Вырождающиеся движения

Метод Гамильтона — Якоби и переменные действие — угол изложены в этой книге значительно менее подробно, чем в книге Борна. (Вероятно, поэтому рассматриваемые вопросы часто оказываются более легкими для чтения.) Особо следует отметить изложение вопроса о связи вырождающихся движений с разделением переменных. В приложении к этой книге производится вычисление интегралов из задачи Кеплера с помощью теории вычетов (что, впрочем, делается и в книге Борна), [c.345]

В противном случае точку Ро мы будем называть неблуждающей точкой и соответственное движение неблуждающим движением . Неблуждающими мы будем, разумеется, называть также точки равновесия и соответственные вырождающиеся движения ( ). [c.196]

Ранее мы говорили, что переменные /е и /ф должны входить сюда в виде комбинации /в + /ф. Теперь мы видим, что все три переменные J входят сюда в виде комбинации Jr Je Следовательно, все частоты этого движения одинаковы и оно является полностью вырождающимся. [c.332]

В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения между переменными действие — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0. (Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных (J, w) не является ортогональным.) [c.344]

В случае самого общего движения рассматриваемой молекулы число ее нулевых частот будет равно пяти, так как здесь будут три степени свободы для поступательного движения и только две для вращательного. (Вращение молекулы вокруг ее оси, очевидно, не имеет смысла и поэтому не дает нового типа движения.) Следовательно, эта молекула будет иметь четыре нетривиальных главных колебания. Но так как два из них являются продольными и были уже нами рассмотрены, то остается рассмотреть лишь два поперечных колебания. Дальнейшие упрощения можно получить, исходя из соображений симметрии. Из осевой симметрии молекулы следует, что частоты двух ее поперечных колебаний должны быть одинаковыми, так как оси у и z являются совершенно равноправными. Поэтому поперечное колебание каждого крайнего атома будет вырождающимся, причем осями у и Z здесь могут служить две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси молекулы. Суммарное поперечное движение атомов определяется амплитудами колебаний вдоль осей у и z и их фазами. Если [c.367]

Мы видим, что относительно вращающихся осей горизонтальная проекция Q точки Р колеблется так, как если бы она притягивалась точкой М с силой, по величине пропорциональной расстоянию, т. е. по тому же самому закону, который мы в п. 52 нашли, отвлекаясь от вращения Земли, для малых колебаний сферического маятника по отношению к земным осям. Как мы уже знаем, траектория, которую описывает точка Q согласно уравнению (99) относительно осей х Уу, есть эллипс, в некоторых случаях вырождающийся в отрезок прямой (п. 10), а уравнения движения во всех случаях будут иметь вид [c.161]

Если имеется tzq таких соотношений, причем О С По < тг — 1, то движение носит исключительный характер в таких случаях говорят, что движение является вырождающимся. Поясним это. Предположим сначала, что щ = 1, т. е. что существует одно соотношение вида [c.340]

Теорема 7.7. Предположим, что приведенный момент Л/(<р, Т) действующих сил удовлетворяет условиям 7.1 —7.3. В этих условиях решение Т=Т (с ,) уравнения (7.2) является стационарным энергетическим режимом движения машинного агрегата тогда и только тогда, когда оно совпадает с одной, и притом вырождающейся в прямую, однозначной ветвью инерциальной кривой [c.266]

К механизмам с односторонне действующей связью необходимо отнести храповые и анкерные. К вырождающимся механизмам — мальтийские и звездчатые неполные зубчатые колеса и др. Храповые и анкерные механизмы, а также неполные зубчатые колеса не могут быть использованы в быстроходных машинах, особенно в тех случаях, когда прерывистое движение с остановками создающими удары валам со значительными. массами передается в начале или конце фазы движения. [c.437]

Линиям типа IV отвечает вырождающийся узел плоского движения. [c.21]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

