Функция Фурье — Бесселя

Функции Фурье — Бесселя. Предыдущие разложения сходятся для планет, но перестают сходиться для некоторых периодических комет, описывающих вокруг Солнца очень вытянутые эллипсы. Тогда можно применить [c.360]

Сюда И входят функции Фурье — Бесселя, которые можно определить следующим образом. Пусть к — целое число к х — параметр. Выражение [c.362]

Для решения уравнения Кеплера (81) было предложено большое число методов. Наиболее совершенный из них был дай в 1824 г. астрономом В. Бесселем (1784—1846). Из уравнения Кеплера следует, что разность функций и — J представляет собой периодическую функцию от С, обращающуюся в нуль в точках Я и Л, т. е. при значениях , кратных л. Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье по синусам кратных углов [c.57]

Правая часть этого равенства есть коэффициент Фурье ядра к х,у), рассматриваемого как функция аргумента у относительно системы ф , в связи с чем из неравенства Бесселя [c.39]

Видим, что (3-49) представляет собой разложение функции F r) в ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности [c.89]

В работе [137] приводится решение его в модифицированных функциях Бесселя и исследуются ограничения, которые необходимо наложить на пределы изменения показателя степени т в ряде частных задач. Там же отмечается, что решение для цилиндра, неоднородного по длине, получается в этом случае в виде рядов (цилиндр конечной длины) или интегралов Фурье (бесконечный цилиндр). [c.127]

Граничное условие (4-146) можно представить через разложение в ряд Фурье по функции Бесселя в виде [c.201]

Другие методы приближения функций. Дополнительная информация об интерполировании и смежных вопросах (многочлен Бесселя, интерполирование с кратными узлами, кусочно-полиномиальная интерполяция, обратная интерполяция, тригонометрическая интерполяция, быстрое дискретное преобразование Фурье, использование конечных и разделенных разностей и т.д.) содержится в [8] см. также [2, 32, 33, 38, 56, 58, 77]. Для приближения функций многих переменных используются аналогичные изложенным выше подходы [8, 38]. [c.136]

В случае изотропных полей соответствующие спектральные плотности будут зависеть только от модуля , и интегрирование в (6.65) выполняется особенно просто. Корреляционную функцию вычисляем при помощи преобразования Фурье—Бесселя [c.190]

При проведении численных расчетов было рассмотрено несколько вариантов задания функции f r) в виде степенной функции с разными показателями степени. Это было сделано для того, чтобы перекрыть весь возможный диапазон реальных изменений формы нижней поверхности керна. При этом в явном виде были получены выражения для коэффициентов разложения этих функций в ряды Фурье — Бесселя. [c.23]

Ряд Фурье — Бесселя (4.1), представляющий собой разложение функции f (г), можно применить для решения задачи о цилиндре с нулевой температурой поверхности. Если же на его поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то граничное условие должно иметь вид [c.194]

Если начальная температура или граничные условия таковы, что метод, изложенный в 15 гл. I, оказывается непригодным, то используется комбинация рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя. Наряду с этим можно применить функцию Грина (см. гл. XIV) или непосредственно использовать, как в гл. XV, преобразование Лапласа ). [c.225]

Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии (массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. [c.280]

Преобразование Фурье — Бесселя проистекает из рассмотрения двумерного преобразования Фурье применительно к функциям, обладающим круговой симметрией. Этот вид симметрии характерен для большинства оптических систем и большого числа оптических сигналов. Можно показать [14, гл. 7], что образы двумерных распределений, являюш,ихся функцией только радиуса г, имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной частоты р) и что функцию можно получить из ее образа и наоборот, применяя одно и то же симметричное одномерное преобразование. Эта операция называется преобразованием Фурье — Бесселя и определяется следуюш,им образом [c.32]

Для двумерных систем с вращательной симметрией мы показали (см. разд. 2.1.3), что их можно описать с помощью одномерного преобразования Фурье — Бесселя. Существует и второй способ описания этих систем, а именно путем рассмотрения их отклика на одномерный входной сигнал, например в виде прямой линии или пичка. Можно показать [16], что в таких системах одномерная точечная функция рассеяния f r) (зависящая только от радиуса г) связана с линейной функцией рассеяния А (х) (зависящей от координаты х) преобразованием Абеля, определяемым как 00 [c.38]

Из соотношения между точечной и линейной функциями рассеяния можно показать, что преобразования Фурье — Бесселя и Абеля тесно связаны. Фактически имеется тесная связь между преобразованиями Абеля, Фурье — Бесселя и Фурье. Последовательное применение этих преобразований к некоторой функции дает исходную функцию [4]. В оптике этот результат отразился в соотношениях между точечной и линейной функциями рассеяния (преобразование Абеля), между линейной функцией рассеяния и (одномерной) пере- [c.38]

Функция неопределенности 566, 569, 575 Фурье Бесселя преобразование 32, 33 0г/рб< -голограммы 145. 178—193, 417, 418, 627 [c.733]

