Примеры диффузии Арнольда

Слияние стохастических траекторий в единую сеть было доказано [12] для специальной нелинейной системы. В общем случае такого доказательства до сих пор нет, но известно несколько численных примеров диффузии Арнольда. С практической точки зрения возникают два основных вопроса 1) какова относительная мера стохастической компоненты в интересующей нас области фазового пространства и 2) какова скорость диффузии Арнольда для тех или иных начальных условий. Оценку размеров стохастической компоненты можно получить из критерия перекрытия резонансов (см. гл. 6). [c.72]

Примеры диффузии Арнольда [c.347]

Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис. 6.6. Четырехмерная поверхность сечения (а,, г, Р, у) представлена здесь двумя проекциями (а, х) и ([ , у), которые для удобства совмещены на рисунке. Начальные условия выбраны внутри резонанса по х и в пределах тонкого стохастического слоя по у. Численное моделирование показывает, что движение по у остается внутри стохастического слоя, пока колебания по. V не достигнут своей сепаратрисы. Последовательные стадии диф фузии по X под действием стохастических колебаний по у показаны на рис. 6.6, б—г. Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет вдоль стохастического слоя резонанса по у. При дальнейшем движении диффузия охватывает большую часть [c.350]

Этот пример и другие известные примеры с быстрой диффузией Арнольда представляют собой исключение из правила. Как показано [c.118]

Различные примеры качественных и численных оценок то и физических приложений диффузии Арнольда содержатся в обзоре [25]. [c.249]

Интересным примером подобных всюду плотных, но не эргодических траекторий является диффузия Арнольда (см. п. 6.1а).— Прим. ред. [c.292]

Покажем, как оценить скорость диффузии Арнольда на примере системы, описываемой отображением (6.1.12). Мы рассмотрим три различных режима диффузии с последовательно уменьшающейся скоростью. Первый режим соответствует диффузии по а вдоль толстого стохастического слоя в плоскости (Р, у). Диффузия происходит вследствие связи со случайным движением по у. Второй режим [c.353]

Но диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может быть очень сильной. Примеров, подтверждающих этот факт, накопилось к настоящему времени довольно много. Простейший пример — функция Гамильтона (5.1) гл. 4. Приведем еще два примера. Первый [58] специально для случая автономной системы с тремя степенями свободы [c.88]

Из устойчивости для больгиинства начальных условий не следует устойчивость по Ляпунову. В [25] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для больгиинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное явление получило название диффузии Арнольда. В построенном в [25] примере диффузия очень слабая время, в течение которого rj t) находится вблизи г (0), экспоненциально эастет при линейном убывании возмугцения. [c.117]

По диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может быть очень сильной. В фазовом пространстве в дополнении к упомянутому больгиинству начальных условий , для которого имеет место устойчивость, могут сугцествовать каналы сверхпроводимости , по которым траектория может довольно быстро уходить от начала координат. Это видно из следуюгцего простого примера [17 Пусть п = 3 и [c.117]

Исследована устойчивость регулярных прецессий динамически симметричного спутника на круговой орбите дан анализ устойчивости плоских колебаний спутника — твердого тела на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета рассмотрена устойчивость движения динамически симметричного спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты центра масс исследована устойчивость плоских вращений спутника и плоских колебаний произвольной амплитуды на круговой орбите получены новые результаты в задаче об устойчивости относительного эавновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции. Подробная библиография приведена в [31, 94]. В [95] указаны такие случаи, когда относительное равновесие спутника устойчиво в линейном приближении, есть устойчивость для большинства начальных условий, а на самом деле это равновесие неустойчиво но Ляпунову. Это — пример конкретной задачи механики, в которой установлено существование диффузии Арнольда (правда, эта диффузия не является экпоненци-альной). [c.125]

Новая книга рассчитана на широкий круг специалистов. Однако она не является популярной и при активном чтении требует значительной работы, переосмысления лгаогих привычных понятий. Авторы ставят своей задачей не только рассказать о новой области или дать обзор новых результатов, но и научить читателя (желающего ) работать в этой области и помочь ему овладеть методами теоретического анализа и практических расчетов. Основной направляющей нитью изложения является детальное и всестороннее обсуждение перехода от простых и хорошо известных регулярных нелинейных колебаний к разл ичным режимам хаотического движения (гл. 3—5), включая такие тонкие эффекты, как диффузия Арнольда (гл. 6). Авторы подобрали небольшое число достаточно простых и характерных примеров, к которым они многократно возвращаются при описании различных эффектов или методов анализа. Это существенно облегчает, на наш взгляд, понимание и освоение основного материала. Книга хорошо иллюстрирована она включает разнообразные результаты численного моделирования, что значительно способствует наглядности изложения. [c.6]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

Из устойчивости для больпшнства начальных условий вовсе не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное- явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень слабая время, в течение которого г (i) находится вблизи г (0), экспоненциально растет при линейном убывании возмущений. [c.88]

Примеры гамильтоновых систем с быстрой диффузией Арнольда построены также в работах [78, 93]. Но, каК показал Не-хорошев [78, 79], в общем случае диффузия Арнольда (если она существует) является экспоненциальной. Так что рассмотренные примеры представляют собой исключения из правила. Результаты Нехорошева будут рассмотрены в 3. [c.90]

В 1 построены простые примеры многомерных гамильтоновых систем, которые устойчивы для большинства начальных условий, но по Ляпунову неустойчивы. Скорость диффузии Арнольда в примерах 1 оказалась весьма значительной. Однако, как правило, диффузия Арнольда (если она существует) должна быть экспоненциальной, что показано Нехорошевым в его работах 178-80]. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...