Орбитальное движение Земли приводит также к явлению звездной аберрации, которое было открыто Брэдли (1725—1728). Б своих наблюдениях он пытался обнаружить годичный параллакс, т. е. кажущуюся траекторию, которую описывает проекция звезды на небесный свод из-за изменения положения наблюдателя при движении Земли по орбите (рис. 8.1, а). В общем случае такая траектория должна быть эллипсом, вырождающимся в окружность для звезды, расположенной вблизи полюса эклиптики (как на рис. 8.1, а), или в отрезок прямой для звезды, лежащей в плоскости эклиптики. Брэдли нашел, что звезда действительно описывает эллипс, большая ось которого равна 41", однако направление углового отклонения звезды совершенно иное, чем должно быть при параллаксе (рис. 8.1,6) когда Земля находится в точке А, ее наблюдаемое положение смещено не в точку Л , а в точку Лг, т. е. отклонение происходит в направлении движения Земли. Кроме того, отклонение не зависит от расстояния до звезды и значительно больше, чем параллактическое смещение даже ближайших звезд. Существование параллакса неподвижных звезд было твердо установлено Бесселем лишь сто лет спустя. [c.393]

В самом общем устойчивом случае, за исключением в высшей степени вырождающегося случая, когда а несоизмеримо с 2тт и формальные ряды не включают никаких переменных периодов, будут иметься соседние периодические движения ). [c.218]

Все другие периодические движения разбиваются на аналитические семейства и, таким образом, с формальной точки зрения представляют собой весьма вырождающиеся типы. Но эти специальные движения изолированы и принадлежат к общему типу. В окрестности этих точек мы будем иметь обычные разложения координат в формальные ряды , и эти ряды мы можем считать сходящимися и аналитически продолженными на некоторую окрестность движения в самом деле, эти свойства представляют собой только другое выражение подобных же свойств интегрируемого преобразования Т, согласно которым оно вращает определенным образом известные кривые, окружающие инвариантные точки. [c.255]

Внешняя характеризация лагранжевых систем 34, 36 Внутренняя характеризация лагранжевых систем 34 Вырождающиеся движения 196 [c.405]

Полученный результат следовало ожидать заранее, так как мы знаем, что в случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, траектория движущейся точки является замкнутой (при iS < 0). Поэтому изучаемое движение должно быть строго периодическим и, следовательно, полностью вырождающимся. Если бы центральная сила содержала член (вносимый релятивистскими поправками), то траектория была бы незамкнутой, а движение было бы непериодическим (оно совершалось бы по прецессирующему эллипсу). Одно из вырождений было бы в этом случае уничтожено, но движение все еще было бы вырождающимся, так как равенство ve = Vф справедливо для всех центральных сил. [c.332]

Зависимость между ф и ф, определяемая соотношением (1.11) с некоторым значением постоянной к, геометрически представляется кривой па фазовом цилиндре ф, ф. При всевозможных значениях Ъ, мы получаем на цилиндре семейство фазовых кривых (рис. 1.6, я), представляющее фазовый портрет всевозможных движений физического маятника. Фазовым кривым, вырождающимся в точки О и О, отвечают нижнее и соответствоппо верхнее положения равновесия маятника. Кривым, охватывающим точку О, отвечают всевозможные периодические колебательные движения маятника кривым, охватывающим цилиндр,— всевозможные периодические вращательные движения маятника. На фазовом портрете видно, как переходят друг в друга различные движения маятника при плавном изменении энергии к (параметра к). Минимальному значению энергии h=—gl/J отвечает нижнее равновесие маятника О. С ростом к возникают колебания возрастающей амплитуды (замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку О), значению к — И1 отвечают три движения— верхнее положение равновесия О и два движения 5, предельные к верхнему положению равновесия. При дальнейшем росте к возникают вращательные движения в одиу и другую сторону. [c.13]

Для сообщения прерывистого движения ведомому звену в одном направлении с заданными остановками могут быть использованы механизмы с односторонне действз ющей связью механизмы, вырождающиеся в другие механизмы при определенных положениях начального звена механизмы, некоторые точки звеньев которых на отдельных участках траектории описывают кривые, близкие к дуге окружности или отрезку прямой, и др. [c.477]

