Аналитичность S-матрицы

Рассмотрим зависимость мультипликаторов системы (3) (а следовательно, и ее характеристических показателей) от малого параметра е. Так как правые части системы (3) аналитичны по , то и фундаментальная матрица решений X t, е) также аналитична по е. Отсюда следует, что коэффициенты характеристического уравнения (14) — аналитические функции е. Но мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. Они будут обязательно аналитическими, если характеристическое уравнение при = О имеет только простые корни. Если же при = О уравнение (14) имеет кратные корни, то аналитичность его корней относительно е при е О может не иметь места. Отметим, однако, что независимо от наличия при = О кратных корней корни уравнения (14) при 7 О, во всяком случае, непрерывны по е [c.551]

Поскольку матрицы L- (g, X) и XL 4l,X) как функции комплексной переменной X однозначны и аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением только простых полюсов (2.9), то в силу теоремы о вычетах [c.100]

Предположим теперь, что функции (3.1) и (3.2) независимы. Пусть J L, I, G, g, fj,) — ненулевой минор второго порядка матрицы Якоби функций Ж и Функция J аналитична в области [c.65]

Заметим, что матрица М должна быть положительно определенной, поскольку квадратичная форма 2, данная равенством (17.33) или (17.39), есть среднее число фотонов, подсчитанных в некотором когерентном поле. Таким образом, собственные значения aSi положительны, и сингулярности производящей функции лежат на отрицательной части действительной оси переменной Я. Поскольку функция Q аналитична в полуплоскости Re Я > О, мы видим, что если разложить функцию Q в степенные ряды около точки Я = О или Я = 1, то эти разложения в ряды в других точках можно вычислить в принципе методом аналитического продолжения. Это соображение показывает, что использованная нами процедура вычисления производящей функции посредством ее разложения в точке Я = О действительно ведет к единственному результату для распределения вероятности. [c.185]

Аналитичность Ч-матрицы (дисперсионные соотношения) [c.270]

Нерегулярные решения радиального уравнения Шредингера (к, г) можно определить точно так же, как и в несингулярном случае, ибо для интегрального уравнения (12.138) не существенно поведение f" при малых г. Фактически мы должны решить уравнение (12.138) только в области Гд. После того, как решения ф, (А, г) и (к, г) найдены, функции Иоста (к) и f (к) определяются, как и раньше, с помощью вронскиана (12.28) от ф, и /г . Вронскиан можно взять в точке Го- Конечно, интегральные представления (12.143) и (12.144) теперь не имеют места, так как интегральные уравнения для Фг и fi существенно отличаются друг от друга S-матрица выражается через функции Поста так же, как прежде. Из изложенного ясно, что все предыдущие утверждения, касающиеся аналитичности функции Иоста и S-матрицы в любой конечной области А-плоскости (или -поверхности), справедливы и в сингулярном случае. Изменяется только поведение функции Иоста при больших к, и становится невозможно разложить ее в ряд по степеням константы взаимодействия. Изменение поведения функции Иоста при больших к имеет место вследствие того, что теперь ф, (к, г) не стремится к своему невозмущенному значению при к оо. Уравнение (12.214) показывает, что поведение ф (к, г) при высоких энергиях зависит от вида потенциала и его трудно изучать. Фазовый сдвиг с ростом энергии не стремится к величине, кратной л ). [c.367]

В связи со сказанным может возникнуть вопрос можно ли, зная фазовый сдвиг для какой-либо конечной области энергий, сказать, каким будет асимптотическое убывание потенциала — экспоненциальным или менее быстрым Ответ на этот вопрос, очевидно, должен быть отрицательным. Поскольку необходимым условием экспоненциального убывания сил является аналитичность S-матрицы в полосе конечной ширины, расположенной вдоль действительной оси k, то знания б, на любом конечном участке этой полосы недостаточно для утверждения об экспоненциальном убывании потенциала. Небольшого отклонения в фазовом сдвиге при высоких энергиях достаточно, чтобы радикальным образом изменить асимптотическое поведение потенциала ). [c.566]

Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе, рассмотрим зависимость мультипликаторов (и характеристических показателей) от параметра е. Так как функция Гамильтона (6.1) предполагается аналитической относительно 8, то правые части системы (1.1) также аналитичны. Тогда, как известно, любое решение X ( г) системы (1.1), для которого начальное значение не зависит от 8, будет аналитическим относительно е. В частности, аналитическими будут элементы x j ( 8) фундаментальной матрицы решений X (Р, г). Отсюда получаем следующую теорему А. М. Ляпунова если правые части системы (1.1) аналитичны относительно 8, то коэффициенты характеристического уравнения (4.3) будут аналитическими функциями г, причем область их аналитичности совпадает с областью аналитичности правых частей системы (1.1). [c.43]

