Соотношение Лиувилля

Тождество (2.11) легко вытекает из соотношения Лиувилля ) [c.238]

Соотношение Лиувилля 238 Составляющие вектора ковариантные 428 [c.455]

Заметим, что на основании той же теоремы Лиувилля, на которую мы ссылались в п. 24 и которую мы докажем в гл. X ( 7), достаточно знать одно соотношение [c.169]

Общий характер движения можно представить себе совершенно так же, как и в простом случае двух степеней свободы. Появление радикалов в знаменателях соотношений (18.1.11) не является неожиданным. В случае либ-рационного движения знак перед радикалом Уф7-( г) выбирается следующим образом если qr возрастает, берется знак плюс, а если qr убывает — то знак минус. Более подробное исследование будет проведено в следующем параграфе, где рассматривается более общая система, чем система Лиувилля. [c.330]

Необходимо отметить, что, если задать начальное условие в виде (14.2,12), то многие уравнения цепочки (14.2.3) становятся лишними. Действительно, все формы кроме полностью коррелированных (Г, = Сj), могут быть представлены в форме произведения менее коррелированных форм. Если исключить лишние формы, то мы получим набор нелинейных уравнений для ([С ]). Это свойство было бы чрезвычайно неудобно в общей теории. Напротив, при динамическом определении корреляций, введенном в данном разделе, априорные соотношения между корреляционными формами отсутствуют, кроме (линейного) условия (14.2.9). В этом случае не возникает излишних уравнений и фундаментальное уравнение Лиувилля оказывается строго линейным уравнением, как оно и было выведено первоначально в гл. 2 и 3. [c.133]

Прежде чем вычитать это уравнение из (14.3.9), необходимо сначала симметризовать его, умножив все члены в левой части на оператор (1 1 2). Укажем очень важное коммутационное соотношение для операторов Лиувилля и симметризации [c.136]

Это соотношение совершенно общее. Оно не отличается от классического соотношения (14.2.4). Квантовый оператор Лиувилля свободной эволюции опять диагонален как относительно числа частиц S, так и относительно корреляционного индекса Га. [c.138]

Обобщая соотношение (15.2.9), получаем определение оператора резольвенты полного оператора Лиувилля [c.160]

Для системы в переменном внешнем поле, описываемой, например, гамильтонианом (1.1.2) с потенциалом Ф (г, ), оператор Лиувилля явно зависит от времени. Нетрудно, однако, распространить соотношения (1.1.24) и (1.1.30) на этот случай, используя более общие операторы эволюции (см. приложение 1А). [c.19]

В заключение мы получим простое, но важное соотношение, которое является следствием уравнения Лиувилля. Мы покажем, что среднее значение производной по времени (1.1.28) любой динамической переменной А равно производной по времени ее среднего значения А) т. е. операции усреднения по статистическому ансамблю и дифференцирования по времени перестановочны. Чтобы доказать это утверждение, вычислим производную по времени среднего значения (1.1.8) и затем исключим dg/dt с помощью уравнения Лиувилля (1.1.19). Это дает [c.19]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Рассмотрим теперь симметрию квантового уравнения Лиувилля (1.2.66) при обращении времени. Начнем с очевидного соотношения [c.43]

Проблема выбора решения уравнения Лиувилля возникает даже в случае равновесного состояния. Так как равновесное статистическое распределение не зависит от времени, классическое (1.1.19) и квантовое (1.2.66) уравнения Лиувилля указывают лишь на то, что любое равновесное распределение eq должно удовлетворять соотношению [c.52]

До сих пор мы предполагали, что гамильтониан системы и, следовательно, оператор Лиувилля не зависят явно от времени. Однако все полученные выше соотношения легко обобщаются на системы с зависящим от времени гамильтонианом. Для определенности мы рассмотрим квантовый случай и будем исходить из уравнения [c.107]

Вернемся к уравнению Лиувилля (2.3.13) и запишем его для оператора Ag t) который определяется соотношением [c.108]

Соотношение (2.3.29) справедливо для любых моментов времени t и t. Оно позволяет считать Vq t) оператором проектирования. Два других соотношения означают, что действие Vq t) переводит любое решение уравнения Лиувилля и его производную по времени в квазиравновесное распределение и его производную по времени. [c.109]