Впервые попытка построения строгой теории была предпринята А, М, Тер-Крикоровым (1963,1965), Прежде всего автор столкнулся с трудностью математической постановки задачи. В неоднородной жидкости надо задать распределение плотности, В зависимости от способа задания мы получаем, вообще говоря, разные математические задачи. Тер-Крикоров рассмотрел две постановки ( 1 я В). В постановке А распределение плотности задавалось как функция ординаты у в некотором поперечном сечении канала. В постановке В плотность р задавалась вдоль линии тока. В обоих случаях автор построил нелинейные теории, описывающие волновые движения, близкие к равномерному потоку. Было показано, что существует счетное множество критических скоростей распространения волн и в окрестности каждой из этих скоростей существует двухпараметрическое семейство волн, вырождающихся в уединенную при оо. Таким образом, в неоднородной жидкости возможно существование не одной уединенной волны, как в однородной жидкости, а счетного числа уединенных волн. Каждому типу уединенной волны соответствуют своя картина течения и структура линий тока. При стремлении распределения давлений к равномерному все формы течения жидкости вырождаются в равномерный поток, кроме одной, которая вырождается в уединенную волну. Теории Некрасова, Дюбрей-Жакотен и Кочина содержатся, как частный случай, в теории волн, развитой на основе постановки В. [c.59]

Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [c.49]

Для сообщения кратковременного движения ведомому звену в одном направлении могут быть использованы механизмы с односторонне действующей связью, механизмы вырождающиеся, т. е. преобразующиеся в другие механизмы при определенных положениях начального звена, механизмы с низшими парами, некоторые точки звеньев которых описывают траектории, на отдельных участках мало отличающиеся от дуги окружности или прямой, и др. [c.323]

Поскольку (150, (ISz) представляют собой уравнения, соответствующие в силу (140, (1 2) системам с одной степенью свободы, то к ним применимы результаты ) 185—188, а также 191—192 (только к (15i)). Разумеется, точками обозначается дифференцирование по вспомогательной переменной Т. Заметим, однако, что если значения постоянных h, ho в (140 —(142), (150, (ISz) находятся в области, в которой g = i t), т] = liO — периодические фзгнкции с периодами Ti = Ti(a, ho), Tz = Xzlh, ho) соответственно, то ti и tz являются непрерывными, не вырождающимися в константы функциями h, ho и таким образом в общем случае несоизмеримыми. Следовательно, если только отношение Ti Т2 не окажется рациональным, кривая = (Г), 11 = 11(0, описывающая движение частицы М, не является периодической, но полностью заполняет (всюду плотно) прямоугольную область на плоскости (S, т]) (см. 125). [c.181]

Формирование региональных тектонических процессов обусловливается геологической историей региона, включая изменение напряженного состояния при осадконакоплении, и неотек-тоническими движениями. Неоднородность геологического поля приводит к формированию своеобразного гидрогеодеформаци-онного поля , по определению Г. С. Вартаняна и Г. В. Куликова [4], которое имеет мерцательный характер, чутко отражающий знакопеременную изменчивость режима тектонических процессов. Пространственная структура такого поля оказывается неупорядоченной с локализованными зонами растяжений в виде изолированных зон, появляющихся и вырождающихся среди участков слабого сжатия, причем проявления растяжения и сжатия четко согласуются с режимом понижения и повышения уровней подземных вод. Вместе с тем при землетрясениях гидрогеодеформационное поле становится более упорядоченным. [c.146]

Во всех проведенных опытах (более 50) под телом наблюдалось образование оконтуренных высокоградиентной оболочкой протяженных и быстро эволюционирующих структур, которые вследствие особенностей своей формы именуются "вторичной струей". Хотя расположение и временные характеристики этой струи определяются полем внутренних волн, движения в ней не чисто колебательные и могут быть отнесены к классу внутренних пограничных течений [14, 15]. В таких течениях всегда существуют прослойки с высокими значениями градиента плотности, располагающиеся внутри более толстых слоев со сдвигом скорости. Они непосредственно не связаны с отрывом плотностного пограничного слоя, вихрями или вырождающейся турбулентностью. Именно внутри вторичной струи и наблюдаются максимальные значения скоростей и амплитуд смещений жидких частиц при свободных колебаниях тела. Просмотр видеофильмов показывает, что именно оголовки вторичных струй (а не само тело) являются центрами областей формирования новых групп внутренних волн (фиг. 1, г, е). [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...