Будем предполагать и использовать определенные свойства аналитично сти и периодичности статистической суммы на один узел к и собственных значений угловых трансфер-матриц. Указанные свойства легче выразить и понять, если проделать преобразование сопряженного модуля от переменных и и к новым переменным х и . (Переменную не следует смешивать с больцмановской весовой функцией у (а, Ь, с, с1).) [c.417]

Приведенное свойство аналитичности аналогично свойству (13.7.3) восьмивершинной модели. Здесь не доказывается это свойство, но оно, по-видимому, справедливо соответствующие аргументы можно вывести из уравнений (13.8.31) для угловых трансфер-матриц. В области I данное свойство приводит к результатам, которые согласуются с выражениями [c.422]

Матрица М периодична по ц> и аналитична в области [c.169]

Изложим новый метод решения телеграфных уравнений с произвольной функцией p(z), приводящий к формулам для элементов матрицы [а] в виде сходящихся рядов по степеням частоты. Характерной особенностью метода является возможность установить связь между указанными выше двумя подходами. Основу метода составляет отмеченное еще Коши, а затем доказанное в [184] свойство дифференциальные уравнения вместе с начальными условиями при их аналитичности определяют искомые функции и все их производные вдоль кривой начальных значений. Применим это свойство к решению телеграфных уравнений. Запишем (3.2) в форме [c.99]

Точка Zo является регулярной ОТ системы (3), если A(z = (s — Zn) Д (z), где матрица-функция И (z) ана-литична в точке zo, В (Zo) 0. Если все ра.эности р/ — р, i Ф к, где р/—собств. значения матрицы B (z ), не являются целыми числами, то система (3) имеет фундам. матрицу вида W (г) = Ф(г)(г — za) , где Р—диагональная. матрица с элемептами pi, р ,. .., р , матрица-функция Ф (г) аналитична в точке 2<, и певырождвпа. Если среди этих разностей есть целые числа, то фундам. матрица содержит целые степени In (z — z ). Пеиз-вестны необходимые и достаточные условия того, что [c.77]

Из общих принципов квантовой теории (микропричин-ности условия, релятивистской инвариантности и др.) следует, что элементы 5-матрицы являются аналитическими ф//нк1 иями в нек-рых областях комплексных переменных. Аналитичность 5-матряцы позволяет получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами — дисперсионные со от в о-ш е в II я (см. Д исперсионных соотношений метод), Померанчука теорему и др, [c.271]

Задача рассеяния в дисперсионном методе. В дисперсионном методе рассматривается только физическая матрица рассеяния с д х) = onst, которая подчиняется аксиомам п. 2. При этом аксиома причинности заменяется требованием аналитичности амплитуды рассеяния на физическом листе. Комбинация этого требования и условия унитарности (п. 4) приводит к уравнению типа Лоу для амплитуды рассеяния (в случае размазанного взаимодействия следует ввести фактор и к) ния и в подынтегральное выражение) [c.41]

Пусть = X — Е. Тогда собственными числами матрицы будут величины е — 1, где а — характеристические показатели. Обозначим через С а, /х) определитель — 8Е, где 5 = е — 1. Очевидно, что С аналитична по а и /х. Положим а = ЕуД1. Разделим первые две строки и последние два [c.89]

Доказательство этого факта основано на применении абстрактной теоремы о неявной функции. Тем не менее, если векторное поле 1у х) аналитично, и если —1 — единственное собственное значение матрицы Ковалевской вида —ак, к = 1,2,..., указанные ряды сходятся на бесконечном полуинтервале [Т,+ос), и, более того, мы можем построить бесконечно-листную риманову поверхность, на куске которой соответствующее региение (1) голоморфно [6]. Более точно, необходимое региение может быть получено в виде ряда [c.95]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Аналитичность. Из спектральной теории операторов известно, что = Е — Я) 1 является аналитической операторной функцией Е, регулярной всюду в плоскости с правым разрезом, за исключением точек, соответствующих связанным состояниям. Спрашивается, почему же тогда S не регулярна с необходимостью там, где регулярна I/ Это различное поведение и 5 на физическом листе обусловливается тем, что матричные элементы 5 вычисляются для зависящих от энергии волновых функций, которые при комплексных значениях энергии не дгогут быть нормируемыми. Именно это обстоятельство ответственно за возможное отсутствие регулярности функции S там, где функция. V i регулярна, а равно и за возможное появление кратных полюсов у S в точках, в которых функция должна иметь только простые полюсы. Более того, поскольку соответствующий матричный элемент от вычета функции У может обращаться в нуль, то функция S к) необязательно должна иметь полюсы в точках полюсов для Поэтому исследование д как операторной функции Е намного проще исследования S-матрицы. В случае можно привлечь общий и хорошо разработанный операторный формализм S-матрицу же удобнее исследовать методами, которые используются в настоящей главе. [c.328]

