Двойственная формулировка

Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств. [c.112]

В механике сплошных сред одним из первых примеров двойственной формулировки задачи является принцип Кастильяно [117]. Для жесткопластической среды теория двойственности, по существу, сводится к установлению двусторонних оценок для коэффициента предельной нагрузки через статический и кинематический коэффициенты. Эти вопросы были рассмотрены в 4. Получение [c.87]

Плоские течения. Плоское напряженное состояние. Осесимметричные задачи. Понятие полного решения. Двойственная формулировка и полное решение. Задача о сжатии — растяжении полосы с отверстием. Задача Прандтля о сжатии с.гоя. [c.113]

Выписанные выше выражения выводятся еще раз в разд. 6.4 с помощью принципа стационарности потенциальной энергии. Затем приводятся двойственные формулировки для принципа стационарности дополнительной энергии и рассматриваются другие (смешанные) принципы стационарности. Однако сначала необходимо напомнить ряд основных положений в задаче определения стационарных значений для функций многих переменных. [c.159]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом (в общем случае) зависимости теплофизических характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной (в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена. [c.4]

Наличие двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности на основе функционалов (2.48) и (2.50) позволяет получить интегральную оценку погрешности приближенного решения по разности [12] aJ = J(T) - J(T, q). Чем ближе приближенные распределения температуры Г и компонентов плотности теплового потока к истинным распределениям, тем ближе между собой значения J(T) и J(T, q) и меньше 52 [c.52]

Двойственную вариационную формулировку стационарной задачи теплопроводности в некоторых случаях удается применить для оценки эффективной теплопроводности композиционных материалов и пористых термоизоляторов. Пусть композиционный материал состоит из наполнителя с теплопроводностью Я.1 и матрицы с теплопроводностью Х.2, причем объемное содержание матрицы составляет р. В случае пористого термоизолятора р будет соответствовать пористости, - теплопроводности скелета, а 2 - теплопроводности среды в порах. [c.58]

Способ разделения неоднородного тела на однородные части изотермическими или адиабатическими поверхностями (или их комбинацией), как это было сделано в рассмотренном случае при задании допустимых для функционалов (2.71) и (2.72) распределений температуры и вектора плотности теплового потока соответственно, нашел широкое применение при определении эффективной теплопроводности неоднородных материалов со сложной структурой [5]. Анализ получаемых при этом формул для X.j,3 и Хад введением соответственно изотермических и адиабатических поверхностей показывает, что всегда А. з А. д. Эквивалентность этого способа двойственным оценкам термического сопротивления неоднородного тела на основе вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности дает возможность строго обосновать правомерность такого результата. Кроме того, использование вариационного подхода при более близких к реальным неодномерных допустимых распределениях температуры и плотности теплового потока позволяет более точно определить эффективную теплопроводность неоднородных материалов и одновременно оценить максимально возможную погрешность получаемого результата. [c.60]

Декарт ссылается и на то, что камень, выпущенный из раскрученной пращи, летит по касательной к окружности, которую он описывал вместе с пращей. Двойственность в формулировке закона инерции Галилея была устранена тогда, когда был решен вопрос о центробежной силе (Гюйгенс, Ньютон). [c.95]

Преобразование статической теоремы, аналогичное рассмотренному выше [10, 11, 21, 22], в дальнейшем было предложено также авторами работы [104] в связи с применением к решению задач приспособляемости методов линейного программирования. Здесь же на основании двойственности статической и кинематической теорем была получена и известная преобразованная формулировка кинематической теоремы (неравенство типа (2.5)). [c.17]

Здесь важно отдавать себе отчет в том, что уже на этом первоначальном этапе проявляется характерная для всей нелинейной механики сплошных сред двойственность двойственность представления деформации (1) и (2) (прямое и обратное описания) влияет затем на выбор мер деформации и формулировку законов сохранения. [c.659]

Следует заметить, что соотношение (2.16) предполагает справедливость закона Гука и потому линейно-упругое поведение материала. Напротив, двойственное соотношение (2.3) следует из обших законов термодинамики. Формулы (2.3) и (2.16) представляют собой частные формулировки теоремы Кастильяно (см. п. 4.4.3). [c.57]

В вариационной формулировке, двойственной с рассмотренной и называемой методом сил, принимается распределение напряжений в пределах каждого элемента, удовлетворяющее уравнениям равновесия. Кинематические условия совместности удовлетворяются приближенно с помощью принципа возможных сил, т. е. минимизацией дополнительной потенциальной энергии. [c.140]

Формулировки смешанного типа 212 Функции двойственные 191 [c.424]

Основная, двойственная и двойственно-основная формулировки [c.395]

Мы будем называть эту формулировку (модельной задачи) двойственно-основной формулировкой, а двойственно-основной задачей—соответствующую задачу о седловой тО же илн вариационную задачу. [c.400]

Двойственная гибридная модель, или формулировка, нлн задача 408, 423 [c.504]

