Краевая задача второго порядка

Для изопараметрических элементов граница в плоскости т] прямолинейна и все граничные интегралы вычисляются непосредственно численным интегрированием. В действительности основное заключение теории для краевой задачи второго порядка, по-видимому, таково изопараметрический метод устанавливает локальное преобразование координат в направлении нормали и по касательной, точнее и удобнее того, которое достигалось конечно-разностным методом. [c.238]

Описание и математический анализ некоторых нелинейных краевых задач второго порядка, таких, как задача о препятствии (и более общих задач, моделируемых вариационными неравенствами), задача о минимальной поверхности, задачи монотонного типа (гл. 5). [c.8]

Перше примеры краевых задач второго порядка [c.26]

В этой главе будет рассмотрена задача получения оценок в различных нормах для разности н —где и У —решение краевой задачи второго порядка, а —дискретное решение, [c.114]

Такая задача называется сопряженной задачей для задачи (3.2.17). Если билинейная форма симметрична, то эти две задачи, конечно, совпадают. Легко проверить, что если вариационная задача (3.2.17) соответствует краевой задаче второго порядка (см. пример, данный в разд. 1.2), то то же самое верно и для сопряженной к ней задачи. [c.140]

Как будет показано, полученная в теореме 3.2.4 абстрактная оценка ошибки дает улучшение в порядке сходимости для ограниченного класса задач второго порядка, который будет сейчас определен Говорят, что краевая задача второго порядка с вариационной формулировкой (3.2.17) (или соответственно (3.2.21)) регулярна, если выполняются следующие два условия [c.140]

На протяжении этого раздела будем предполагать, что мы решаем краевую задачу второго порядка, соответствуюш,ую следующим данным [c.178]

Описание и математическое исследование типичных для теории упругости линейных краевых задач второго и четвертого порядков система уравнений двумерной и трехмерной теории упругости, задачи теории мембран, тонких пластин, арок, тонких оболочек (гл. 1 и 8). [c.7]

Используя различные формулы Грина в пространствах Соболева, мы показываем, что, как только решаются эти задачи, по крайней мере формально решаются и поставленные классическим образом эллиптические краевые задачи второго и четвертого порядков, [c.14]

В этом разделе были рассмотрены различные задачи минимизации н вариационные задачи, каждой из которых была сопоставлена краевая задача для эллиптического оператора с частными производными (заметим, что, как показывают два последних примера, это соответствие не взаимно однозначно). По этой причине сами эти задачи минимизации и вариационные задачи называются эллиптическими краевыми задачами. На том же основании говорят, что это задачи второго порядка или четвертого порядка, если соответствующее уравнение с частными производными соответственно порядка два и четыре. [c.41]

Используя, как и в упр. 1.2.7, тот факт, что и— - Аи о, о — норма на пространстве V, эквивалентная норме Ц-Цг.и, проанализировать соответствующую вариационную задачу. В частности, показать, что она может быть разбита на две задачи второго порядка. Что представляет собой соответствующая краевая задача Обладает ли она тем же свойством разбиения [c.44]

Впредь будем предполагать, что абстрактная вариационная задача (2.1.1) соответствует эллиптической краевой задаче второго или четвертого порядка, поставленной на открытом подмножестве О. из Р" с непрерывной по Липшицу границей Г. Типичные примеры таких задач были изучены в разд. 1.2. [c.48]

Разностная схема (1.86), (1.87) устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу (1.6) со вторым порядком точности относительно шага. Кроме того, она регулярна по направлениям осей X и у, что позволяет создавать быстродействующие алгоритмы решения результирующей системы алгебраических уравнений. [c.48]

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПУТЕМ СВЕДЕНИЯ ЕЕ К НЕСКОЛЬКИМ ЗАДАЧАМ КОШИ [c.103]

Как уже отмечалось в 3.1, методы решения краевой задачи существенно зависят от того, является ли уравнение линейным или нет. Начнем с более простого линейного случая. Далее будем ограничиваться рассмотрением уравнений второго порядка — применительно к этим уравнениям можно достаточно просто продемонстрировать основные идеи, которые можно применить при решении уравнений любого порядка. [c.103]

Итак, пусть дана краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка [c.103]

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.110]

Установив на примере алгоритм решения краевой задачи методом разделения переменных, наметим, в заключении, ход решения более общей краевой задачи, рассматриваемой на области D с i " для уравнения второго порядка [c.174]

Можно показать, что не всякая разностная задача является разрешимой. В качестве примера рассмотрим краевую задачу для разностного уравнения второго порядка [c.228]

