [c.129]

Общий интеграл этого линейного уравнения совместно с исходным диференциальным уравнением даст параметрическое выражение общего интеграла уравнения /1агранжа. [c.224]

Приравнивая нулю первый множитель dpjdx = Q, получим интеграл р = С и, исключая параметр р из этого соотношения и исходного диференциального уравнения, найдём общий интеграл уравнения Клеро у = Сх -г -)-ф(С), который представляет семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель У(р) + х = О н исключая параметр р из этого соотношения и исходного диференциального уравнения, получим особый интеграл уравнения Клеро, представляющий с геометрической точки зрения огибающую семейства прямых, представленного общим интегралом. [c.224]

Интегрировать диференциальное уравнение п-го порядка можно последовательно, путём составления так называемых промежуточных интегралов, т. е. соотношений, вытекающих из данного диференциального уравнения и содермсащих производные, наивысший порядок которых ниже порядка данного уравнения. Если составляется общий интеграл, то при каждом последовательном понижении [c.224]

Проинтегрировав последнее диференциаль-ное ур-ие, найдем функциональную зависимость переменной величины х от времени <, а взяв далее производную я по <, найдем и функциональную зависимость скорости V от времени т. к. точка А движется прямолинейно по оси X. Обе найденные т. о. функциональные зависимости вполне определяют характер движения материальной точки.Общий интеграл дифер. ур-ия (4) имеет следующий вид (см. Диференциальные уравнения) [c.270]

Помимо теоретического значения принцип Гамильтона в последнее время получает все большее значение в приложениях, где он позволяет весьма трудную задачу решения диференциальных уравнений с частными производными при заданных граничных условиях заменить задачей нахождения экстремума интеграла, для приближенного решения к-рой применяется напр, метод Ритца. [c.185]

Метод Фурье. Уравнение теплопроводности. Во многих случаях удаётся найти частные решения линейного однородного диференциального уравнения в частнЕ,гх производных в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента и является решением некоторого обыкновенного диференциального уравнения. Взяв линейную комбинацию полученных таким образом частных решений (являющуюся также решением данного уравнения), которая в результате предельного перехода даёт некоторый ряд или интеграл, являющийся решением уравнения , можно определить из начальных условий остающиеся неопределёнными величины и функции. [c.176]

Непосредственное интегри р.о-сапие диференциальных уравнений, получаемых рассмотрением слегка изменённой, сравнительно с заданной, формы равновесия (( вынужденное смещение ) приводит к -.системе однородных уравнений. Приравнивая нулю детерминант, составленный из [c.209]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...