Вариационная формулировка задач теории пластичности дает возможность строить эффективные оценки точности приблил енного решения. Используя двойственную формулировку задачи, мон но оценить минимальное значение функционала. Вычисляя затем значение функционала на приближенном решении для сильно выпуклых функционалов, получаем с помощью неравенств типа Кларксона оценку погрешности решения в энергетической норме ( 6). [c.195]

ДЛЯ линейных процессов и обобщенный де Гроотом ([13], стр. 196). Здесь предполагается, что необратимые силы заданы к=, 2,. . . , ] Сп). Принцип устанавливает, что диссипативная функция минимизируется значениями х = 0 (/с=/+1,. . . , и) скоростей, соответствующих остальным необратимым силам. Этот принцип, который опять-таки можно было бы выразить в виде некоторой двойственной] формулировки с переменными местами х,. и Х не эквивалентен принципам п. 4.1. Однако для линейных процессов, и вообще когда I) -поверхности гладкие, этот принцип представляет собой их следствие. Фиксируя Хк к=1, 2,. . ., 7 < п), мы ограничиваемся некоторым линейным подпространством силового пространства. Здесь минимум функции В (Хи ) достигается на некотором множестве значений Хк к=]- г1,. . ., п), удовлетворяющем системе уравнений [c.78]

Как уже указывалось, желательно получить методы, с по-моп1ью которых непосредственно вычислялись бы напряжения . В этом направлении инжеперами был предложен ряд способов прямого вычисления напряжений, исходя нз знания перемещений. См. Барлоу [1], Стайн, Ахмад jll, Хннтон, Кэмпбелл [1]. Однако для нас наибольший интерес представляют методы, непосредственно основанные на двойственной формулировке. [c.400]

Помимо оценки погрешности приближенного решения наличие вариационной формулировки задачи позволяет получить двойственную оценку (сверху и снизу) некоторых важных интегральных характеристик, связанных с температурным состоянием тела. Пусть в (2.48) = X (Р), = Г(Р) и<7 =q (P) = = QyiP), Р е V / = /tP") - а Р) ПР), Р" S" =Д S , а на контактной поверхности S q s о и тепловой контакт является идеальным, т.е.Д = /р = О- Тогда вместо (2.48) можно написать [c.54]

Формулы (53.03) и (53.07) показывают, что поля для волн взаимно перпендикулярных поляризаций, диффрагирующих на дополнительных плоских экранах, выражаются через одни и те же коэффициенты и Б . Этот результат является частным случаем принципа двойственности в формулировке Фельда (см. [38] или [39], а также [25], 92). [c.291]

Переменность модуля упругости (при неизменяющейся пластической деформации) отражается в данной формулировке соответствующим изменением упругих напряжений, уравновешивающих заданную нагрузку, и некоторыми приращениями самоуравновешенных напряжений Дрг/, которые к концу цикла (т = Т) снова принимают нулевые значения Отсюда на основании двойственности соответствующих задач ли нейного программирования следует также формулировка кинематической теоремы (она не приводится здесь ввиду ограниченности объема статьи). [c.22]

Принцип Бабине. Этот принцип — приближенная и потому имеющая большую область применимости формулировка п,ринципа двойственности, коротко изложенная в п. 19.7. В принципе Бабине не участвуют, в частности, решающие для принципа двойственности соотношения между поля ризацией падающих полей в двух сопоставляемых задачах. [c.241]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

Тогда как методы напряжений по определению основываются на формулировке только с одним неизвестным (градиентом и для модельной задачи, те[гзэром напряжений о для задачи теории упр угости и др.), использование для снятия ограничения техники теории двойственности дает в результате дополнительно второе неизвестное — тож мепъ Лагранжа. Такой подход, в частности, служит основой смешанных методов и двойственных гибридных методов, являющихся др ги.ми альтернативами учета ограничений. [c.401]

Чтобы показать особенность его результатов, вернемся к модельной задаче. Как мы видели, двойственно-основная формулировка состоит в нахождении такой пары (р, Х) Н(А1У 0,)ХЬЦИ), что [c.402]

Такой подход особенно важен для пластин, где вторые частные производные перемещения представляют моменты. В двойственно-основной формулировке тройка д т и, д и, 322 ) г1ер-выи аргумент седловой точки, тогда как вторым аргументом, т. е. множителем Лагранжа, оказывается само перемещение и. Анализ таких методов см. у Джонсона [1, 2], Кикути, Андо [1, 5], Миёси [2], Самуэльсона [1]. [c.404]

Точно таким же образом, как мы обобщили определение смешанных методов, можно более общо определить как гибридный метод всякий метод конечных элементов, основанный на формулировке, где одно неизвестное —функция или некоторые ее производные па множестве О, а другое неизвестное — след некоторых из производных той же функции или след са. юй функции вдоль границ множества К. Другими словами, мы игнорируем в эгом новом значении термина гибридный тот факт, что на практике такие методы основываются на соответствующей основной гибридной и двойственной гибридной формулировке. [c.408]

Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сугцностп совпадает с использованной егце в XIX в. (и затем забытой) формулировкой [ ]. Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобгценного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и тотальной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронпзываюгцпх всю механику деформируемых тел. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...