Функция в унитарном случае

Обозначения различных объектов, относящихся к Яо, как правило, снабжаются нулевым индексом, а объектов, относящихся к абсолютно непрерывной части оператора,—верхним индексом а . В унитарном случае сохраняются многие обозначения и определения самосопряженной теории. В обозначениях различных функциональных пространств в скобках обычно указывается множество, на котором определены рассматриваемые функции. В случае вектор-функции дополнительно указывается пространство, в котором функции принимают свои значения. Через С и с обозначаются различные оценочные постоянные, точное значение которых безразлично. Мы применяем следующие сокращения [c.9]

ФУНКЦИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО СДВИГА В УНИТАРНОМ СЛУЧАЕ [c.352]

При принятом всюду в этом параграфе условии V U — Uq 61 построение ФСС можно провести в существенном так же, как и в 2. Одно из отличий состоит в том, что в унитарном случае ФСС становится многозначной. В самом деле, соотношением (1), где g—произвольная функция из класса С (Т), ФСС Г) определяется с точностью до произвольного слагаемого. В самосопряженном случае такая неоднозначность устранялась либо условием G bi(M), либо требованием справедливости представления (2.4) для 1п1)я/Яо( )- Поскольку 1 G Ьх(Т), условие Г) G Li T) константы не определяет. [c.353]

Пример 10 показывает, что задача 5 решения не имеет.Таким образом, в унитарном случае попытка глобального определения непрерывной по II ФСС г и, По) приводит к многозначной функции. [c.367]

В шредингеровском представлении волновые функции являются матричными элементами основной непрерывной серии унитарных представлений некомпактных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли, взятыми между состояниями с определенными квантовыми числами (обобщенными векторами Уиттекера). В тр же время наличие гамильтонова формализма для рассматриваемых систем (V. 3.1) позволяет, как и в классическом случае (см. V. 3), применить обычные методы теории возмущений. При этом первый член в гамильтониане (III. 2.14) играет роль свободной части, тогда как второй, снабженный множителем л, описывает взаимодействие в системе с постоянной X. В полной аналогии с классическим рассмотрением ряды теории возмущений также оказываются конечными полиномами по X и воспроизводят точное решение соответствующей системы. Используемые построения существенным образом основываются на теории представлений алгебр и групп Ли и для одномерного случая окончательные результаты формулируются полностью в их терминах. [c.229]

К аналогичным заключениям можно прийти и для квантовомеханической задачи, которая была рассмотрена в п. 1. Здесь, однако, следует еще раз подчеркнуть, что условие коммутативности (5.8) выполняется только в том случае, если на выбранной системе функций реализуется унитарное представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая в качестве системы функций некоторую полную ортонормирован-ную систему, мы придем к заключению, что при отсутствии случайного вырождения каждому собственному значению оператора энергии соответствует неприводимое представление, по которому преобразуются его собственные функции. [c.65]

При этом предполагается, что в интервале времени (/, /о) при t> и над системой не производится никаких измерений, измерение нарушило бы неопределенным образом полностью детерминированное временное изменение функции з> (ср. п. В2.12). Временное унитарное преобразование и(/,/о) для случаев ((9/(9 ) Н = О задается выражением [c.81]

В нейтрон-протонном случае с / = 1 написать в явном виде такую 2 X 2-матрицу S, которая удовлетворяла бы условиям унитарности, симметрии, соотношениям (15.117), (15.118) и теореме Левинсона об отсутствии связанных состояний с / = 1 и, кроме того, чтобы каждый элемент данной матрицы был рациональной функцией от к. [c.437]

Наша следующая задача — подытожить результаты математического анализа этих непрерывных унитарных представлений неоднородной группы SL 2, ). Каждое непрерывное унитарное представление а. Л U а, А) уни тарно-эквивалентно представлению, разложенному на неприводимые представления. Два представления унитарно-эквивалентны, если меры, указывающие, какие неприводимые представления встречаются в разложении, дают нуль для одних и тех же подмножеств неприводимых представлений и если функции кратности, указывающие, сколько раз встречается данное неприводимое представление, совпадают. Неприводимые представления задаются несколькими параметрами, и первый из них обозначает импульсы, встречающиеся в состояниях этого представления. [Понятие энергии-импульса можно определить исключительно в терминах теории групп, поскольку каждое непрерывное унитарное представление группы трансляций имеет вид и а, 1) = ехр iP , где P — коммутирующие самосопряженные операторы.] Имеется шесть случаев — [c.47]