Заметим, что 0(0 определяется условиями (83) не единственным образом, поскольку положение оси х в плоскости может быть выбрано отоиз-вольно. Например, можно нормализовать матрицу вращения, потребовав, чтобы ГГЦ находилось при любом I на оси х. Тогда 0(0 будет аналитической функцией I (в силу аналитичности каждого решения (3) дифференциальных уравнений (11) с аналитическими правыми частями). [c.299]

Из (14.2.43) следует, что увеличение и на /е (или /е/2 в областях II и III) не изменяет w. Тогда, как вид1 о из (14.2.44), не изменяются больцмановские веса и, следовательно, диагональные матрицы С , D . Данные матрицы, по-видимому, аналитичны в вертикальной полосе, содержащей точки W = О и W = Wq поэтому выражения (14.4.9) и (14.4.14) справедливы в указанной полосе. Следовательно, данные выражения должны быть периодичными с периодом /е (или /е/2), откуда следует [c.428]

Как обычно, из соотношения звезда — треугольник следует, что при всех комплексных значениях и и v матрицы У(и) и V(v) коммутируют. Следовательно, можно выбрать представление, в котором матрица У(и) диагональна при всех и. Тогда равенство (14.8.1) представляет собой функциональное соотношение для каждого собственного значения. Данное соотношение с учетом свойств аналитичности и квазипериодичности У(и) позволяет в принципе вычислить любое собственное значение при конечном N. Следовательно, можно определить свободную энергию, поверхностное натяжение и корреляционную длину. Результаты, конечно, согласуются с (14.3.26). Кроме того, для критических показателей /х, Ру v модели жесткого гексагона получено значение [c.449]

Резюме. Как недавно заметили Коулман и Нортон, феноменологическое понятие многократного рассеяния для процессов с произвольным числом частиц позволяет дать очень простую интерпретацию особенностей Ландау S-матрицы в физической области. Здесь эта физическая интерпретация углубляется с помощью одной геометрической идеи особенности Ландау являются видимыми контурами. Используя методы дифференциальной топологии, созданные Томом и развитые в приложениях I—IV, мы показываем, что эти видимые контуры имеют в физической области значительно более простое ст-роение, чем могло бы показаться. Это обстоятельство позволяет точно сформулировать обычные гипотезы об аналитичности S-матрицы (смещение с физической области, правила Куткоски и т. д.) и установить простую связь между этими гипотезами и понятием многократного рассеяния таким образом правила Куткоски ведут прямым путем к свойству факторизации S-матрицы для событий, разделенных большими промежутками времени. [c.5]

Трудности, на которые натолкнулась квантовая теория поля, привели Гейзенберга [11] в 1943 г. к введению понятия 5-матрицы, которую он считал фундаментальной наблюдаемой в физике Гейзенберг полагал, что это единственное понятие, которое сохранится в будущей теории . С тех пор были достигнуты большие успехи в изучении общих свойств 5-матрицы, в особенности ее аналитических свойств, и это позволило связать между собой различные экспериментальные результаты и глубже понять динамику сильных взаимодействий. В общем изучении этих аналитических свойств можно различить два стиля исследования. Первый состоит в том, что, отправляясь от аксиом теории поля (которые в настоящее время четко сформулированы, см. [17], [36]), строго доказывают аналитичность 5-матрицы в той или иной области (комплексного пространства энергий-импульсов). Хотя этот путь длинен и труден, он уже привел к некоторым предсказаниям, которые допускают экспериментальную проверку. Второй, эвристический, путь — это путь, по которому мы пойдем он состоит в том, чтобы попытаться, наоборот, предугадать, в каких областях 5-матрица будет обя- зательно иметь особенности. Решающий шаг в этом направлении был сделан Ландау [18], который основывался на теории возмущений. Исследования, проделанные после него, расширили наши представления, подтвердив существование особенностей Ландау на более глубоком уровне, чем теория возмущений, но в том, что касается грубых результатов, мы не получили никакого уточнения например, мы по-прежнему [c.6]

Приступим теперь к изложению существа проблемы вопросов аналитичности 5-матрицы. Речь идет об изучении математической согласованности системы гипотез А, В, С, сформулированных во введении, с тем чтобы как можно дальше продвинуться по пути до Казательства этих гипотез. Некоторые осложнения физический смысл которых был разъяснен во введе НИИ (конец 3), возникают из-за существования гра фон с кратными линиями. Изучением этих осложне ний мы займемся в следующей главе в настоящей главе мы будем рассматривать только графы с простыми линиями. [c.69]

А(ц) = II II — матрица Якоби W(n, м) — нелинейная вектор-функция, д — бифуркационный параметр. Будем считать, чтоЛ (д) и W(n, и) аналитичны по д. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...