Эти соотношения можно назвать эргодическими условиями] они отражают тот факт, что в процессе эволюции макроскопической системы начальное распределение Qq t) должно стремиться к распределению которое есть интеграл уравнения Лиувилля ). Отметим также, что эргодические условия (2.4.35) и (2.4.36) можно рассматривать как обобщение условия ослабления корреляций Боголюбова впервые введенного в [c.130]

Второй член в левой части этого соотношения равен нулю, так как g t) удовлетворяет уравнению Лиувилля, поэтому мы получаем выражение [c.131]

Покажем, что формально замкнутое кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения можно получить, исходя из уравнения Лиувилля (3.1.2) и соотношения [c.165]

И соответствующий ему оператор Лиувилля могут быть представлены в виде Я12 = = Нц- -Нг и Li2 = + где Lr и Lr действуют соответственно на переменные R,P и г,р. Воспользовавшись соотношением (3.1.38), записать уравнение (3.1.40) в форме [c.246]

Начнем с некоторых точных соотношений, которые непосредственно следуют из условия (4.1.2) и квантового уравнения Лиувилля [c.249]

Подчеркнем, что в формуле (5.3.65) сначала совершается предельный переход Л О и лишь затем z 0. Обратный порядок предельных переходов, как видно из соотношения (5.3.62), дает Тр = оо. Это означает, что свойства корреляционных функций с приведенным оператором Лиувилля L = QLQ существенно отличаются от свойств корреляционных функций, в которых эволюция описывается полным оператором Лиувилля L. Хотя во многих конкретных задачах оператор проектирования удается исключить с помощью разложений по малым параметрам (параметру взаимодействия, волновому вектору возмущения и т. д.), следует помнить, что все подобные разложения должны совершаться в правильном порядке. Наивные попытки улучшить результат для времен релаксации путем учета членов более высокого порядка в корреляционных функциях могут привести к нефизическим расходимостям. [c.385]

Нам потребуются выражения для матричных элементов проекционного оператора Мори V и оператора Лиувилля L, действующих в гильбертовом пространстве динамических переменных. Чтобы определить эти матричные элементы, мы воспользуемся соотношением (Л, В ) = —(Л, Б ), где А = iLA и формулой (5.3.8) для проекционного оператора Мори, из которых следует, что [c.410]

Прежде всего заметим, что невозмущенный оператор Лиувилля удовлетворяет соотношению (см. задачу 7.9) [c.108]

Формулы (8.2.58) и (8.2.61) дают окончательные выражения для преобразованных микроскопических потоков, которые нужны для вычисления корреляционных функций (8.2.54). Остается выяснить, что собой представляет оператор U LU. Так как действие самого оператора Лиувилля L на произвольную динамическую переменную А сводится к вычислению скобки Пуассона этой переменной с гамильтонианом (8.2.1), то следует просто найти явный вид функции U LUА с учетом соотношений (8.2.47) и (8.2.48). Соответствующие выкладки, которые приводятся в приложении 8Б, показывают, что [c.172]

Покажем теперь, что теорема Лиувилля (сохранение объема в фазовом пространстве) остается справедливой для мгновенных взаимодействий, рассматриваемых в этом разделе. Заметим, что соотношения (4.1) и (4.3) являются обратимыми, т. е. их можно разрешить относительно отмеченных штрихами переменных и получить [c.25]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда Т = оо отображается на точку, в которой W конечно. Тогда на основании теоремы 1, если просуммировать все локальные особенности, можно установить, что разность /1(7 ) между правой и левой частями соотношения (3.4) (при с = с1 = 0) должна быть аналитической и однозначной функцией, действительной на действительной оси и не имеющей особенностей в (замкнутой) верхней полуплоскости. Согласно принципу отражения Шварца, функция /1(7 ) может быть аналитически продолжена до функции, регулярной на всей конечной плоскости Т. Кроме того, поскольку № (оо) конечно, то функция /1(7 ) ограничена. Следовательно, по теореме Лиувилля [6, т. 1, стр. 153], ЦТ) постоянна. Поскольку комплексный потенциал W определяется с точностью до аддитивной постоянной, утверждение (3.4) теоремы для случая с = й = О доказано. Если же W имеет особенность при Т = оо, мы можем отобразить верхнюю полуплоскость Т саму на себя путем инверсии, использовать только что полученный результат для конечного значения № (оо) и затем вернуться к первоначальной плоскости Т. Это и дает дополнительные члены сТ - йТ в результате инверсии конечной особенности (3.2). Наконец, дифференцируя (3.4), получим действительную рациональную функцию с общим знаменателем Д (Г—Т ) (некоторые множители могут повторяться). Разлагая действительный многочлен в числителе на линейные множители, приходим к (3.5). [c.61]

