Инвариантное точечное множество

Инвариантное точечное множество 234 [c.374]

Эти определения можно также сформулировать иначе. Точечное множество 9Л С ШЗ называется при отображении 3 инвариантным, ес- [c.234]

В заключение укажем пример точечного отображения кольца в кольцо, изображенного ла рис. 6.21, с нетривиальным инвариантным множеством Л На этом же рис. 6.21 изображен граф допустимых последовательностей отображений. Отображение Т, изображенное па рис. 6.21, преобразует область С, в область 1. [c.146]

Следовательно, отображение 5, не являющееся неустойчивым, обладает тем свойством, что каждая окрестность содержит инвариантное точечное множество, содержащее не только точку а, в то время как для устойчивости отображения 8 каждая окрестность должна содержать даже некоторую инвариантную окрестность. Поэтому каждое устойчивое отображение необходимо является не неустойчивым, но не являющееся устойчивым отображение может и не быть неустойчивым. Отображение 5 называется смегпанным в неподвижной точке а, если оно там не будет ни устойчивым, ни неустойчивым. То, что смегпан-ные отображения действительно существуют, показывает простой пример аффинного отображения х = х + у, у = у в плоскости (ж, у), которое каждую точку оси абсцисс имеет своей неподвижной точкой. Ограниченное множество при таком отображении тогда и только тогда [c.235]

Множество всех зеркально-поворотных преобразований а пространственной группы также образует группу, точечную группу кристалла. Она не обязательно является подгруппой пространственной группы, так как в пространственной группе а могут проявляться только связанными с непримитивными трансляциями. Несмотря на это, точечная группа имеет решающее значение операции точечной группы сохраняют инвариантность точечной решетки (и, следовательно, вигнер-зейтцевской ячейки). Это значит, что, наряду с/ , и все а/ —тоже примитивные трансляции. Это сразу же вытекает из первой аксиомы, по которой произведение элементов группы также должно быть элементом группы, т. е. и [c.75]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

Поток Т и) с инвариантной гиббсовской мерой наз. ДС статистич. механики. Её эргодич. свойства известны лишь для самых простых взаимодействий. Так, если U=0 (случай идеального газа неразличимых частиц), то Гу является Б-системой. Более содержательна др. бесконечномерная модель — газ Лоренца Н. Lorentz), отличающаяся от модели идеального газа тем, что точечные частицы движутся не во всём пространстве Я , а вне области, занимаемой бесконечным множеством ( -мерных шаров (рассеивателей), отражаясь от границы каждого шара по закону угол падения равен углу отражения . Упрощённый вариант этой модели, где имеется лишь одна движущаяся [c.635]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Все рассмотренные выше ситуации допускают непосредственные многомерные обобщения. Их рассмотрение мало чем отличается от приведенного, но, конечно, теряет в наглядности. Отметим, что принимаемые при этих рассмотрениях упрощенные записи некоторых отображений пе снижают их общности, поскольку основываются на свойствах вспомогательных отображений, не нарушаемых пренебрегаемыми нелинейными членами. Вместе с тем, следует иметь в виду, что существуют ситуации, приводящие к сложным седловым инвариантным множествам, которые могут быть реализованы только при размерности точечного отображения, большей двух. Одна из таких сутуаций была описана в гл. 2. Заметим, что если не требовать взаимной однозначности преобразования, то она реализуема даже при размерности единица. При исследовании этой ситуации также мончет быть применен переход от негатива к позитиву. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...