Трансфер-матрица угловая

Учитывая всю трудность вычисления, это изумительно простой результат. Интересно, что какой-либо простой способ его получения так и не найден. Вывод, использующий угловые трансфер-матрицы и применимый к более общей восьмивершинной модели, дан в разд. 13.7. [c.123]

УГЛОВЫЕ ТРАНСФЕР-МАТРИЦЫ [c.363]

Угловые трансфер-матрицы могут быть определены для любой плоской решеточной модели с короткодействующими взаимодействиями. Для определенности рассмотрим квадратную решеточную модель, в которой взаимодействуют спины , расположенные в узлах каждой грани решетки. Для краткости я буду называть ее ВСГ-модель. Она определяется следующим образом. [c.363]

Очевидно, что в (13.1.11) умножение на А соответствует введению нижнего правого квадранта, или угла решетки. Поэтому назовем А угловой трансфер-матрицей нижнего правого угла. Аналогично В, С, П являются угловыми трансфер-матрицами верхнего правого, верхнего левого и нижнего левого углов соответственно. [c.367]

Многие формулы, включающие угловые трансфер-матрицы, не зависят от нормировки матриц Л, В, С, П. Очевидным примером является [c.367]

Угловая трансфер-матрица А может быть записана в виде произведения операторов граней, каждый из которых отвечает одной из У2ш т + 1) граней, показанных на рис. 13.1,6. Чтобы учесть грани, лежащие вблизи границы, определим С как оператор заданный выражением (13.2.1), в котором спин 1 имеет фиксированное значение 5, т.е. [c.369]

По-видимому, справедливо более общее утверждение. При достаточно низких температурах для любой ВСГ-модели каждая угловая трансфер-матрица имеет дискретный спектр собственных значений при т - оо. Это означает, что для любого е > О имеется только конечное число собственных значений, больших, чем е. [c.376]

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ УГЛОВЫХ ТРАНСФЕР-МАТРИЦ [c.377]

Конфигурация спинов в основном состоянии упорядоченной ферромагнитной фазы может быть выбрана так, что все спины имеют значение 4-1. Поскольку функция Ь, с, б/) симметрична по отношению к перестановкам д с с и 7 с б/, угловые трансфер-матрицы Л, Ву С, О симметричны и С = Л, О = В. Такой случай рассмотрен выше (см. (13.5.4) — (13.5.15)). Из выражений (13.5.10) и (13.5.5) следует [c.387]

Предположим для простоты, что основное состояние является трансляционно-инвариантным, так что 5, из, , и, . . . , равны между собой. (Данное предположение не является существенным, но для систем с нарушенной трансляционной инвариантностью необходимо следить за граничными условиями, соответствующими разным угловым трансфер-матрицам, 414) усложняет обозначения.) Исключая 2 из уравнений [c.389]

Матрицы Л и Л являются угловыми трансфер-матрицами для системы, в которой спины сдвинуты и т уменьшено. При этом справедливы соотношения [c.390]

Существует по крайней мере две причины, по которым для нас представляет интерес вычисление диагональных матриц Аф Вф СфО . Во-первых, для моделей, которые могут быть решены точно, диагональные матрицы имеют весьма простую структуру, например (13.7.20). Во-вторых, для других моделей были проведены лишь приближенные вычисления, при которых необходимо переходить от бесконечномерных угловых трансфер-матриц к матрицам, имеющим подходящую конечную размерность. Как будет показано ниже, такой переход лучше всего выполнить, работая с диагональными матрицами. [c.390]

Вместо того чтобы вычислять исходные угловые трансфер-матрицы А, [c.390]

Все матрицы, входящие в выражения (13.8.7) — (13.8.10), имеют размерность 2 X 2 . Мы использовали тот факт, что матрица Р имеет блок-диагональную форму (13.1.13) поэтому Р и С/2 коммутируют. Введенные в (13.8.7) индексы ли/ означают отношение и полностью вычисленная угловая трансфер-матрица соответственно. [c.391]

Они имеют в точности форму уравнений (13.1.16). Поскольку матрицы с1> ( > являются диагональными угловыми трансфер-матрицами для квадранта т х т, из (13.8.11) следует, что матрицы С , осу- [c.392]

На протяжении всего раздела предполагается, что основное состояние системы трансляционно-инвариантно. Если же трансляционная инвариантность основного состояния нарушена, то необходимо ввести несколько угловых трансфер-матриц Л и а, по одной для каждого значения углового спина, отличающегося от значения в конфигурации спинов, отвечающей основному состоянию бесконечной решетки. То же относится к матрицам Д [c.400]

Собственные значения а , Угловой трансфер-матрицы для [c.405]

Жирные линии разделяют каждую решетку на четыре квадранта, соответствующие (рис. 13.2) угловым трансфер-матрицам А, В, С, D (форма внешней границы изменилась, но в термодинамическом пределе это не существенно). Величины aj, 2 (14.4.16) равны показанным на данных рисунках значениям спинов (7j, (72 3 поэтому оба эти рисунка соответствуют к = 1 ъ формуле [c.416]

Будем предполагать и использовать определенные свойства аналитично сти и периодичности статистической суммы на один узел к и собственных значений угловых трансфер-матриц. Указанные свойства легче выразить и понять, если проделать преобразование сопряженного модуля от переменных и и к новым переменным х и . (Переменную не следует смешивать с больцмановской весовой функцией у (а, Ь, с, с1).) [c.417]

Приведенное свойство аналитичности аналогично свойству (13.7.3) восьмивершинной модели. Здесь не доказывается это свойство, но оно, по-видимому, справедливо соответствующие аргументы можно вывести из уравнений (13.8.31) для угловых трансфер-матриц. В области I данное свойство приводит к результатам, которые согласуются с выражениями [c.422]

