Линейное симплектическое отображение

Для симплектических отображений устойчивость негиперболических трансверсальных точек может наблюдаться при любой размерности. Согласно упражнению 5.5.3 множество собственных значений линейного симплектического отображения в может содержать любое количество m п пар комплексно сопряженных собственных значений, модуль которых равен единице. Из предположения, что все эти собственные значения тосты, немедленно следует, что наличие тп различных пар комплексных собственных значений, модуль которых равен единице, является свойством, сохраняющимся при малых возмущениях линейного симплектического отображения, и, следовательно, то же верно для собственных значений дифференциала малого С -возмущения симплектического отображения в трансверсальной неподвижной точке. Если т = п, такая точка называется эллиптической. [c.302]

Приложение 27 Линейные симплектические отображения плоскости [c.213]

Пусть А — линейное симплектическое отображение плоскости (р, д). Отображение А сохраняет площадь dp Л dq, следовательно, det Л = 1. Поэтому произведение собственных значений Ai, Л2 отображения А равно 1. Но Al и Л2 — два корня характеристического уравнения det(A—AF) = О с действительными коэффициентами. Следовательно, Al и А2 либо оба действительные, либо комплексно сопряженные Al = А2. В первом случае один из корней по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1 [c.213]

Линейные симплектические отображения плоскости [c.215]

Пусть А — линейное симплектическое отображение канонического пространства Отображение А называется устойчивым, если последовательность А ограничена. Отображение А называется параметрически устойчивым, если все симплектические отображения, близкие к А, устойчивы. [c.219]

Лемма Пуанкаре Ляпунова 219 Линейное симплектическое отображение 219 [c.279]

Положительное собственное значение линейного симплектического отображения 222 Преобразование пекаря 17, 20, 40, 124 [c.279]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая п = 1. Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и пусть х,у — симплектический базис для д. Собственные направления д — две прямые а = О и у = 0. Выше было показано, что любой однородный интеграл д имеет вид с хуУ з е М). Пусть д —другое отображение из группы С. Функция хуУ инвариантна относительно действия д, поэтому множество ху = О остается неподвижным при отображении д. Так как д — невырожденное линейное отображение, то точка х = у = О неподвижна, и отображение д либо сохраняет собственные направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д, очевидно, коммутирует с 5, а во втором случае имеет вид х —у ау, у — х. Отображение д — симплектическое, поэтому его матрица Т = р удовлетворяет условию Т У JT = J, откуда а = [c.365]

В. Симплектическая группа. С евклидовой структурой связана ортогональная группа линейных отображений, сохраняющих евклидову структуру. В симплектическом пространстве аналогичную роль играет симплектическая группа. [c.193]

Приращение этой функции вдоль какой-либо дуги равно интегралу формы, задающей симплектическую структуру по полоске, образованной прямолинейными отрезками, соединяющими каждую точку с ее образом. Поэтому такая функция Ф связана с отображением инвариантно относительно линейных канонических замен координат. [c.392]

Определение 5.5.1. Пусть Е — линейное пространство. 2-тензор а Е X Е Ш называется невырожденным, если а v>-+ а(v, ) — изоморфизм Е на двойственное пространство Е. Этот тензор называется антисимметричным, если a v, w) = —a w, v). Невырожденная антисимметричная 2-форма называется симплектической формой. Линейное пространство с фиксированной симплектической формой называется симплектическим векторным пространством. Если (Е, а) и (F, ) — симплектические векторные пространства, то линейное отображение Т Е F называется симплектическим, если Т /3 = а [c.226]

Докажите, что существует такое симплектическое линейное отображение Т (R ", ш)->, ы), где ы — стандартная симплектическая форма, что Л — множество собственных значений Т (с кратностями). [c.236]

Орициклический поток 51, 54 Отрицательное собственное значение линейного симплектического отображения 222 [c.279]

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. Линейное отображение z- =Sz называется каноническим (симплектическим), если оно сохраняет кососкалярное произведение, т. е. [c.236]

Итак, по симплектическому действию труппы Ли С с однозначными на М гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы С в алгебру Ли функций Гамильтона на М. При этом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функцияь], равная скобке Пуассона На, Н ) или же отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную [c.338]

Б. Нормальная форма канонвческого преобразования вблизи неподвижной точки. Рассмотрим каноническое (т. е. просто сохраняющее площади) отображение двумерной плоскости на себя. Предположим, что это преобразование оставляет на месте начало координат, а его линейная часть имеет собственные числа Я = = (т. е. является поворотом на угол а в подходящем симплектическом базисе с координатами р, д). Такое преобразование будем называть эллиптическим. [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...