Устойчивость по Раусу

Приведенная устойчивость или устойчивость по Раусу ). [c.380]

Заметим еще, что как понятие устойчивости по Раусу стационарного движения, так и само понятие стационарного движения, зависят от рассматриваемой группы симметрии С. Чтобы стационарное движение могло быть устойчивым, нужно, чтобы эта группа в определенном смысле была максимальна. Далее это поясняется на классическом примере, разобранном Раусом. [c.252]

В соответствии с общим определением, стационарное движение (2.27) системы (2.24) называется устойчивым по Раусу, если д , — устойчивое равновесие системы (2.26) (при фиксированных ра). Иначе говоря, это стационарное движение должно быть устойчивым по отношению к переменным дт , ря-- На самом деле, однако, оно обычно оказывается также устойчивым и относительно циклических импульсов р . [c.253]

Как правило, устойчивость по Раусу устанавливается при помощи следующего предложения. [c.253]

Предложение 2.1. Если гамильтониан Н дт ,ра,Рж) (при фиксированном Ра) в точке ртт достигает строгого минимума или максимума, то стационарное движение (2.27) устойчиво по Раусу. [c.254]

Функцию Н — ХМ, где величина А определена заданным стационарным движением, назовем относительным или редуцированным) гамильтонианом. В задаче устойчивости по Раусу это наиболее естественная функция Ляпунова. Относительный гамильтониан Н — ХМ является интегралом уравнения относительного движения (2.37) и инвариантен относительно преобразований при всех т е К. Действительно, функция Н инва- [c.257]

Теорема 3.1. Стационарное вращение (3.19) правильного вихревого п-угольника устойчиво по Раусу в случае п 6и неустойчиво, когда п 8. [c.265]

Теорема 3.2. Стационарное вращение (3.19) правильного вихревого семиугольника устойчиво по Раусу. [c.270]

Заметим, что в условиях теорем 3.1 и 3.2 из устойчивости по Раусу вытекает также -устойчивость, так как траектория стационарного вращения компактна (это окружность). [c.270]

Устойчивость здесь понимается в самом сильном возможном смысле, как устойчивость по Раусу вместе с G-устойчивостью. Это означает, что после достаточно малого возмущения начальных данных вихревой многоугольник остается почти правильным, с почти тем же центром симметрии и почти того же размера вечно. Такое возможно, несмотря на то, что перманентное вращение неустойчиво по Ляпунову относительно угловой переменной. [c.271]

Под неустойчивостью же понимается отсутствие как устойчивости по Раусу, так и (даже ) G-устойчивости. Грубо говоря, это означает, что можно указать сколь угодно малое возмущение основного правильного многоугольника так, что движущийся вихревой многоугольник станет существенно неправильным, будет отличаться от правильного на величину порядка 1. [c.271]

Выходит, что эксперимент Майера [36] - [39] поколебал интуитивно правильное убеждение Кельвина. В этом эксперименте шестерка одинаковых магнитов располагалась в вершинах правильного треугольника и в серединах (или около середин) его сторон (см. рис. 2). Объяснение противоречия опыта Майера и теории устойчивости вихрей мы, однако, находим в той же статье Кельвина. Он указал, что полная аналогия вихрей с магнитами получается лишь при определенном распределении намагниченности вдоль иголок, которая, однако, в опыте Майера не контролировалась. К этому можно добавить, что устойчивость по Раусу выдерживает малые возмущения приведенного гамильтониана, когда на заданном стационарном режиме его второй дифференциал положительно определен. Ясно, однако, что ограничение малости возмущений тем жестче, чем мы ближе к критическому случаю вырождения этого второго дифференциала. Этот критический случай возникает при п = 7, но довольно ясно, что уже при п = 6 отклонение потенциала притяжения магнитов от вихревого оказывается недостаточно малым. [c.275]