Диагональная форма угловых трансфер-матриц [c.424]

Оператор V- определяется выражением (13.2.1), в котором больцмановская весовая функция Ь, с, d) заменена на с, d, а). Последнее эквивалентно перестановкам со2 с с з и со4 с oj. Тогда угловые трансфер-матрицы В и D задаются выражениями (13.2.4) и (13.2.5), в которых каждый оператор Ц заменен на К- и использованы подходящие граничные спины 5, /,. .., у. [c.426]

Угловые трансфер-матрицы Л, В, С, D удовлетворяют различным соотношениям симметрии. В настоящем разделе мы не использовали такие соотношения, но полезно иметь о них представление. [c.430]

В заглавии книги слова точно решаемые выбраны с известной осторожностью. Они не обязательно означают строго решаемые . Например, при выводе формулы (13.7.21) производится перемножение и диагонализация бесконечномерных угловых трансфер-матриц. Следовало бы показать, что матричные произведения сходятся. Я не сделал этого, но полагаю, что они действительно сходятся (по крайней мере настолько, чтоб1 1 обеспечить проведение вычислений) и, следовательно, формула (13.7.21) совершенно правильна. [c.8]

Тем не менее с математической точки зрения рассмотрение обобщений восьмивершинной модели на неоднородные системы может оказаться полезным. При вычислении спонтанной поляризации в шестивершинной модели антисегнетоэлектрика [29] широко использовалась такая форма зависимости собственных векторов трансфер-матрицы от величин. . . , Замечания, сделанные после формулы (10.17.2), играют ключевую роль в гл. 13 при установлении мультипликативных свойств угловых трансфер-матриц. [c.278]

Другим полезным понятием является угловая трансфер-матрица (УТМ), которая соответствует добавлению к решетке одного квадранта. В настоящем разделе я введу определения для четырех таких матриц (по одной на каждый угол), которые обозначу Л, В, С, ). Будут определены также соответствующие нормированные матрицы В , С , и нормированные и диагонализованные матрицы Вф С , Здесь п и с не являются индексами, а просто означают нормированная и диагональная матрица соответственно. [c.363]

Исторически превосходным примером использования угловых трансфер-матриц является модель жесткого гексагона. Она представляет собой двумерную решеточную модель жестких (т. е. неперекрывающихся) молекул. В данной модели частицы располагаются на узлах треугольной решетки, так что никакие две из них не могут одновременно находиться ни на одном и том же узле, ни на соседних узлах. Типичное допустимое расположение частиц показано на рис. 14.1. Если мы представим себе, что каждая частица находится в центре гексагона, покрывающего шесть соседних граней треугольной решетки (такие гексагоны на рис. 14.1 заштрихованы), то приведенное выше правило допускает только неперекрывающиеся гексагоны отсюда и название модели. [c.401]

Очевидно, что предположение Меткафа и Янга ошибочно, но обнаружились некоторые замечательные свойства. В табл. 14.1 даны собственные значения a сокращенных угловых трансфер-матриц Л, нормированных так, чтобы наибольшее собственное значение было равно единице. [c.404]

На следующей стадии необходимо было найти способ доказательства такого угаданного точного ответа. Такие вычисления с использованием угловых трансфер-матриц даны в разд. 14.2 — 14.7. Они не строги в математическом смысле, поскольку предполагаются определенные аналитические свойства функции к и используются результаты гл. 13 (которые зави-.сят от предположения о возможности перестановки различных предельных переходов к бесконечно большой рещетке). Но я верю, что такие предположения и, следовательно, выражения (14.1.18) — (14.1.24) действительно справедливы. [c.407]

Заметим, что (14.2.9) удовлетворяется при всех г в пределе L — О и М— -00, который соответствует модели жестких гексагонов. Данное условие не удовлетворяется при L, Л/ — О, что соответствует модели жестких квадратов. Действительно, численные решения Бэкстера и др. [47] модели жестких квадратов показали, что собственные значения угловой трансфер-матрицы данной модели не обладают никакими простыми свойствами типа (14.1.14). [c.410]

С помощью изложенных в разд. 13.5 методов, использующих угловые трансфер-матрицы, мы можем найти подрешеточные плотности, определенные выражением (14.1.4), и вычислить параметр порядка R по формуле [c.424]

Рассмотрим конфигурацию частиц, показанную на рис. 14.5, а. Это одно из трех возможных основных состояний системы в области II (два других получаются с помощью двух последовательных сдвигов всех частиц на один узел вправо). Угловая трансфер-матрица В, отвечающая правому вфхнему квадрату, в основном состоянии (х = 0) отображает спиновое состояние [c.426]

В настоящей главе для вычисления свободной энергии использован прием, связанный со свойствами обратимости, а подрешеточные плотности и, параметр порядка определены с помощью диагонализации угловых трансфер-матриц. В отличие от восьмивершинной модели, рассмотренной в гл. 10, мы не получили точных уравнений для всех собственных значений трансфер-матрицы ряд — ряд. В результате нам не удалось вычислить поверхностное натяжение и корреляционную длину. [c.449]

По-видимому, метод коммутирующих трансфер-матриц нельзя использовать для решения модели Изинга и других моделей в присутствии внешнего поля или даже для решения некритической модели Поттса. Мне кажется, что единственная надежда решить восьмивершинную модель и модель Поттса состоит в том, чтобы найти подходящие алгебраические методы подобные тем, которые привели Онсагера [184] и Кауфман [143] к решению модели Изинга без внешнего поля. (Вера в существование таких методов основана на том, что диагонализованные угловые трансфер-матрицы бесконечной решетки имеют простой вид прямого произведения [c.451]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...