Уравнение состояния Ван дер Планка

Отметим некоторые характерные особенности газа, подчиняющегося уравнению состояния Планка. Это уравнение вандерваальсовского тира, допускающее при температурах ниже критической двухфазные состояния типа газ-жидкость. Критические параметры этого уравнения равны [c.417]

Уравнение состояния Планка — 780, 793 [c.799]

Определение констант эмпирического уравнения состояния по экспериментальным данным о термодинамических свойствах реального газа сводится к применению обобщенного метода наименьших квадратов. Минимизируемый функционал в случае обработки разнородных данных (термических, калорических, акустических) и наличия дополнительных условий (критические условия, правило Планка — Гиббса) имеет вид [c.25]

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Пусть квантовый осциллятор находится в равновесном состоянии и описывается матрицей плотности п дщ п ) = где вероятности даются формулой (7.3.37). Полагая = eq в (7.3.38), найти в явном виде равновесную функцию распределения /о( , 2 ) и убедиться, что она совпадает со стационарным решением (7.3.62) квантового уравнения Фоккера-Планка. [c.156]

Во многих экспериментальных ситуациях крупномасштабные флуктуации относительно малы, что позволяет решать уравнение Фоккера-Планка или соответствующие уравнения Ланжевена путем разложения локальных величин в ряды по их отклонениям от средних значений, которые удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Отметим, что даже в случае малых флуктуаций само макроскопическое состояние системы может значительно отличаться от равновесного. [c.242]

В первой части сочинения Планка говорится о температуре, основных законах идеальных газов, уравнении состояния, абсолютной температуре, коэффициентах расширения и сжатия и соотношениях между ними. После этого рассматриваются уравнение Ван-дер-Ваальса, диаграмма Эндрюса и закон соответственных состояний. [c.244]

СИЛЫ. Выполнив усреднение по квантовым флуктуациям и квантовомеханическому состоянию системы, получим полуклассические уравнения для двухфотонного лазера. Эти уравнения можно рассматривать как прямое обобщение уравнений однофотонного лазера. Хорошим упражнением для читателя было бы перенесение других методов, например метода матрицы плотности или подхода, основанного на уравнении Фоккера—Планка, на случай двухфотонного лазера. Необходимые для этого первые шаги будут указаны в следующем разделе. [c.317]

Систему (7.1)—(7.3) замыкают уравнение состояния /(р, р, Т)=0, закон Кирхгофа (6.5), закон Планка (6.6) и уравнение переноса радиации (3.4). [c.660]

Описанная картина процесса рекомбинации была облечена в математическую форму в работе Л. П. Питаевского [88], где диффузия вдоль энергетической оси рассматривалась на основе чисто классического уравнения Фоккера — Планка в предположении, что основную роль играют верхние состояния, где дискретность энергетических уровней проявляется слабо. [c.348]

Уравнение состояния Ван дер Ваальса 309 --Планка 417, 425 [c.429]

В гл. 10 исследуется влияние шума на процессы, уже ранее рассмотренные. Глава невелика по объему, но весьма содержательна. Интересны приведенные примеры численного решения уравнения Фоккера—Планка. Приводится решение многомерного уравнения Фоккера—Планка для стационарного состояния при выполнении условия детального баланса. Изложение в целом не претендует на полноту, поскольку в серии книг по синергетике, выпускаемой издательством Шпрингер , имеются специальные выпуски, посвященные этим вопросам. [c.12]

Но в любой заданный момент система может находиться только в одном состоянии. Возникает важный вопрос. Предположим, что при / = О мы приготовили (или измерили) систему в некотором начальном состоянии и = и,-. Какова вероятность при >0 найти систему в другом, конечном состоянии Uf Ответ на этот вопрос позволяет дать зависящее от времени решение / и, 1) уравнения Фоккера—Планка с начальным условием / и, 0) = б и—ис). Если дрейфовые коэффициенты линейны по переменным, а коэффициенты диффузии постоянные, то такие решения могут быть найдены в явном виде даже для уравнений Фоккера—Планка в случае нескольких переменных. В конце этого раздела мы приведем результаты для уравнения Фоккера—Планка в случае одной переменной, а в разд. 10.4.1 сформулируем общую теорему. Если же дрейфовые [c.330]