В первой части данного сообщения доказывается устойчивость стационарного вращения вихревого многоугольника Уд(п, во) в точной нелинейной постановке, когда во J при п = 4,5,6. Устойчивость стационарного движения трактуется как устойчивость по Раусу [7, 9]. Когда широта во лежит на границе интервала J во = или тг - 6 , доказательство требует специального исследования роли нелинейности. Устойчивость для граничных значений параметра интересно изучить, чтобы выяснить опасной или безопасной (по Баутину [1]) является эта граница. [c.355]

Ввиду очевидной и несущественной неустойчивости по Ляпунову решения (3.1), связанной с зависимостью угловой скорости и> во) от широты во, естественны другие определения устойчивости (см., например, [7, 9, 13]). Скажем, что стационарное решение (3.1) устойчиво по Раусу, если устойчиво семейство равновесий Г уравнения относительного движения (3.3). [c.358]

Для обоснования устойчивости по Раусу стационарного решения (3.1) достаточно показать, что относительный гамильтониан Е р) достигает на семействе равновесий Г трансверсально строгого минимума (предложение 2.2 работ [7, 9]). [c.358]

Теорема 3.1. Стационарное вращение (3.1) правильного вихревого п-угольника на сфере устойчиво по Раусу в случае двух или трех вихрей, не лежащих на экваторе (п = 2,3,6 о —), а также при одновременном [c.360]

Теорема 3.2. При п = 4,5,6 в критическом случае во = см. (3.7)) стационарное вращение (3.1) правильного вихревого п-угольника устойчиво по Раусу. [c.362]

Под устойчивостью томсоновских конфигураций в данном случае понимается устойчивость по Раусу (см., например, статью [19] в этом сборнике), согласно которой конфигурация является устойчивой, если устойчива (по Ляпунову) соответствующая ей неподвижная точка приведенной системы после исключения циклической переменной, отвечающей интегралу момента (2.13). В наших обозначениях циклическая переменная — поэтому из рассмотрения необходимо исключить соответствующие нулевые собственные числа А . [c.421]

Условия устойчивости системы, движение которой описывается дифференциальным уравнением (XI.39), по Раусу — Гурвицу заключаются в том, что коэффициенты характеристического уравнения положительны и выполняется неравенство [c.319]

В случае характеристических уравнений любой степени п вида (25.7), содержащих вещественные коэффициенты, необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей всех корней этого уравнения определяются критерием Гурвица. Условия устойчивости движения системы по Раусу и по Гурвицу полностью совпадают. [c.243]

Критерий Рауса-Гурвица. Для практического использования теоремы об устойчивости по первому приближению важно определить знаки вещественных частей характеристического уравнения. В частности, желательно иметь критерий, позволяющий по коэффициен- [c.532]

Основными условиями применимости преобразования Лапласа является равенство х (t) = О при < О, а также условия ограниченного роста функции. Пользуясь преобразованием Лапласа, можно исследовать уравнения динамики линейных САУ станков при различных параметрах их элементов. Для оценки устойчивости САУ используют частотные критерии Найквиста и Михайлова. Если требуется определить лишь область изменения параметров из условия устойчивости, обычно используют алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица. При использовании этих критериев, а также критериев устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам, определяют передаточную функцию САУ станка [c.102]

Исследование линеаризованных уравнений (19) на устойчивость по критерию Рауса—Гурвица [22, 23] показывает, что граница устойчивости соответствует равенству частот oq = со . Область устойчивого движения (без вибраций) и неустойчивого (с вибрациями) зависит от сил сопротивления в системе. [c.98]

Оценка устойчивости по укороченной форме критерия Рауса—Гурвица и волновому критерию (гл. I) [c.10]

Задавались значения <7 < 1 и рассчитывались коэффициенты характеристического уравнения по формуле (1.36). Затем полученное характеристическое уравнение проверялось на устойчивость по критерию устойчивости Рауса. При получении неустойчивости значения qi снижались. Шаг изменения 9, был выбран равным 0,05. [c.26]

