Теорема Лапласа — Лагранжа

Теоремы Лапласа — Лагранжа и Пуассона [c.839]

Теоремы Лапласа — Лагранжа и Пуассона указывают лишь на устойчивость в смысле Лагранжа (см. 103) планетных орбит на конечном промежутке времени. Чем меньше возмущающие массы, тем больше этот промежуток. [c.839]

Теорема Лапласа, конечно, не позволяет сделать вывод о том, что гипотетическая планетная система (и, в частности, Солнечная система) устойчива в смысле Лагранжа для 1 (1о,ао), так как, во-первых, строго не известно, выполняется ли условие 3) для всех е(/о, оо) [известно лишь, что в первом и во втором приближении большие полуоси не имеют вековых возмущений (см. 3.09)], а во-вторых, интегралы (10.3.24) и (10.3.25) являются интегралами приближенных уравнений. [c.840]

Бели заданы й, V, р, то с помощью этих уравнений можно вычислить й, I я р. Из третьего интеграла площадей следует важнейшая теорема небесной механики, а именно, знаменитая теорема Лапласа об устойчивости. Благодаря исследованиям Лапласа и Лагранжа, к которым мы еще возвратимся в одном из следующих разделов, было показано, что если принимать во внимание по крайней мере только члены низшего порядка относительно возмущающих масс, то большие полуоси а и а оскулирующих эллипсов будут совершать только периодические колебания вблизи средних значений о и а . Это утверждение, которое составляет первую часть теоремы об устойчивости Лапласа, мы будем предполагать здесь доказанным. [c.221]

Доказательство, данное Лагранжем, довольно сложно. Его можно упростить, приняв с самого начала, как это делает Лаплас, что условие 1) выполнено. Каратеодори показал , однако, что и без этого допущения возможно элементарное доказательство теоремы Лагранжа. Его отправной точкой является наше векторное уравнение (29.4), переписанное в прямоугольных компонентах. Мы воспроизводим здесь с некоторыми изменениями доказательство Каратеодори. [c.233]

Основываясь на доказанной в самом начале гл. V теореме Лагранжа, можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что, вместе с условием несжимаемости, приводит, кяк и в случае равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом [c.437]

Лагранж, теорема — 89 Лагранжево представление 66 Лаплас, диференциальное уравнение — 140 [c.222]

Допустим, что в некотором открытом сосуде мы имеем тяжелую жидкость, и предположим, что в начальный момент времени, I = = О, жидкость находится в покое — в состоянии гидростатического равновесия. Горизонтальный, плоский уровень жидкости примем за плоскость хОу некоторой прямоугольной системы координат, ось Ог которой направляется нами вертикально вверх. Во всем дальнейшем, за немногими исключениями, мы будем считать жидкость однородной и несжимаемой. Предположим, что жидкость приведена мгновенно в движение путем приложения к ее частицам импульсивных давлений / (х, у, ). В согласии с основной теоремой гидродинамики, возникшее движение будет потенциальным в момент времени непосредственно после приложения импульсивных давлений, если жидкость однородная. Тогда, по теореме Лагранжа, и во все последующее время движение жидкости будет обладать потенциалом скоростей ф (х, у г ), который будет удовлетворять уравнению Лапласа [c.15]

Таким образом, при наличии сил Рэлея соблюдается теорема Лагранжа о сохранении потенциального движения. При наличии этих сил уравнения гидродинамики удовлетворяются скоростями, зависящими от потенциала. Потенциал скоростей удовлетворяет снова уравнению Лапласа, а интеграл Бернулли приобретает вид [c.261]

Обращаясь к принципу наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа (см. 17, гл. IV), Якоби замечает, что почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять ([38], шестая лекция). Упрек Якоби относится, главным образом, к тому, что в изложении того времени была неясной связь принципа наименьшего действия с теоремой живых сил (с интегралом энергии). Кроме того, Якоби указывает на неудачное название самого принципа и связанное с этим неправильное понимание его сущности. [c.257]

В 1899 г. Пуанкаре строго доказал, что ряды Ньюкома в общел случае расходятся. Тем самым теоремы Лапласа—Пуассона-Лагранжа были сняты с повестки дня. Тем не менее эта кажущаяся неудача послужила поводом к созданию теории асимптотй- [c.278]