В случае прямоугольного поперечного сечения применяется тот же метод, за исключением того, что используется двойной ряд Фурье. Для круглого и эллиптического поперечных сечений собственные функции являются соответственно функциями Бесселя и функциями Мату. Последние пока еще не табулированы. Метод решения их, однако, идентичен показанному на примере течения между параллельными пластинами. [c.210]

Это соотношение позволяет выразить интегралы Фурье (42), (43) через бесселевы функции /п(м) п — целое). Во многих задачах, решаемых в цилиндрических координатах, и, в частности, при преобразовании Фурье в этих координатах функции Бесселя играют основную роль. Графики наиболее часто встречающихся — [c.120]

Таким образом, аналогично интегралу Фурье, образованному с помощью гармонических (или экспоненциальной) функций, существует интеграл Фурье — Бесселя, вычисляемый с помощью бесселевых функций и также обладающий свойством обратимости. Б рассмотренном только что нами случае взаимная нара цилиндрически симметричных функций в реальном и обратном пространствах преобразуется с помощью функции Бесселя нулевого порядка. [c.122]

Теперь рассмотрим преобразование Фурье (43) какого-либо одного члена разложения (49), например члена Рп Л) ехр гп -Поступая так же, как и при выводе (47), т. е. используя интегральную запись функций Бесселя (45), но теперь уже для случая п ф О, и полагая — (л ф) = я) — получим [c.124]

Формулы (57), (58) являются обобщением преобразования Фурье — Бесселя (46), (47) на функции п-ого порядка / , причем эти интегралы дают взаимно-обратное преобразование коэффициентов сумм (48), (49). Следовательно, можно найти и преобразование произвольных функций р(г,г )) или выражаемых такими суммами. [c.124]

Итак, чтобы найти трансформанту Фурье — Бесселя Р К,Ч) функции р(г,г з), нужно 1) разложить р(г,1 ) в ряд Фурье по гр и найти коэффициенты р г) (50) 2) получить трансформанты Фурье — Бесселя от р (58) и 3) просуммировать ряд Фурье по Рп (49), который и даст Р В, ). Объединяя (49) с (58), получим окончательно [c.124]

В нем представлены лишь трансформанты FnN по бесселевым функциям порядка nN, т. е. /о, /лг, /глг и т. п. сама трансформанта в целом также имеет симметрию N. Поскольку функции Бесселя быстро затухают с увеличением Й, при больших N основной вклад в F nN) дает наряду с нулевой только первая (т. e.N-я) трансформанта Фурье — Бесселя. [c.129]

Как и в серии формул (75) — (77) действовать но (99) — (101) нужно в обратном порядке, найдя для каждой слоевой F ее коэффициенты F i по (101), переходя далее к p по (100) и, наконец, производя их двойное суммирование (99). В отличие от формул (75) — (77), заключающих в себе одно суммирование и два интегрирования, рассматриваемые сейчас формулы имеют два суммирования и два интегрирования, так как набор слоевых Fi дискретен, а функция была непрерывна. Нужно еще раз подчеркнуть, что задача суммирования трехмерного ряда Фурье ценной, молекулы очень сложна, и такая работа еще никем не производилась. Дело в том, что весьма трудно выделить F i из каждой слоевой линии, где они представлены по (75) все вместе. Это легче осуществить, если в данную слоевую дает вклад в основном одна функция Бесселя. Имеются указания, что можно определить с помощью изоморфного замещения [18]. Ряд заключений можно сделать, анализируя отдельные члены F i и соответственно р г (см. ниже стр. 153). [c.136]

Если ядро преобразования К(р,х) берется в виде sinили os рх, то это интегральное преобразование соответственно называется синус-преобразованием Фурье или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя К(р, x) = xJ px), то оно носит название преобразование Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от —оо до +оо, а ядро имеет вид К р, х) = мы получаем комплексное интегральное преобразование Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеем граничные условия I рода, а косинус-преобразование Фурье — когда решаем дифференциальные уравнения переноса при граничных условиях II рода. Преобразование Ханкеля применяется в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральныхпреобразований после появления хороших таблиц изображения (Л. 28, 16] не вызывает осЪбых затруднений. [c.81]

Двойное преобразование Фурье для построения локальных иепернодических-решений nph рассмотрении как цилиндрических, так и сферических оболочек эффективно использовано В. П. Шевченко [60, 61], Шевляковым Ю. А. и Ю. П. Шевченко [56, 57, 58, 59]. Решение удается получить в ряде случаев в явном виде с помощью модифицированных функций Бесселя и функций Кельвина. [c.254]

По составленной на основе (1)—(4) ФОРТРАН-программе ОС ЕС ЭВМ были проведены расчеты напряженно-деформированного состояния и условий отрыва от основания упругого изогнутого диска. Модифицированные функции Бесселя рассчитывались по специальной программе, позволяющей при больших значениях аргумента вычислять только их отношения. Функции Струве, входящие в выражения для коэффициентов разложения степенных функций в ряд Фурье — Бесселя, считались путем представления их в виде ряда по функциям БессЪля с переменным значком. [c.23]

