Фурье — Бесселя преобразование

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ, ЛАПЛАСА, БЕССЕЛЯ. [c.20]

Функция неопределенности 566, 569, 575 Фурье Бесселя преобразование 32, 33 0г/рб< -голограммы 145. 178—193, 417, 418, 627 [c.733]

В данном параграфе показана сущность конечных интегральных преобразований и их связь с формулами разложения в ряды Фурье и Бесселя, т. е. связь с классическим методом решения задач нестационарной теплопроводности. Конечные интегральные преобразования Фурье и Ханкеля вместе с методом интегрального преобразования Лапласа для исключения временной переменной, которая изменяется от О до оо, дают возможность решить широкий круг задач нестационарной теплопроводности. [c.522]

Другие методы приближения функций. Дополнительная информация об интерполировании и смежных вопросах (многочлен Бесселя, интерполирование с кратными узлами, кусочно-полиномиальная интерполяция, обратная интерполяция, тригонометрическая интерполяция, быстрое дискретное преобразование Фурье, использование конечных и разделенных разностей и т.д.) содержится в [8] см. также [2, 32, 33, 38, 56, 58, 77]. Для приближения функций многих переменных используются аналогичные изложенным выше подходы [8, 38]. [c.136]

В случае изотропных полей соответствующие спектральные плотности будут зависеть только от модуля , и интегрирование в (6.65) выполняется особенно просто. Корреляционную функцию вычисляем при помощи преобразования Фурье—Бесселя [c.190]

Если начальная температура или граничные условия таковы, что метод, изложенный в 15 гл. I, оказывается непригодным, то используется комбинация рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя. Наряду с этим можно применить функцию Грина (см. гл. XIV) или непосредственно использовать, как в гл. XV, преобразование Лапласа ). [c.225]

Преобразование Фурье — Бесселя [c.32]

Преобразование Фурье — Бесселя проистекает из рассмотрения двумерного преобразования Фурье применительно к функциям, обладающим круговой симметрией. Этот вид симметрии характерен для большинства оптических систем и большого числа оптических сигналов. Можно показать [14, гл. 7], что образы двумерных распределений, являюш,ихся функцией только радиуса г, имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной частоты р) и что функцию можно получить из ее образа и наоборот, применяя одно и то же симметричное одномерное преобразование. Эта операция называется преобразованием Фурье — Бесселя и определяется следуюш,им образом [c.32]

Теоремы относительно преобразования Фурье — Бесселя [c.32]

Из пары преобразования Фурье — Бесселя f r) и б(р) можно получить следующие пары [c.32]

Для двумерных систем с вращательной симметрией мы показали (см. разд. 2.1.3), что их можно описать с помощью одномерного преобразования Фурье — Бесселя. Существует и второй способ описания этих систем, а именно путем рассмотрения их отклика на одномерный входной сигнал, например в виде прямой линии или пичка. Можно показать [16], что в таких системах одномерная точечная функция рассеяния f r) (зависящая только от радиуса г) связана с линейной функцией рассеяния А (х) (зависящей от координаты х) преобразованием Абеля, определяемым как 00 [c.38]

Из соотношения между точечной и линейной функциями рассеяния можно показать, что преобразования Фурье — Бесселя и Абеля тесно связаны. Фактически имеется тесная связь между преобразованиями Абеля, Фурье — Бесселя и Фурье. Последовательное применение этих преобразований к некоторой функции дает исходную функцию [4]. В оптике этот результат отразился в соотношениях между точечной и линейной функциями рассеяния (преобразование Абеля), между линейной функцией рассеяния и (одномерной) пере- [c.38]

Это соотношение позволяет выразить интегралы Фурье (42), (43) через бесселевы функции /п(м) п — целое). Во многих задачах, решаемых в цилиндрических координатах, и, в частности, при преобразовании Фурье в этих координатах функции Бесселя играют основную роль. Графики наиболее часто встречающихся — [c.120]

Теперь рассмотрим преобразование Фурье (43) какого-либо одного члена разложения (49), например члена Рп Л) ехр гп -Поступая так же, как и при выводе (47), т. е. используя интегральную запись функций Бесселя (45), но теперь уже для случая п ф О, и полагая — (л ф) = я) — получим [c.124]

Формулы (57), (58) являются обобщением преобразования Фурье — Бесселя (46), (47) на функции п-ого порядка / , причем эти интегралы дают взаимно-обратное преобразование коэффициентов сумм (48), (49). Следовательно, можно найти и преобразование произвольных функций р(г,г )) или выражаемых такими суммами. [c.124]