В разд. 11.8 1ш видели, что механической моделью подобной системы может служить газ со слабым взаимодействием. Релаксация к равновесному состоянию выделенной частицы, движущейся в равновесной среде, описывается теми же законами, что и броуновское движение. В частности, мы видели, что уравнение Фокке-ра — Планка можно вывести из уравнения Ландау, которое в свою очередь в гл. 18 было получено из механического описания системы. Однако в газе со слабым взаимодействием и при броуновском движении действуют совершенно разные физические механизмы установления равновесия. Отметим прежде всего, что выделенная частица ничем не отличается от остальных частиц среды, кроме своих начальных условий. С другой стороны, в проблемах, рассмотренных в разд. 11.2 и 11.3, взаимодействие между частицами не является слабым — могут происходить сколь угодно сильные столкновения. [c.300]

Исследование существующих уравнений состояний Планка [4], Биро-на [5], Бачинского [6], Планка — Мамедова [7], Бирона — Мамедова [7] для аналитического описания полученных нами экспериментально данных показало, что упомянутые уравнения дают хорошие результаты до 200— 300° С и до 200—250 бар. Для описания наших данных по ксилолам в более широком интервале температур и давлений до 400° С и до 500 бар предложено новое уравнение [c.48]

Это уравнение состояния Планка, где Ь = w, а = 2вuw. было обсуждено нами в задаче 31. > [c.425]

Сравнение (10.17) с (10.16) показывает, что G° T) зависит и от постоянных интегрирования Uq и S°. Если система подчи-ияется третьему закону термодинамики, то согласно постулату Планка ( 6) константа S° должна ра>вняться нулю при Т = 0 и любом давлении. Из (10.14) видно, что такая нормировка энтропии для обычного идеального газа не подходит, во-пер-вых, потому что величина Ср постоянна и при 7 = 0 слагаемое Ср In Г равняется минус бесконечности, во-вторых, энтропия при любой температуре получается зависящей от давления. Причина этого — нереальность использованных уравнений состояния в области низких температур, где существенными становятся макроскопические проявления ювантовых свойств веществ, или, как говорят, происходит вырождение классического идеального газа. [c.91]

В XX в. наиболее актуальной задачей становится разработка теории течения и истечения паров и газов в связи с широким развитием паровых турбин. Исследуются термодинамические свойства паров, жидкостей, твердых тел. Появляются десятки уравнений состояния вещества, изучаются фазовые равновесия и фазовые превращения, ведется исследование электрических и магнитных процессов лучистой энергии, химических реакций, термодинамики реальных тел. Указанные области исследований термодинамики неразрывно связаны с именами Ван-дер-Ваальса, Дюгема, Г. Кирхгофа, М. Планка, Л. Больцмана, В. Гиббса, Н. С. Курнакова, М. П. Вукаловича, И. И. Новикова, Н. И. Белоконя, В. А. Кириллина и других ученых. [c.4]

Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547]

Допустим, что на тело действуют внешние силы, которые вызывают упругую деформацию. Уравнения состояния при упругой деформации получены в главе VIII. Если увеличивать внешние силы, то, как показывает опыт, в некоторый момент времени в теле появятся остаточные пластические деформации. Произойдет переход из упругого состояния в пластическое (вернее в упругопластическое). При одноосном растяжении этому переходу соответствует условие пластичности при линейном напряженном состоянии = Ti = где (т, — предел текучести при линейном напряженном состоянии. При простом (или чистом) сдвиге этому переходу соответствует условие пла- [c.192]

Из элементарной математической физики известно, что это параболическое дифференциальное уравнение описывает монотонную необратимую зволюцию любого начального распределения плотности к равновесному состоянию. Дополнительный член первого порядка в уравнении Фоккера — Планка описывает систематическое торможение, называемое динамическим трением. Итак, уравнение Фоккера — Планка описывает суперпозицию процессов трения и диффузии в пространстве переменной у. [c.21]

Мы видим, что как уравнение Ландау (11.6.27), так и уравнение Фоккера — Планка (11.3.21) являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка следовательно, между ними должна существовать некоторая связь. Однако между ними существует очень важное отличие уравнение Ландау нелинейно. Теперь уже должно быть ясно, что любое кинетическое уравнение обязательно является нелинейным. В самом деле, такое уравнение описывает процесс столкновения двух (или большего числа) частиц. Поэтому оно зависит от состояний и, следовательно, от произведений функций распределения двух (или большего числа) сталкивающдхся партнеров. [c.46]