В 47 было выяснено, как преобразуется функция, заданная в некоторой области пространства, однопараметрической группой преобразований. Результат был представлен в двух формах уравнение Лиувилля и ряд Ли. В обеих формах приведенные соотношения связывали выражение рассматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в новых координатах и оператор группы преобразований старых координат в новые. [c.227]

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать квантовое уравнение Лиувилля. С учётом соотношений (Г.9) и (Г.13) уравнение движения (Г.1) для функции Вигнера принимает вид [c.685]

Доказательство. Утверждения 1) и 2) вытекают из соотношения = д А. Утверждение 3) вытекает из того, что сумма решений линейной системы есть снова решение. Утверждение (4) вытекает из теоремы Лиувилля. [c.104]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Эти соотношения можно проверить и непосредственно, используя явный вид операторов Лиувилля, или лиувилианов. Каждый из членов Ц, lJ или Цп содержит производную от F либо по q, либо по р. Мы всегда предполагаем, что функция F вместе с необходимым числом производных обращается в нуль на границах системы в конфигурационном пространстве, а также при = [c.96]

Все результаты, выведенные в разд. 3.4 иэ зфавнения (3.4.7), можно без изменения перенести и в квантовую механику. Подчеркнем только тот факт, что полную динамику системы можно сформулировать при помощи квантового вектора распределения f, введенного соотношением (3.6.21). Этот вектор подчиняется обобщенному квантовому уравнению Лиувилля, идентичному по своей структуре згравнению (3.4.12) [c.118]

Покажем, что для систем, обладающих симметрией при обращении времени, уравнение Лиувилля инвариантно относительно этой операции, т. е. каждому решению уравнения Лиувилля g q,p,t) соответствует другое решение QtriQ P t), которое описывает эволюцию ансамбля, обращенную во времени. Для доказательства заменим переменные в (1.1.18) с помощью соотношений t = 2tr — t Я = Р = Р- Учитывая также свойство (1.1.35) гамильтониана и определение (1.1.38) обращенной во времени функции распределения, получим [c.21]

Соотношение взаимности в виде (3.9) впервые появилось в работе Кущера [3]. Выводы (3.9) различной степени строгости были даны в последующих работах [4—6J. Приведенный здесь вывод по существу взят из статьи автора [6]. Следует отметить, что Кущер [5] доказал соотношение (3.9) в случае квантовомеханических систем и обобщил его на молекулы с внутренними степенями свободы. Соотношения, аналогичные (3.9), появлялись ранее в ряде статей по неравновесным процессам, где взаимодействие газа с поверхностью описывалось посредством импульсных членов, содержащихся в уравнении Лиувилля [7—9]. [c.133]

А. Ю. Ишлинский (1946) рассмотрел вопрос о разрушении вязко-упругих материалов. Существенное обобщение дифференциальных законов вязкоупругости принадежит А. Н. Герасимову (1948), который предложил использовать для описания вязко-упругих свойств вместо обычных производных производные дробного порядка в смысле Лиувилля. Обращение подобных соотношений приводит к интегральным уравнениям со слабо-сингулярным ядром Абеля. Эта идея сыграла большую роль в дальнейшем развитии теории. [c.149]

Ортогональность функций исследовалась Штурмом и Лиувиллем. В общем случае в соотношение (2-4-73) для нормы N в подынтегральное выражение будет входить вес функции г (х,). [c.120]

Задача о взаимодействии единичного прямолинейного штампа и уп-ругой полуплоскости другим методом исследовалась в работе Л. М. Флитмана [106]. Подвергая заданные и искомые функции двойному преобразованию Лапласа, автор выводит для полубесконечного штампа конечное соотношение между изображениями искомого контактного напряжения н нормальных к границе перемещений точек среды, вытекающее нз граничных условий. Полученная зависимость представ--ляется в виде суммы двух аналитических исчезающих на. бесконечности функций, одна йз которых регулярна в верхней полуплоскости, а другая— в нижней. По теореме Лиувилля обе функции равны нулю. Это. дает возможность найти упомянутые изображения в явном виде. С помощью обратного преобразования искомые функции находятся в замкнутом виде. [c.317]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...