Таким образом, для исследования устойчивости по первому приближению достаточно определять знаки вещественных частей корней характеристического уравнения. Это можно сделать, не вычисляя корней, с помощью критерия Рауса—Гур-вица (см. т. 1). [c.39]

Рассмотрим статическую и динамическую устойчивость продольного движения с целью выяснения роли устойчивости по скорости. Условием статической устойчивости является положительность свободного члена характеристического уравнения, что удовлетворяется, так как Ми > 0. Условие динамической устойчивости можно получить, применив критерий Рауса. Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, так что условием нахождения корней в левой полуплоскости является [c.721]

Автоматизированный расчет устойчивости проще выполняется по алгебраическим критериям устойчивости. Так, в [39] приведен алгоритм программы анализа устойчивости по критерию Рауса. Программа может быть использована для анализа устойчивости динамических систем любого порядка. Составим алгоритм оценки устойчивости по критерию Гурвица. Основой для формирования определителей Гурвица, которые для устойчивости системы должны быть больше нуля, является матрица (34), составленная из коэффициентов характеристического многочлена D (s). Выпишем неравенства, полученные по определителям Гурвица для систем с порядком характеристического многочлена п с 6 (коэффициенты а, > 0) [c.112]

Когда рассматриваемое стационарное движение неустойчиво по Раусу, еще не исключено, что инвариантное множество стационарных движений (О-орбита О (у) данного стационарного движения) устойчиво. Это бы означало, что возмущения растут лишь вдоль инвариантного множества. На самом деле, в условиях общего положения, экспоненциальная неустойчивость по линейному приближению влечет также и рост возмущений в трансверсальном направлении. В случае семейств периодических движений это было установлено в работах [13, 22]. [c.252]

Из (2.27) видно, что относительно циклической координаты да стационарное движение неустойчиво всегда, за исключением неинтересного случая, когда = 0. Выходит, что если среди координат д окажется циклическая, то стационарное движение будет, как правило, неустойчивым по Раусу. Устойчивость же требует, чтобы набор циклических координат был максимален. Соответственно в общей теории нужно, чтобы максимальной была группа симметрии С, во всяком случае, при ее возможном расширении не должна расширяться орбита 0 ь). [c.254]

Для любых заданных значений щ и и из (4.26) можно определить значение соответствующей частоты ш. Если ее мнимая часть положительна, то невозмущенное движение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Наличие частот с отрицательной мнимой частью означает неустойчивость оболочки. Условия отсутствия корней уравнения (4.26) с отрицательными мнимыми частями могут быть представлены в-форме, аналогичной известным условиям Рауса—Гурвица. Поступая обычным образом, получим из зтих условий для критической скорости следующие выражения [c.407]

Теорема Рауса. Если в стационарном движении потенциальная энергия = П — приведенной системы имеет минимум, то это движение устойчиво относительно позиционных координат qj и скоростей Vj, по крайней мере для возмущений, не нарушающих значения циклических ин тегралов (3.11). [c.87]

Во всех случаях, когда, руководствуясь соображениями устойчивости, можно или желательно ограничиться при рассмотрении отклонения частью характеристических параметров, мы будем говорить, что речь идет о приведенной устойчивости (или неустойчивости) или об устойчивости по Раусу, в противоположность этому мы назовем безусловной уетойчивостью (или неустойчивостью), или устойчивостью по Дирихле, устойчивость, которой мы занимались в предыдущем пункте. [c.381]

Разделение понятия устойчивости на устойчивость по Дирихле" и устойчивость по Раусу" ничем исторически не оправдано, так как и Дирихле и Раус не давали точного определения этого понятия. Впервые Н. Е. Жуковский обратил внимание На то, что задачу об устойчивости движения консервативной системы можно ставить иначе, чем это сделано у Рауса, и только А. М. Ляпунов дал окончательное, общепринятое теперь определение понятия об устойчивости движения. [c.424]

