Перемещения — Определение уравнения упругой лини

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями. Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования — составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений. Так, если балка по условиям нагружения разбивается на п участков, то интегрирование дифференциальных уравнений для всех участков балки дает 2п произвольных постоянных. Добавив к двум основным оперным условиям балки 2 п — 1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для определения этих постоянных. [c.281]

Перейдем к определению перемещений при помощи метода начальных параметров. Возьмем сечение на крайнем правом участке и запишем для него уравнение упругой линии [c.301]

Какой из методов определения перемещений — обобщенное (или универсальное) уравнение упругой линии, графо-аналитический метод (фиктивных нагрузок) или интеграл Мора и правило Верещагина — наиболее рационален По нашему мнению, ответ однозначен — интеграл Мора и правило Верещагина. Этот метод наиболее универсален, так как применим не только к балкам, но и к любым стержневым системам и криволинейным брусьям. Он наименее формален, так как имеет четкую физическую основу, а его применение всегда требует построения эпюр, что дает дополнительные возможности для развития у учащихся соответствующих навыков. Затрата времени на определение перемещений меньше, чем при применении любого другого метода. Неоднократно проводившийся хронометра) [c.209]

Естественно, не все преподаватели согласятся с такой аргументацией, поэтому считаем целесообразным уделить некоторое внимание определению перемещений на основе дифференциального уравнения упругой линии на графо-аналитическом методе, как явно устаревшем и совершенно нерациональном, останавливаться не будем. [c.210]

Интегрирование дифференциального уравнения упругой линии. Мы уже говорили о том, что для простейших случаев балок с одним участком нагружения всегда в порядке изучения обязательного программного материала следует показывать учащимся, как интегрируется дифференциальное уравнение и как определяются постоянные интегрирования. Определение перемещений в более сложных случаях отнесено к специальным (дополнительным) вопросам программы. [c.210]

Мы твердо уверены, что использование так называемого уравнения упругой линии, независимо от того, дается ли оно учащимся с выводом или без него, нецелесообразно. Вывод забывается, учащиеся сугубо формально применяют уравнение, а значит, всегда путаются, какие именно члены уравнения надо в нем сохранять при определении того или иного перемещения. Если же учащиеся составляют уравнение изгибающих моментов для последнего (считая слева направо) участка балки (составляют так, что уравнения для всех предыдущих участков содержатся в составленном), то и после интегрирования они ясно чувствуют, какие слагаемые к какому участку относятся [c.210]

Метод определения перемещений, основанный на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, иногда называют аналитическим методом. Примеры его применения даны в следующем параграфе. [c.129]

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПУТЕМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ЛИНИИ [c.129]

Расчет балок с промежуточным шарниром. Полученные выше универсальные уравнения упругой линии и углов поворота были найдены из рассмотрения участка KL (рис. 284, б), на котором балка не имеет промежуточных шарниров, нарушающих плавность изогнутой оси. Поэтому, рассматривая всю балку в целом и оставляя общее для всех участков начало координат, применить эти уравнения к непосредственному определению перемещений на участке SF балки, расположенном правее шарнира S, нельзя. В этом случае определить перемещения можно, лишь рассматривая балку по частям (отдельно часть S и отдельно — SF). [c.311]

Для определения перемещений в полученной эквивалентной балке можно использовать универсальное уравнение упругой линии [c.319]

Рассмотрим примеры на определение перемещений балок о помощью обобщенных уравнений упругой линии и углов поворота. [c.246]

Частные случаи определения перемещений балок по обобщенному уравнению упругой линии [c.257]

Для определения перемещений поперечного сечения балки может быть применено приближенное дифференциальное уравнение упругой линии [c.178]

Применяя принцип сложения действия сил, для нахождения полного перемещения центра тяжести какого-либо сечения стержня можно использовать дифференциальные уравнения упругой линии, получаемые из (23.12) и (23.13). После интегрирования их с последующим нахождением постоянных интегрирования из граничных условий и определения в данном сечении двух составляющих перемещения fy и /г в направлении главных осей инерции г/ и 2 величину полного перемещения найдем как их геометрическую сумму [c.390]

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки [c.131]

Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки или энергетическими методами, которые будут рассмотрены ниже, или применять видоизмененный метод начальных параметров. Суть последнего заключается в замене ступенчатого стержня эквивалентным ему по деформациям стержнем постоянной жесткости. [c.152]

Как видно из рассмотренных примеров, аналитическое вычисление интеграла Мора требует не меньшей вычислительной работы, чем определение перемещений с помощью универсального уравнения упругой линии, рассмотренного в разд. 8.6. Эти вычисления помогает упростить использование следующего графоаналитического приема. [c.239]

Этот метод определения прогибов (линейных перемещений) и углов поворота (угловых перемещений) поперечных сечений балок эффективен в случае балок постоянной жесткости, находящихся под действием сложной нагрузки. Он основан на применении приближенного дифференциального уравнения упругой линии [c.221]

На основании выполненных примеров можно установить следующий ПОРЯДОК определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения Упругой линии. [c.333]

Для определения перемещений в сечениях 00 и I—1 воспользуемся дифференциальным уравнением упругой линии тонкого бруса с круговой осевой линией [c.168]

Для определения радиальных перемещений в сечении 3—3 напишем дифференциальное уравнение упругой линии кольца между сечениями 2—2 и 3—3 [c.179]

Началом возможных перемещений можно пользоваться не только для получения дифференциальных уравнений упругих линий, как в предыдущем примере, но также для непосредственного определения прогибов [c.161]