На рис. 2.14 показана дифракционная картина, которую формирует ДОЭ с такой фазой в фокальной плоскости. Среднеквадратичное отклонение интенсивности в сформированном круге от постоянного значения составляет 6%, а энергетическая эффективность фокусировки в круг равна 91%. Расчет осуществлялся при помощи ПХ (для то = О, преобразования Фурье Бесселя). [c.73]

Несмотря на то что в данном случае приходится делать три фурье-преобразования, увеличение объема вычислений компенсируется быстротой алгоритма БФП. Для симметричных резонаторов с круглыми зеркалами вышеприведенные интегралы сводятся к одномерным, если использовать ядро, содержащее функции Бесселя 7/ [ср. с уравнением [c.534]

Система (3), 3, а) решается [5] с помощью интегральных преобразований Фурье-Бесселя. [c.383]

OS рх, то это интегральное преобразование соответственно называется синус- или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя К р, х) = xJ (рх), то оно носит название преобразования Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от —оо до 4-°°. а ядро имеет вид К р, х)= [c.55]

Конечные интегральные преобразования. Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье—Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения — ее стандартность — дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций. [c.56]

Наконец, в тех случаях, когда имеется круговая симметрия, двумерные преобразования Фурье, как показано в приложении А, приводятся к преобразованию Фурье — Бесселя. [c.46]

Таким образом, при наличии круговой симметрии двумерные преобразования Фурье, описываемые выражениями (А. 13), сводятся к одномерному преобразованию Бесселя [c.233]

Система уравнений (29.3) интегрировалась методом Бубнова с использованием преобразования Лапласа по времени 1. При этом функции перемещений х и я ) представляются в виде разложений Фурье—Бесселя, удовлетворяющих граничным условиям задачи [c.185]

Частота сравнительно просто входит в формулы (15,40) Atj oj, а остальные параметры, кроме т, от oj не зависят. Это позволяет вычислить преобразование Фурье по со от р (г, г о) и тем самым найти звуковое давление в случае, когда источник излучает -образный импульс. Оно состоит из двух компонент импульса 6(/ - т), где т - время распространения звука от источника, и хвоста , начинающегося при t т и медленно спадающего при /-> >, давление в котором ограничено и выражается через функцию Бесселя первого порядка. При переходе к однородной среде [c.342]

Это интегральное уравнение относительно функции F k,p) можно решить с помощью преобразования Фурье - Бесселя [10]. Преобразование Фурье - Бесселя для действительной функции г]о г) ставит ей в соответствие функцию г]о к) но формуле [c.97]

Из вида соотношения (10) следует, что функция (дк + р )Е(к,р) является преобразованием Фурье-Бесселя для —дщ г). Поэтому можно записать [c.98]

Упрощенные уравнения в стационарном случае приводятся к уравнениям в частных производных, в которые нелинейность обычно входит простым образом. В неодномерном случае их, как правило, не удается решить аналитически. Однако в большинстве случаев легко можно определить, имеет данное уравнение солитонное решение или нет. Общая математическая теория этих вопросов в случае неодномерных задач, если они относятся к неинтегрируемым, пока не разработана. В [2.5] предложен простой алгоритм, позволяющий найти солитонное решение. По этому алгоритму легко получить такое решение численным методом. К сожалению, с его помощью не всегда удается определить, является ли локализация решения экспоненциальной или степенной. В [2.5] указано, что с помощью преобразований Фурье или Фурье-Бесселя уравнения солитонов приводятся к однородному нелинейному интегральному уравнению вида [c.39]

Конечно, эти равенства можно получить также разделением переменных в полярных координатах и преобразованием Фурье — Бесселя. Для 6-образного начального условия т]о (г) = 6 (г)/(2яг) имеем [c.423]

Если ядро преобразования К(р,х) берется в виде sinили os рх, то это интегральное преобразование соответственно называется синус-преобразованием Фурье или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя К(р, x) = xJ px), то оно носит название преобразование Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от —оо до +оо, а ядро имеет вид К р, х) = мы получаем комплексное интегральное преобразование Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеем граничные условия I рода, а косинус-преобразование Фурье — когда решаем дифференциальные уравнения переноса при граничных условиях II рода. Преобразование Ханкеля применяется в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральныхпреобразований после появления хороших таблиц изображения (Л. 28, 16] не вызывает осЪбых затруднений. [c.81]

