Квантовые отображения

Опишем теперь, как должен выглядеть метод отображений в фазовом пространстве (а, а ). Пусть, например, гейзенберговские уравнения движения для операторов a (t) и a(t) заданы в впде квантового отображения (2.15) или в общем виде (2.16). Тогда операторы aj и а могут быть выражены через начальные условия а и Oq [c.166]

Квантовое отображение волновых функций [c.179]

Выражения (1.8) и (1.23) решают задачу о построении квантовых отображений для гамильтонианов типа (1.17). То обстоятельство, что в качестве начального состояния было выбрано когерентное состояние, не является существенным. Действительно, любое другое начальное состояние может быть разложено по базису когерентных состояний в силу полноты этого базиса. [c.183]

Анализ квантовых отображений [c.183]

Анализ классических систем показал, что переход от дифференциальных уравнений движения к уравнениям в конечных разностях (отображениям) приводит к существенному упрощению задачи. Естественно и в квантовом случае начать анализ с такой системы, которая бы допускала построение отображений. [c.161]

Следующий этап исследований связан с анализом отображений (2.6) и (2.16). До сих пор (в классических задачах) мы рассматривали отображения векторов с конечным числом элементов. В квантовой механике отображение (2.6) записано для поля i j(g, i). Отображение (2.16) получено для операторов, для которых поля являются собственными функциями. Одним из методов анализа таких отображений является проектирование их на некоторое пространство [133, 134] и последующий анализ проекций. Остановимся на этом вопросе подробнее. [c.163]

Воспользуемся теперь приведенной выше информацией для анализа квантовых поправок в -отображении (5.8). Подстановка выражения (5.11) в формулы (5.8) и (5.9) дает с точностью до членов и е отображение в переменных (/, О) [c.174]

Итак, квантовые поправки в -отображении (5.8) экспоненциально нарастают со временем с показателем, равным по порядку величины инкременту локальной неустойчивости соответствующей классической системы. Поэтому формулы для -отображения (5.8) или (5.25) быстро становятся неприменимыми [1331. Остановимся на этом эффекте подробнее. [c.175]

Источником происхождения расходимости квантовых поправок являются производные по начальным условиям. Эти производные возникли благодаря -формам (3.17), которые имеются в каждом члене -отображения, связанном с квантовыми поправками (см. формулу (5.9)). Выражения, аналогичные -формам, имеют гидродинамическую аналогию. Они возникают при переходе от уравнений гидродинамики в эйлеровой форме к уравнениям гидродинамики в лагранжевой форме. Эта аналогия имеет естественное происхождение. Действительно, квантовомеханические уравнения движения соответствуют уравнениям движения среды, в то время как уравнения для проекции а, а соответствуют уравнениям движения жидкой частицы. Поэтому появление -форм в членах, содержащих квантовые поправки, связано с сохранением в уравнениях (5.8) или (5.25) информации [c.175]

Анри Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, физик и философ, который был свидетелем как великого века классической механики, так и века революционных идей теории относительности и квантовой механики. Работа в области небесной механики привела его к вопросам динамической устойчивости и задаче нахождения точных математических выражений для описания динамической эволюции сложных систем. В процессе этих исследований он открыл метод сечений , ныне известный как сечение, или отображение, Пуанкаре. [c.12]

Хотя приложения к теории динамических систем далеко не исчерпывают всех потенциальных возможностей теории особенностей дифференцируемых отображений (эти приложения включают также геометрическую и физическую оптику, гидродинамику, квантовую механику, кристаллографию, химию, акустику, синергетику, теорию распространения радиоволн, космологию, алгебраическую геометрию, дифференциальную топологию и т. д.), фундаментальная роль теории особенностей в исследовании бифуркаций стационарных и периодических режимов оправдывает включение этого двухтомника в серию Динамические системы . [c.9]

Формула (2.6) является квантовым отображением в представлении Шредингера. Трудность в его итерировании связана с не-коммутируемостью операторов У(д) и Яо. [c.162]

В 9.2 мы уже показывали, каким образом может быть по-. гучено квантовое отображение для волновой функции в представлении Шредингера (см. формулу (9.2.6)). К сожалению, этот путь не очень удобен, так как необходимо распутывать операторные функции. Рассмотрим другую модификацию метода построения квантовых отображений [148] (ком. 1). [c.179]

Одна из причин широкого применения А. ф. в физике связана с физ, требованиями типа причинности, Так, в квантовой теории поля аналитичность Уайтмена функций и амплитуд рассеяния вытекает иа исходных постулатов теории. Метод дисперсионных oonDiomeiiuii целиком базируется на теории А.ф,, ур-ния Янга — Миллса можно записать как условия аналитичности нек-рмх ф-ций. Большое число приложений А. ф. связано также с двумерными задачами электростатики, гидродинамики и т. д., где используются, напр., конформные отображения. [c.78]

Использование теоретико-ыножеств. конструкций в физике, как правило, опосредованно и происходит в оси. через такие матем. дисциплины, как функциональный анализ, динамич. системы, теория групп, топология, алгебраич. геометрия, нестандартный анализ и др. Классич. пример — формализация делъта-функ-ции Дирака б(х), к-рую физик представляет, напр., как точечную единичную массу бесконечной плотности, а математик — как отображение М. финитных ф-ций на прямую, т. е. функционал на пространстве финитных ф-ций. Др. пример — это моделирование эл.-магн. поля или поля Янга — Миллса как связностей на специальных геом. объектах (расслоениях), заданных парой пространств Е и М в отображением f Е М, если М модель пространства-времени, а f 4m) — пространство внутр. состояний точки т М. Такой подход является существ, шагом в единой теории поля. Многообещающим выглядит использование нестандартного анализа для нового построения квантовой механики л статистич. физики, где формализуются, напр., такие фиэ. конструкции, как бесконечные флуктуации поля в бесконечно малой области. [c.171]

Далее, из функционального анализа (или элементарной квантовой механики) известно, что если Н — эрмитов оператор, то и t) s = exp (ИЙ/Н) есть унитарное преобразование в гильбертовом пространстве ),Праваячасть(1.3.1б)представляет отображение оператора Ъ при унитарном преобразовании и (f) [c.30]

Вывод -отображения. Классичемшй предел. Квантовые поправки и -формы. Экспоненциальная расходимость квантовых поправок. Квантовая граница стохастичности. Область квазиклассичности и условие ее существования [c.171]

Рассмотрим уравнения (2.15), которые задают квантовое Т-отображение для гейзенберговских операторов а Ш., аШ системы с гамильтонианом (2.9). Будем читать для определенности, что невозмущепный гампльтониан Но имеет форму (3.19). Тогда гамильтониан (2.9) с учетом (2.7) приобретает вид [c.171]

Для близких к интегрируемым классических систем, в которых регулярные и стохастические траектории сосуществуют в сколь угодно малых масштабах, квантовые аналоги не ясны. Некоторое понимание достигнуто в отношении квантования классических систем с полностью стохастическим поведением (/ -систем). Примерами являются отображение Арнольда [27 ] и бильярд Синая, в частности стадион , образованный двумя параллельными прямыми, замкнутыми полуокружностями [59, 287 [. Берри [24,25] и Заславский [440] предположили, что уровни энергии стохастической системы должны отталкиваться, так что распределение расстояний между ними имеет максимум при некотором конечном значении, а не в нуле, как для интегрируемой системы ). Отталкивание наблюдалось в численном юдeлиpoвaнии для бильярда Синая и стадиона [27, 28, 59, 80, 287 ] и иногда принимается в качестве определения квантовой стохастичности. [c.496]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...