Эта задача сводится, в сущности, к доказательству теоремы так еще и не доказанной вполне ) об отсутствии вековых возмущений больших полуосей планетных орбит, так как, считая эту теорему справедливой, можно доказать уже совершенно строго как это и сделано Лапласом и Лагранжем), что эспцентриситеты и наклонности орбит, являясь малыми в настоящее время, всегда будут оставаться численно малыми. [c.323]

Лагранж, Гаусс и Дирихле дали методы, позволяющие найти выражение для силовой функции однородного эллипсоида для случая, когда нритягивае.мая точка лежит внутри него. Затем теоремы Лапласа, Айвори и ]Маклорена позволили найти, почти уже без вычислений, силовую функцию и для внешней точки. [c.116]

Бидно, имеет более общее значение и называется обычно теоремой Лапласа, хотя во всей общности оно установлено Лагранжем. [c.675]

Теорема Лапласа — Лагранжа [59]. Если невозму-щенные средние движения планет в планетном варианте задачи N тел несоизмеримы, то большие полуоси планетных орбит (и, следовательно, средние движения и канонические элементы Е) не содержат вековых возмущений первого порядка относительно возмущающих масс. [c.839]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Лагранжа—Дирихле теорема 378 Лапласа интеграл — Вычисление 201 [c.575]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Теорема Ламберта привлекла заметное внимание. Проиллюстрируем лишь наиболее известные имена. До Ламберта Эйлеру [1] удалось получить частный случай параболических орбит, который, впрочем, можно найти и у Ньютона [5] в несколько ином виде. После того как в 1761 году появилось доказательство Ламберта [1], использующее геометрический синтез , Лагранж [5] первым опубликовал в 1766 году аналитическое доказательство, а в 1778 году — три других [6]. Лаплас [4], Гаусс [3], Гамильтон [4], Якоби [2], Келли [1], Сильвестер [1], Адамс [c.42]

Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252]

Положим коэффициент при о равным k тогда после интегрирования находим f (х) = Се - -(- A/k. Если координата х отсчитывается от положения равновесия, в котором на основании теоремы Лагранжа / (х) = О, то должно иметь место А == —k / . Для указанного закона сопротивления получаем следующий результат движение является таутохронным, если приложенная сила дается выражением Р = С — 1). Это согласуется с результатом, указанным Эйлером и Лапласом. [c.438]

Пример 13. (Теорема Лагранжа —Лапласа об устойчивости Солнечной системы). Рассмотрим задачу п тел в предположении, что масса одного тела (Солнца) много больше масс остальных тел (планет). Невозмущенной будем называть систему, в которой планеты не взаимодействуют друг с другом, а Солнце неподвижно. Невозмущенная система распадается иа п—1 задач Кеплера. Предположим, что невозмущеиные орбиты планет —кеплеровские эллипсы, и введем для описания каждого из них канонические элементы Пуанкаре [24]. В ре- [c.185]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Эта теорема содержится в трактате Малюса по геометрической оптике, представленным им Парижской академии в 1807 году. Кроме Лапласа, Монжа и Лакруа, в состав комиссии по рассмотрению трактата входил также Лагранж. Не узнал ли он в теореме Малюса ближайшего родственника своей теоремы о сохранении потенциальных течений идеальной жидкости [c.38]

Особенно просто это уравнение выглядит в случае однородной жидкости, когда р = onst divw = 0. Если течение жидкости потенциально v = дср/дх), то для потенциала поля скоростей получаем уравнение Лапласа = 0. Следовательно, ср — гармоническая функция в Е . Таким образом, в стационарном случае задача сводится к решению уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями. Вся нужная нам информация от динамических уравнений Эйлера — это теорема Лагранжа о сохранении потенциальности течения идеальной жидкости. [c.118]

Эта теорема была найдена Маклореном и Лагранжем для эллипсоидов вращения и обобщена Лапласом для случая трехосного эллипсоида. Однако ее легче получить методом Айвори, примененным выше, и ома называется поэтому теоремой Айвори. [c.124]

Отсюда вытекает, что солнечная система устойчива, если учитывать лишь вековые возмущения. (Устойчивость солнечной системы в предположения, что учитываются лишь линейные вековые возмущения, была показана Лагранжем (и Лапласом). Вывод, что в силу теоремы Миндинга (Я Дирихле) эти результаты можно обобщить на случай учета всех нелинейных вековых возмущений, был сделан Брунсом.) [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...