Задачи, в которых встречаются кратные ряды Фурье, можно рассматривать и другим способом мы воспользуемся им в гл. VIII, где нам придется иметь дело с комбинацией рядов Фурье и рядов Фурье—Бесселя. Рассмотрим, например, случай, в котором / х, у) является нечетной функцией лг и у в интервалах — а < х < а, [c.182]

Преобразование Фурье — Бесселя известно также как преобразование Ганкеля нулевого порядка и часто называется просто преобразованием Ганкеля. Полное семейство таких преобразований можно получить, подставляя в качестве ядра функции Бесселя v-ro порядка 7v. где v не обязательно целочисленно. Преобразование Фурье двумерных радиально-симметричных функций с гармонической угловой зависимостью [т. е. имеющей специальный вид f (г) х Хехр(/п0)] можно свести к преобразованиям Ганкеля высших целочисленных порядков, в то время как преобразования радиальных функций более чем двух переменных можно описать различными преобразованиями Ганкеля полуцелочисленного порядка [24, гл. 2]. [c.32]

Некоторые сведения по преобразованию Фурье — Бесселя можно найти в работах Титчмарша [25], Снеддона [241 и Брэйсуэлла [51. Функции Бесселя рассматриваются в книге Мак-Лахлана [19]. [c.33]

Безлиизовые голограммы Фурье 145, 180 — 184, 273, 666 Бесселя функции 32, 533, 534 Бихромироваиная желатина 303—305 Блестящие голограммы 202 Бриллюэновское зеркало 720, 721 Брэгговская дифракция 13, 218, 329 [c.730]

Полторак и Нагайа (К. Poltorak, К. Nagaya) [433, 434] предложили метод решения задачи о вынужденных колебаниях трехслойных пластин с иррегулярной границей. Демпфирующие свойства вязкоупругого заполнителя учтены введением комплексного модуля сдвига. Решение уравнения собственных колебаний получено в функциях Бесселя, краевая задача решена методом коллокаций в форме Фурье. [c.16]

Примечание. В таблице обозначено р, Р2< 1, к(, кд — целые числа (1, 2, 3,. ..) 1 — номер гармоники отклонения профиля зубьев В — коиструктнвный параметр, характеризующий упругие свойства шестерни и колеса 6(Цд — статическая деформация зацепления Д/ амплитудные значения погрешности шага шестерни и колеса соответственно / ), Г2 — радиусы делительных окружностей шестерни и колеса г . 22 — число зубьев шестерни и колеса д,(л ) — функция Бесселя I рода -го порядка от аргумента х-, (01, е>2 — угловая частота вращения шестерни и колеса Л , — коэффициенты Фурье функции контактирования зубьев шестерни и колеса (а — зубцовая частота кц — амплитуда 2-й гармоники отклонения профиля зубьев шестерни. [c.681]

Таким образом, общая формула (78) приобретает для частного случая непрерывной спирали вид (118). Вместо суммы (75) для каждой слоевой I остался лишь один член 1= п. Модуль этой трансформанты / = 2яго/ (2лгой) имеет цилиндрическую симметрию распределение интенсивности 17 на слоевой номера 1= п определяется квадратом функции Бесселя порядка п. Так как радиус первого максимума возрастает с увеличением /г (см. рис. 78), то расиределение интенсивности имеет характерный крестообразный вид (рис. 90,а). Такой вид можно наглядно объяснить и расположением наиболее густо заселенных рядов атомов в спирали (рис. 90,6), иернендикулярно которым в обратном пространстве располагаются наибольшие значения интенсивности. На рис. 91 дана картина оптического преобразования Фурье спиральной структуры, имеющая вид косого креста [16]. На рис. 92 показана рентгенограмма ориентированного геля спиральных молекул ДНК, когда отсутствуют эффекты межмолекулярного рассеяния, и картина косого креста , обязанная внутримолекулярному рассеянию, выступает почти в чистом виде [21, 22]. [c.141]

Таким образом, сначала находятся трансформанты Фурье — Бесселя Qi r) каждой слоевой и далее для каждого значения г строятся одномерные ряды Фурье по косинусам, что в итоге дает двумерную картину функции межатомных расстояний в координатах г, Z. Это, в сущности, сечение данной функции, проходящее через ось Z вдоль произвольного радиуса г, но в силу цилиндрической симметрии все такие сечения тождественны. На рис. 108 в качестве примера приведена цилиндрическая функция Паттерсона для дезоксирибонуклеиновой кислоты [6], на рис. 109 — для вируса табачной мозаики [II, 50]. В обоих случаях вид Q r,z) свидетельствует о спиральном характере молекул. Построение Q r,z) для ДНК позволило установить размещение наиболее тяжелых атомов фосфора, что определило конфигурацию двухцепочечного хребта этой молекулы (рис. 45). Из функции Q r,z) для ВТМ был выяснен примерный радиус молекулы и наличие на ней спиральной нарезки, а также некоторые другие детали структуры.Примеры цилиндрической функции Q(r,z) представлены также на рис. 110 и 213. [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...