Допустим, что подлежащее определению внешнее напряжение на поверхности 5i представлено в виде ряда с неизвестными коэффициентами по некоторой полной системе функций, умноженного на функцию, учитывающую характер особенности в напряжениях (который определяется согласно 8 гл. III). Тогда приходим к совокупности вторых краевых задач. Решив каким-либо образом эти задачи, находим в каждом случае значения смещений на поверхности 5i. Теперь возникает задача об определении коэффициентов введенного выше ряда из удовлетворения краевых условий на Sj. Здесь можно воспользоваться различными приемами методом коллокаций, методом наименьших квадратов и т. п. Получаемые при использовании конечного отрезка ряда системы алгебраических уравнений для коэффициентов могут оказаться плохо обусловленными ), причем число обусловленности растет с увеличением порядка системы. [c.597]

Уравнение (3.15) аппроксимирует (3.1) со вторым порядком точности. Числовое решение этого уравнения трудностей не представляет. Поясним это на примере краевой задачи для уравнения (3.1) в области. х 0, с условиями w(0, Jt) = [c.80]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Таким образом, исходную нелинейную краевую задачу удалось упростить, так как вместо уравнений четвертого порядка получены уравнения (7.9.10), которые имеют третий и второй порядок. [c.426]

Постановка задачи. Краевая задача теории теплопроводности может быть сформулирована следующим образом. Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами [c.149]

Таким образом, отыскание изображения U x, р) свелось к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Предполагая, что задачи (4.57) и (4.58) разрешимы, находим изображение U x, р), а затем по формуле обращения и решение и(х, i). [c.113]

Изложим метод Бубнова—Галеркина применительно к линейной краевой задаче, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка [c.117]

Пусть далее М/, — соответствующее дискретное реи1ение, аппроксимирующее решение и общей краевой задачи второго порядка рассмотренного в разд. 3.2 типа. Показать, что если сопряженная задача регулярна и то существует такая не зависящая от/г постоянная С, что [c.167]

Предположим для определенпости, что решается краевая задача второго порядка, соответствующая следующим данным [c.206]

В скаляризованном варианте начально-краевая задача второго порядка малости формулируется относительно скалярных функций Ф2 и через которые поле 1)2 выражается по формуле [c.188]

На протяжении этого раздела будет предполагаться, что конформный метод конечных элементов используется для решения краевых задач второго и четвертого порядков. Суммируем вначале различные предположения, которым должно удовлетворять пространство конечных элементов Хд в соответствии с проведенным в предыдущем разделе обсуждением. Такое простраН-ство ассоциируется с триангуляцией д множества Q= U К [c.53]

Что касается аппроксимации задач четвертого порядка на областях с криволинейными границами, то упомянем работу Мэнсфилда [6], где рассматривается, кроме того, эффект численного интегрирования. Его подход аналогичен использовавшемуся у Сьярле, Равьяра [3] для задач второго порядка. Криволинейные изопараметрические конечные элементы нового типа предлагаются Робинсоном [1]. В случае задачи о свободно опертой пластине (см. упр. 1.2.6) упомянем парадокс Бабушки (см. Бабушка [1], а также Биркгоф [1]) В противоположность задачам второго порядка нельзя получить сходимость аппроксимации, если криволинейная граница заменяется ломаной. Это происходит потому, что краевое условие А -(1—а)3 = 0 на Г (которое включается в вариационную формулировку) заменяется тогда на краевое условие ду и — О. [c.368]

В главе 1 описаны типичные линейные краевые задачи второго и четвертого порядка, указаны приемы перехода от классической, операторной постановки к обойденной вариационной формулировке, в том числе смешанной. Для однородности изложения рассматривался только один вариационный принцип — метод Бубнова—Галёркина. Большинство результатов переносится как на метод Ритца, так и на метод наименьших квадратов. [c.11]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Для численного пптегрировагсия полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = (г=1, 2,. ... ... п) на и материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках = г (i=l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от иеремеп ых а,, а, w, р2 перейдут в Ап обыкновенных дифференциальны уравнения по времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления р i в точках г = г. в к шдый фиксированный момент времени необходимо решать лине пую (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по / ) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6 7.17). [c.53]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Тем самым многоточечная краевая задача вновь сводится к двухточечной с заданными разрьтами искомых величин в сопряжениях, однако зависимость искомых перемещений и усилий от заданных нагрузок и краевых условий в этом случае усложняется. Обобщенные сопряжения (столбец е в табл. 3.3) отличаются от комбинации упругих тем, чго в дополнительном соотношении для них коэффициент а,- представляет собой квадратную матрицу второго порядка, например [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...