На предельных широтах необходим дополнительный анализ, учитывающий нелинейные члены. Он был недавно выполнен Л. Г. Куракиным [35], статья которого представлена в этой книге. Например, в этой работе показано, что при п = 4,5,6 в критическом случае стационарное вращение является устойчивым по Раусу (только как относительного равновесия). Отметим также работу [79], в которой доказана устойчивость по Раусу Л -угольных кон- [c.147]

Обычно само понятие стационарного движения рассматривается лишь для гамильтоновой системы. Следуя Раусу, его обычно определяют как движение, при котором изменяются лишь циклические координаты, а остальные координаты, называемые позиционными, остаются постоянными. Циклические координаты оказываются, попросту, линейными функциями времени, а отвечающие им циклические импульсы, также постоянны. В теории устойчивости стационарньк движений, развитой Раусом, учитывается, что относительно циклических координат такие движение всегда неустойчивы (возмущения растут линейно со временем). Таким образом, речь должна идти об устойчивости относительно части переменных — позиционных координат и импульсов. Такого рода устойчивость мы называем устойчивостью по Раусу. Вопрос об устойчивости по отношению к циклическим импульсам должен быть рассмотрен особо. Как показали Раус и его последователи, при естественных дополнительных условиях (хотя и не всегда) устойчивость относительно циклических импульсов следует из устойчивости по Раусу. Поэтому в приложениях циклические импульсы обычно не требуют дополнительных рассмотрений. Именно так обстоит дело и в проблеме данной статьи. [c.244]

Скажем, что стационарное решение u t) = L ptaV уравнения (2.1) устойчиво по Раусу, если его траектория Т = w w = Ьц рта ,т G К есть устойчивое семейство равновесий уравнения относительного движения (2.19). Более подробно для любого е > О найдется такое a > О, что неравенство p w t),T) < е выполняется при всех i О для любого решения w t) уравнения (2.19) при условии, что p w 0),T) < S. [c.251]

Нелинейную устойчивость в рассматриваемой задаче впервые изучал Л. Г. Хазин [19, 20]. Он применял свои результаты об устойчивости равновесий, имея в виду устойчивость по Ляпунову. Но в этом смысле все вихревые п-угольники неустойчивы, и речь следует вести об устойчивости по Раусу. [c.276]

В чем выражается ритерий устойчивости движения системы по Раусу и каков порядок составления схемы Рауса [c.245]

С конечным сопротивлением отличие ог теоремы Рауса состоит в том, что неварьируе-мыми считаются токи (аналог квазициклических скоростей), а не циклические импульсы (магнитные потоки). Условия устойчивости по теореме Рауса (для сверхпроводящих систем) шире, чем для систем с конечным сопротивлением [17]. [c.341]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Проблема Гурвица возникла при следующих обстоятельствах Максвелл, изучая причины потери устойчивости регулятора прямого действия паровой машины, установил, что задача эта сводится к выяснению того, имеют ли все корни некоторого алгебраического уравнения отрицательные действительные части. Решив эту задачу для частного случая уравнений третьей оепени, он сформулировал се в обш,ем виде, и по его предложению она была объявлена задачей на заданную тему на премию Адамса. Эту задачу решил и премию Адамса получил Раус, установивший алгоритм, позволяющий по коэффициентам уравнения решить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси. Позже, не зная о работах Максвелла и Рауса, известный словацкий инженер-турбостроитель Стодола пришел к той же задаче, исследуя причины потери устойчивости регулируемых гидравлических турбин. Он обратил на эту задачу внимание цюрихского математика Гурвица, который, также не знап о работах Максвелла и Рауса, самостоятельно решил ее, придав критерию замкнутую (рорму. Связь между алгоритмом Рауса и критерием Гурвица была установлена позднее, [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...