Здесь, конечно, подразумеваются однозначные при ( > 1 и I < 1 ветви аналитической функции nD Q, D = Dufu . Такие ветви существуют, поскольку D(Q голоморфна и не равна нулю при I I / 1, и определяются заданием argZ>( ) в каких-либо точ-. ках i( i > 1) и С2( С2 < ) В самосопряженном случае соотношение (2.4) автоматически фиксирует ветви nD () в обеих полуплоскостях. В унитарном случае внешность и внутренность единичной окружности играют разную роль. Подобно 2 в области I I > 1 представление (2) может выполняться лишь, если InD( ) О при С оо. Это определяет ветвь lni)( ) при I > 1, но не устраняет неоднозначность функции г], так как ее изменение на константу значения интеграла (2) при С > 1 не меняет. Напротив, при С < 1 заданием ветви 1п D( ) функция [c.353]

Нет ничего удивительного в том, что мы действительно нашли закон неунитарного преобразования. Унитарные преобразования — это не более чем многократные подобные изменения координат системы, не изменяющие физической сущности проблемы. Какова бы ни была система координат, в которой система рассматривается, физическая сущность системы остается неизменной. В данном случае, однако, мы имеем дело с проблемой совершенно иного характера. Наша цель состоит в том, чтобы найти способ, позволяющий перейти от описания системы на языке динамики к сс описанию на языке термодинамики. Именно в этом и состоит причина того, что нам потребовалось ввести резкие изменения в способы задания функций, что нашло выражение в использовании нового закона преобразования (уравнение (48)). Я назвал этот тип преобразования функций звездноунитарным и предложил обозначить его следующим образом [c.150]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Следовательно, новая функция также является собственной функцией Й°, соответствующей собственному значению Еп. В общем случае можно сказать, что любая операция R, которая коммутирует с гамильтонианом молекулы, должна преобразовывать собственную функцию гамильтониана в новую функцию, соответствующую тому же собственному значению такая операция называется операцией симметрии гамильтониана. Операции симметрии задаются унитарными или антиунитарными операторами (см. [120]). Группа симметрии гамильтониана является группой операций симметрии гамильтониана. Иногда говорят, что гамильтониан инвариантен по отношению к операциям симметрии в том смысле, что если R есть операция симметрии, то действие R на Й (при этом не рассматривают никакой функции, на которую действует Й) оставляет Й неизменным. [c.70]

Более полный анализ можно выполнить в том случае, когда прямое произведение представлений в виде (17.1) или в виде (17.2), подобном (17.1), преобразуется унитарной матрицей и при этом приводится к полностью приведенной или блочно-диагональной форме. Матричные элементы унитарной матрицы, преобразующей одновременно все матрицы к приведенной форме, называются коэффициентами Клебша — Гордана. Эти матричные элементы имеют также и другой валшый и близко связанный с предыдущим смысл они являются элементами матрицы, преобразующей пространство прямого произведения [левая часть равенства (17.5)] в неприводимые пространства [правая часть равенства (17.5)]. Другими словами, эти матричные элементы позволяют определить правильные линейные комбинации произведений функций (каждое из этих произведений содержит по одной функции из каждого пространства), являющихся базисом для неприводимого представления пространства прямого произведения. Как вскоре выяснится, коэффициенты приведения содержат меньшую информацию. [c.61]

Представимость S-матрицы через функцию f. Ограничения на вид S-матрицы, возникающие в том случае, когда она определяется достаточно хорошей матрицей потенциалов, не исчерпываются условиями унитарности, симметрии, теоремой Левинсона (15.145) и условием сравнительно быстрого стремления S-матрицы к единичной матрице при возрастании энергии в случае частиц с нулевым спином ограничения сводились к перечисленным выше. Любую функцию на действительной оси, по модулю равную единице, можно представить с помощью функции f согласно (12.71), если она достаточно регулярна и достаточно хорошо ведет себя при высоких и низких энергиях. Единственно возможный вид функции 1+ дается при этом выражением (12.64). В матричном случае задача построения из соотношения (15.116) значительно сложнее рассмотрение этого вопроса можно найти в соответствующей литературе I657J. В ходе решения указанной задачи оказывается, что не любую матричную функцию, удовлетворяющую упомянутым выше условиям, можно представить данным способом. Причем до сих пор не найдены общие критерии, которые [c.435]

Пример 7.7. Гамильтонов поток (гл. 1, теорема 1.11) никогда не бывает эргодическим, поскольку энергия Н — инвариантная функция. Тем не менее, геодезический поток на унитарном касательном расслоении в некоторых случаях может быть эргодическим (см. гл. 3, 17.12). Однако если V обычный тор, то геодезические потоки на ТхУ неэргодичны, поскольку функция является инвариантом (см. приложе- [c.25]