Принципы Фурье в интерферометрии с переменной базой, позволяющие получить фактическую структуру радиоисточника, были заложены Пози с коллегами в вышеупомянутой работе. Стэйни [59] в Кембридже использовал для проверки теории, разработанные в конце 40-х годов, согласно которым излучение Солнца в отсутствие солнечных пятен было необычайно сильным в направлении лимба на волнах около 60 см. По существу так же, как это было описано для интерферометра Май-кельсона (разд. 6.2.2), видность лепестков была измерена для расстояний между антеннами вплоть до 365 длин волн. Поскольку ориентация антенной системы была фиксированной, вычисления должны были исходить из предположения о круговой симметрии источника. Фурье-прео-бразование кривой видности давало радиальное распределение интенсивности. (Строго говоря, здесь должно иметь место преобразование Фурье-Бесселя.) На рис. 6.13 показан общий вид результатов с отсутствием указаний на уярчение к краю, чего ожидали некоторые исследователи. [c.153]

Двойное преобразование Фурье для построения локальных иепернодических-решений nph рассмотрении как цилиндрических, так и сферических оболочек эффективно использовано В. П. Шевченко [60, 61], Шевляковым Ю. А. и Ю. П. Шевченко [56, 57, 58, 59]. Решение удается получить в ряде случаев в явном виде с помощью модифицированных функций Бесселя и функций Кельвина. [c.254]

Преобразование Фурье — Бесселя известно также как преобразование Ганкеля нулевого порядка и часто называется просто преобразованием Ганкеля. Полное семейство таких преобразований можно получить, подставляя в качестве ядра функции Бесселя v-ro порядка 7v. где v не обязательно целочисленно. Преобразование Фурье двумерных радиально-симметричных функций с гармонической угловой зависимостью [т. е. имеющей специальный вид f (г) х Хехр(/п0)] можно свести к преобразованиям Ганкеля высших целочисленных порядков, в то время как преобразования радиальных функций более чем двух переменных можно описать различными преобразованиями Ганкеля полуцелочисленного порядка [24, гл. 2]. [c.32]

Некоторые сведения по преобразованию Фурье — Бесселя можно найти в работах Титчмарша [25], Снеддона [241 и Брэйсуэлла [51. Функции Бесселя рассматриваются в книге Мак-Лахлана [19]. [c.33]

Таким образом, общая формула (78) приобретает для частного случая непрерывной спирали вид (118). Вместо суммы (75) для каждой слоевой I остался лишь один член 1= п. Модуль этой трансформанты / = 2яго/ (2лгой) имеет цилиндрическую симметрию распределение интенсивности 17 на слоевой номера 1= п определяется квадратом функции Бесселя порядка п. Так как радиус первого максимума возрастает с увеличением /г (см. рис. 78), то расиределение интенсивности имеет характерный крестообразный вид (рис. 90,а). Такой вид можно наглядно объяснить и расположением наиболее густо заселенных рядов атомов в спирали (рис. 90,6), иернендикулярно которым в обратном пространстве располагаются наибольшие значения интенсивности. На рис. 91 дана картина оптического преобразования Фурье спиральной структуры, имеющая вид косого креста [16]. На рис. 92 показана рентгенограмма ориентированного геля спиральных молекул ДНК, когда отсутствуют эффекты межмолекулярного рассеяния, и картина косого креста , обязанная внутримолекулярному рассеянию, выступает почти в чистом виде [21, 22]. [c.141]

На рис. 7.1 показаны распределения нормированной интенсивности на оптической оси для ДОЭ, который получен при выборе отличным от нуля одного первого коэффициента суммы (7.62). Это единственное слагаемое пропорционально функции Бесселя нулевого порядка Jo(ferpo)- Распространение такого поля вдоль оси г рассчитывалось с помощью преобразования Френеля, которое, в свою очередь, вычислялось с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. [c.480]

Хотя (17.78) дает одинаковые выражения для В и Вз, необходимо помнить, что это соответствует некоторому приближению, и между Ву, и Вз имеется важное различие. Это различие связано с тем, что, хотя при х О / (х) /з(х), тем не менее / (0) = О, тогда как з 0) = 2. Вледствие этого корреляционная функция уровня должна менять знак, в то время как корреляционная функция фазы остается знакопостоянной. Доказательство этого факта может быть получено из общей формулы (17.56). Поскольку она имеет вид преобразования Фурье— Бесселя, можно записать обратное преобразование [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...