Перекрытие резонансов простое

Возникновение стохастичности в гамильтоновых системах типа (1) определяется значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой физ, смысл. При достаточно больших амплитудах появляется большое число гармоник оси. частоты колебаний, на каждой из к-рых возможен нелинейный резонанс при дальнейшем увеличении амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим движениям, перекрываются (т. и. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение стохастич. поведения гамильтоновых [c.695]

Смысл и значение данного результата можно объяснить следующим образом. До сих пор рассматриваемые системы обладали лишь немногими степенями свободы. Удивительно, сколь высокую нерегулярность обнаруживают такие простые системы. Несколько лет назад никто и не помышлял о возможной эргодичности систем из двух осцилляторов. Все были убеждены, что эргодичность является свойством лишь весьма больших систем. Результаты Форда послужили ключом к пониманию роли числа степеней свободы. Поскольку число степеней свободы возрастает, становится возможным все большее число резонансов и, что гораздо важнее, возникает все больше шансов для перекрытия. Таким образом, неустойчивость и эргодичность, по-видимому, возникают скорее. По мере того как число степеней свободы приближается к величинам порядка 10 , типичным для систем, рассматриваемых в статистической механике, можно почти с полной уверенностью утверждать, что эргодическое поведение становится [c.371]

Из приведенных выше рассуждений можно получить одно следствие, которое связано с некоторым общим свойством динамики частицы в области стохастичности. В 5.3 при анализе уравнений (3.1) или (3.6) уже отмечалось, что потенциал каждой из плоских волн создает для частицы на фазовой плоскости область, соответствующую области захвата в нелинейный резонанс. Условие стохастичности (3.5) означает просто условие перекрытия таких областей. Теперь заметим, что характерное время прохождения частицей потенциальной ямы, создаваемой одной плоской волной, в которую захвачена частица, равно т согласно [c.120]

Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается, когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга. Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев, которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря, критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование показывает, что критерий перекрытия является [c.246]

В этом параграфе, следуя работе Чирикова [70], мы получим весьма эфс )ективный количественный критерий перехода к глобальной стохастичности. Сначала, используя гамильтониан стандартного отображения, мы найдем условие касания сепаратрис целых резонансов, что приведет к простейшему критерию перекрытия /С л /4 2,47. Далее, учтем полуцелый резонанс и найдем более точное критическое значение К 1,46. Это уже гораздо ближе к численному результату [70], но все еще остается завышенным. Наконец, учтем ширину стохастического слоя вблизи сепаратрисы. (Чириков нашел, что резонансы третьей гармоники несущественны )). Для этого исследуем перекрытие вторичных резонансов вблизи сепаратрисы целого резонанса. Это может быть сделано либо путем перехода от сепаратрисного отображения ( 3.5) к новому стандартному отображению, как в п. 4.16 выше, либо путем непосредственного вычисления размера вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, как в п. 4.36 ниже. Однако для получения точного условия перекрытия вторичных резонансов необходимо ввести те же поправки, что и для первичных и т. д. Можно ожидать, что такой процесс сходится и дает правильный ответ. Вместо проведения соответствующих довольно утомительных выкладок Чириков замыкает процедуру, вводя в отображение для вторичных резонансов некоторый корректирующий множитель ). Это позволяет согласовать аналитические и численные результаты. [c.257]

Простое перекрытие. Простейший критерий, как видно из рис. 4.5, а, состоит в том, чтобы удвоенное значение А/ акс, вычисленное по (4.1.29), было равно расстоянию между целыми резонансами б/ = 2я, откуда [c.257]

Следует различать модуляционную диффузию вдоль резонансов многомерной системы (п. 6.2г) от понижения порога перекрытия и последующей диффузии поперек резонансов вследствие низкочастотной модуляции в системе. Обе цитированные работы относятся именно ко второму (более простому) эффекту, который рассматривался также в работах [68, 467]. — Прим. ред. [c.342]