Один из возможных подходов к разрешению парадокса необратимости уже обсуждался в параграфе 1.3. Суть этого подхода заключается в описании неравновесных процессов с помощью крупноструктурных функций распределения, усредненных по малым фазовым ячейкам или по малым промежуткам времени. Применяя усреднение функций распределения по времени, Кирквуд [103] вывел необратимое уравнение Фоккера-Планка для броуновских частиц и получил выражение для коэффициента трения через корреляционную функцию сил, действующих на броуновскую частицу со стороны частиц среды. В работах Кирквуда содержалась важная идея сокращенного описания неравновесной системы, т. е. описания, основанного на неполной информации о состоянии системы. К сожалению, оказалось, что метод Кирквуда очень трудно распространить на другие задачи кинетической теории и неравновесной термодинамики. Поэтому мы используем другой способ перехода к сокращенному описанию. В нем состояние системы характеризуется набором коллективных переменных ( наблюдаемых ), зависящих от динамических переменных частиц. [c.80]

Когерентное состояние является собственным состоянием опе-эарора уничтожения. Мы можем поинтересоваться, а что получится, если на когерентное состояние подействовать оператором рождения. Этот результат будет важен в связи с уравнением Фоккера-Планка и проблемой затухания поля излучения. Показать, что [c.355]

Для описания броуновского движения классических моделей разработано два важных и, как правило, эквивалентных метода ланжевеновский, основанный на добавлении в уравнение движения, кроме сил трения, еще шумовых сил (их коррелятор определяется через константу затухания с помощью ФДТ), и марковский, основанный на уравнении Фоккера — Планка для условной вероятности перехода системы из одного состояния в другое. В последнее время в связи с развитием квантовой оптики и электроники эти методы были обобщены для описания броуновского движения квантовых систем, например, гармонического осциллятора или моды резонатора [5]. [c.74]

Колеман в своих замечательных исследованиях по термодинамике материалов с памятью начал с подкласса простых термодинамических материалов, в которых независимыми переменными определяющих соотнощений являются Р, 0 , дгаёв. В предположении, что эти материалы обладают затухающей памятью Колемана — Нолла, он ие только доказал результаты, аналогичные (11) —(14), и неравенство Планка, но и показал, что вся классическая теория термостатики (по существу, теория уравнений состояния XIV. 4) следует из его результатов как частный случай. Всякая теорема такого рода заслуживает названия теоремы Колемана. Понятие квазиупругого поведения позволяет нам доказать лищь половину, и притом более, простую, теоремы Колемана. [c.468]

Это уравнение Сакура — Тетроде. Тот факт, что постояншя к — 2пЬ есть постоянная Планка, следует из (9.31), где впервые появляется квантовая постоянная. Уравнение состояния выводится из функции и (8, V), которая представляет собой энергию Е, выраженную в переменных 5 и V. Непосредственно получаем РУ — МкТ. Следует отметить, что выражение (9.54) не удовлетворяет третьему закону термодинамики. Это не должно вызывать беспокойства, так как газ Больцмана не является физической системой. Газ Больцмана—только модель, обладающая предельными свойствами газов Бозе и Ферми при достаточно высоких температурах. Это показывает, однако, что третий закон термодинамики не является автоматическим следствием общих принципов квантовой механики, а зависит от особенностей плотности состояний вблизи основного состояния. [c.219]

Это уравнение состояния было предложено Планком (М. Plan k, 1908). Для получения выражения для удельной свободной и удельной внутренней энергии исключим величину (Г = 1 - 2w/v из химического потенциала, учитывая, что [c.417]

З-и этап, < > 1/Г — вторая грубая шкала времени. В этой шкале случайное блуждание брауновской частицы приобретает характер диффузионного процесса, движение частицы как бы безынерционно, частица не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение по скорости — всегда максвелловское). Каждое промежуточное состояние частицы в момент <о фиксируется только координатой ж(<о), которую можно посчитать за новое начальное положение Жо, из которого начнется тот же, что и раньше, процесс диффузии (временной аргумент сдвинется на <0, I = 1- о) без всякого воспоминания о его предыстории. Такие процессы называются марковскими. Эволюция системы описывается с помошью функции распределения р Ь, г), являюшейся решением уравнения Фоккера—Планка и определяющей окончательный этап релаксации на макроскопическом времени Гполн-Граничные и начальные условия для функции р 1, г) существенно определяют детали этого процесса. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...