При выводе последнего из этих соотношений мы существенным образом использовали то обстоятельство, что одночастичный гамильтониан ограничен снизу (константой т > 0). Кук [59] более тонкими методами получил следующую модификацию того же результата, которая остается в силе даже в тех случаях, когда наши исходные предположения не выполняются для любой функции f, принадлежащей области определения 3) Н) одночастичной наблюдаемой Я, замыкание оператора Q (Я) + F Hf)унитарно-эквивалентно оператору Й(Я), при этом оператор, трансформирующий один оператор в другой (оператор 10Д0бия), имеет вид ехр [гр (f)], где р f) = i (а (/) — [c.33]

Практически при решении квантовомеханической задачи часто приходится ограничиваться некоторой неполной и неортонормиро-ванной системой функций. Докажем, что в этом случае условие инвариантности (5.2) сохранит свой вид, если только на выбранной системе функций реализуется унитарное представление труппы G. Предположим, что для любого элемента g имеет место равенство [c.55]

Вывод ОЗК по Ланжевену. Соотношение (2) между входными я выходными операторами поля в случае одинаковых яш иков квантования можно рассматривать как унитарное преобразование, т. е. как смену базиса в гильбертовом пространстве поля ( 2.2). Унитарность преобразования обеспечивает сохраненпе нормировки волновой функции (что необходимо ввиду ее вероятностного физического смысла) и сохранение коммутационных соотношений. Из (2) следует [c.130]

Мы сперва феноменологически введем матрицу рассеяния (МР) для случая монохроматической накачки и рассмотрим ограничения, накладываемые на МР условиями унитарности преобразования поля образцом. Далее будут рассмотрены общее линейное преобразование, перемешивающее операторы рождения и уничтожения и соответствующая -функция, которая, как и в случае ТИ ( 4.4), полностью определяется через МР и 5 -функцию падающего поля. Далее МР будет рассчитана для простого случая одномодовой накачки при пренебрежении дифракцией. При этом мы перейдем к удобному для таких задач содг-представлению операторов и покажем, что результаты квантового и классического расчета МР совпадают. Полученные решения уравнений Гейзенберга описывают экспоненциальный рост яркости ПР при увели- [c.204]

Половинная 5-матрица определяется рядами теории возмущений по постоянной взаимодействия X и приводит к явным выражениям для динамических величин определенного вида, оказывающихся конечными полиномами по Я, в точно решаемых случаях. Аналогичная ситуация имеет место и в классической области, где роль унитарной S-матрицы выполняет функция, осуществляющая соответствующее каноническое преобразование Беклунда. Данное утверждение применимо как к одномерным, так и к двумерным моделям. [c.7]

При изложении вопроса об условиях унитарности мы опирались на пример диаграммы (4.33) для частиц, описываемых функцией Грина (4.34) с четными частотами. Таковыми могут быть настоящие бозе-частицы, или частицы , соответствующие диаграммной технике со спиновыми операторами. Соотношения унитарности в форме уравнений (4.44) и (4.45) остаются теми же самыми в обоих этих случаях (более того, они остаются справедливыми и для фер-мионов). Следует только помнить, что в диаграммной технике для гейзенберговской модели в выражениях, соответствующих диаграммным рядам (4.45) и (4.46), подразумевается суммирование по векторным индексам в вершинах. [c.56]

В рамках абстрактной теории операторов пространства i)(A) определяются лишь с точностью до унитарной эквивалентности. В частности, в случае dimi (A) = onst (п.в.А) все [ (А) можно отождествить с каким-либо одним гильбертовым пространством ) той же размерности. При наличии такого отождествления прямой интеграл (1) сводится к пространству dm) вектор-функций, принимающих значения в одном и том же вспомогательном пространстве I), [c.46]

Как пояснялось во Введении, теория рассеяния занимается исследованием асимптотики U t)f при t —> оо (в терминах функции Uo t)fo) и проблемой унитарной эквивалентности операторов Яо и Я. В случае Tio — Ti, J = I обе эти задачи получают окончательное решение, если ВО W (H, Но) существуют и полны, т.е. их образы совпадают с абсолютно непрерывным пространством Ti оператора Я. При этом полнота W H, Но) эквивалентна существованию ВО W Ho, Н). При практической проверке обычно устанавливают существование обоих ВО W H,Ho) и Ж (Яо,Я). [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...