Остановимся па некоторых обобщениях. Особенностью критерия перекрытия резонансов (2.10) является то, что для вычисления К достаточно пользоваться исследованием движения системы в окрестности только одного резонанса и в пренебрежении всеми другими. Технически такая задача достаточно просто решается, как было показано в 1.3, что делает критерий (2.10) практически очень удобным (ком. 3). Продемонстрируем это следующим образом. В правой части универсальной модели (1.5) стоит сумма эквидистантных импульсов. Разложение такой силы в ряд Фурье (2.1) имеет бесконечное число равноотстоящих на величину V гармоник с одинаковыми амплитудами. Ясно, что число гармоник может быть конечным, а амплитуды и расстояния по частоте между гармониками могут слегка варьироваться, и тем не менее критерий (2.10) сохранится. Конечно, описанная вариация задачи также позволяет построить преобразование и определить параметр растяжения, однако условие перекрытия резонансов в даннози случае быстрее приводит к цели. [c.83]

В этом месте следует сделать определенные предостережения. Как всякое качественное условие достаточно общего характера, оно имеет определенное число оговорок, которые не столь просто сформулировать. Это связано с тем, что отсзгтствие строгого вывода критерия перекрытия резонансов не дает возможности точно указать его пределы применимости. Приведем простой пример. Пусть два резонанса столь сильно перекрываются, что почти совпадают друг с другом (81т- -О, бшт- О). Тогда ясно, что мы имеем дело практически с одним резонансом, но удвоенной амплитуды, и никакой стохастичности не будет. Однако очевидно, что если резонансов не два, а УУ, и УУ > , т. е. общее число резонансов больше параметра перекрытия резонансов, то описанный эффект вырождения стохастичности отсутствует и критерий (2.10) работает. Различные особенности и уточнения критерия (2.10) содержатся в обзорах Чирикова [24, 25]. [c.86]

Простые рассуждения показывают, что невозможно провести прямую аналогию между перекрытием резонансов в классическом случае и в квантовом случае. Действительно, из результатов, полученных в этом параграфе, следует, что изолированный квантовый нелинейный резонанс проявляется в сильном взаимодействии конечного числа ( Aw) состояний с энергиями, лежащими в полосе квантовых чисел (по —Ага, rao + Ага). Это проявляется в том, что система уравнений (3.11) имеет эффективно конечный порядок ( 2Ага). Перекрытие двух резонансов означает, что эффективный порядок системы для амплитуд Сп увеличивается до величины 4Ага, но тем не менее остается конечным. Таким образом, задача о перекрытии двух резонансов в квантовой механике сводится с формальной точки зрения к системе линейных уравнений. Порядок этой системы конечен, и поэтому в ней не может возникнуть стохастичность (конечные линейные системы таким свойством не обладают). [c.192]

Используя аналогичную методику, Егер и Лихтенберг [212] вычисляли размер вторичных резонансов между гармониками фазовых колебаний на основных резонансах и невозмущенными колебаниями. Они показали, что при перекрытии первичных резонансов параметр перекрытия вторичных резонансов, т. е. отношение их размера к расстоянию между ними, сравним с параметром перекрытия для первичных резонансов и по индукции это же справедливо и для резонансов более высоких порядков. При этом локальное число вращения для первичного резонанса вблизи его центра равно а = 1/4, т. е. здесь возникает вторичный резонанс четвертой гармоники. Изучение резонансной структуры со всей очевидностью показывает, что простой критерий перекрытия является слишком жестким. Численно было найдено, что когда параметр перекрытия для первичных резонансов достигает 2/3 (при этом появляется вторичный резонанс шестой гармоники), то этого достаточно,чтобы разрушить последнюю инвариантную поверхность между первичными резонансами. Такой критерий применялся для многих задач, как, например, ускорение Ферми [274] и циклотронный нагрев [212, 275]. Отметим, что усовершенствованный критерий перекрытия Чирикова также связан со вторичными резонансами, но не в центре первичного резонанса, а вблизи его сепаратрисы. Использование вторичных резонансов рассматривается в 4.3. Соответствующая техника разложения, основанная на резонансной теории возмущений, описана в 2.4. [c.247]

Фукуяма и др. [145] исследовали простой критерий перекрытия вторичных резонансов в задаче о взаимодействии частицы с волной, используя эллиптические интегралы с некоторыми упрощениями. На рис. 4.6 представлены их результаты для зависимости относительной доли г фазового пространства, где выполняется простой критерий перекрытия [параметр перекрытия (4.3.26) равен единице], от числа вращения [c.269]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...