Задача определения перемещений точек колец возникает при расчете колец на колебания, при расчете колец используемых в качестве гибких элементов конструкций (например, в волновых зубчатых передачах), а также при составлении уравнений совместности деформаций колец с сопряженными с ними элементами. Для определения перемещений могут быть использованы общие методы, излагаемые в курсе Сопротивление материалов . Однако при сложном нагружении кольца, а также в тех случаях, когда требуется знать перемещение в нескольких точках по окружности кольца, целесообразно использовать более эффективные методы расчета, основанные на применении дифференциального уравнения упругой линии. [c.135]

При /1 = 325 Гц Л 1/Л 2 = —0,93 и при /2 = 665 Гц Л 1/Л 2 = = 0,88. Абсолютные значения коэффициентов Л1 и Л2 пропорциональны амплитудам, колебаний. Определим перемещения над опорами В, О я о" и решим уравнение упругой линии для расчета затухания. Зададимся единичной амплитудой силы инерции Р1 массы т.1, тогда амплитуда силы инерции массы т. будет 1,04 (при частоте 335 Гц). Для упрощения расчета, который в целях демонстрации метода проводим вручную, полагаем амплитуды сил инерции одинаковыми и единичными (Р .о = 2,0)-В этом случае перемещения над опорами и в точке I будут = = 14,63-10" см уо = 2,02-10" см г/в = 1,42-10" см Ув = 0,80-10" см. Для определения затухания в материале данной статически неопределимой системе целесообразно из полного выражения коэффициента влияния выделить лишь ту его часть б у, которая зависит от собственных деформаций балки и не зависит от деформации опор. Затем можно воспользоваться соотношением [c.67]

Рассмотрим другой метод определения перемещений. Этот метод удобен при нахождении прогибов и углов поворота в отдельных точках балки и не требует составления уравнения упругой линии для всего участка балки. [c.210]

Дифференциальное уравнение упругой линии. Сечения перемещаются вследствие деформации. Поэтому между перемещениями и деформацией должна существовать определенная связь. Деформация при изгибе измеряется кривизной и вычисляется по зависимости (117). Следовательно, нужно искать связь между перемещениями и кривизной. [c.311]

Определение перемещений непосредственным интегрированием дифференциального уравнения упругой линии. При составлении этого уравнения и при интегрировании его нужно соблюдать правила [c.122]

Следует заметить, что при определении перемещений при изгибе дифференциальное уравнение упругой линии используется сравнительно редко, предпочтение отдается другим методам, в частности методу началь- [c.129]

Кривизна бруса. При исследовании изгиба бруса кроме определения напряжений во многих случаях необходимо знать перемещения его точек. Перемещения определяют форму деформированного бруса. Деформацию бруса характеризует его упругая линия, т. е. искривленная при изгибе нейтральная ось бруса. Упругая линия определяется ее уравнением, связывающим перемещение у(х) каждой ее точки (рис. 2.28) с внешней нагрузкой. [c.157]

Определение перемещений при изгибе.. Упругая линия бруса находится интегрированием уравнения (2.52). Поскольку характер приложенной нагрузки может меняться по длине балки, она разбивается на участки с однородной нагрузкой, и для каждого участка записывается общее выражение для изгибающего момента. [c.158]

Часто нас интересует не вся упругая линия балки, а только перемещение в каком-либо сечении. Тогда для определения прогиба или угла поворота балки удобно использовать метод Мора, который можно все же применять и для получения уравнения упругой оси. [c.265]

На основании теоремы о взаимности перемещений рассматриваем полученное уравнение как уравнение линии влияния прогибов, значения которых в зависимости от заданной нагрузки получим как сумму произведений величин действующих сил р. и q. на соответствующие им ординаты линий влияния, определенных приведенным выше уравнением. Балка на упругих опорах, нагруженная такой произвольной вертикальной нагрузкой, показана на рис. 30. [c.71]

Соединяя отдельные части, получаем балку постоянного сечения (рис. 35,г), упругая линия которой полностью совпадает с заданной ступенчатой балкой. Таким образом, в результате проведенного преобразования мы получили вместо сложной балки, нагруженной простой нагрузкой, простую балку, нагруженную сложной нагрузкой. Определение перемещений для такой балки при использовании уравнений (28) и (29) не представляет сложности. [c.78]

Перемещения в фиксированном сечении стержня малой кривизны (см. определение П.З) могут быть вычислены с помощью алгоритмов, указанных в 7.1, 7.3. Если же необходимо найти уравнение деформированной оси (упругой линии), необходимо использовать аналогичные приведенным в 5.1 и 5.2 уравнения и соответствующие им краевые задачи. [c.280]

Условно материал данной главы можно разбить на две части. В первой из них рассмотрены задачи по сопротивлению материалов, для решения которых требуются методы математического анализа и высшей алгебры вычисление геометрических характеристик сложных областей, определение перемещений сечений балок переменного сечения, нахождение главных напряжений и главных площадок и т. д. Вторая часть главы посвящена определению упругих линий балок, в том числе лежащих на упругом основании, интегрированию уравнений продольно-поперечного изгиба, которые сводятся к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для решения краевых задач ОДУ используется метод конечных разностей (МКР) [20], основы которого приведены в справочном виде. [c.482]

Стержень с заданными перемещениями ряда сечений. В практике часто возникают задачи определения начального состояния стержня, вызванного принудительными перемещениями (линейными или угловыми) дискретных сечений стерх<ня. Подобные задачи возникают при монтаже упругих элементов, когда из-за технологических погрешностей точки крепления упругого элемента не совпадают с расчетными. На рис. 2.9 пунктиром показано естественное состояние стержня. При сборке сечение k пришлось принудительно сместить (вектор и ) и стержень принял форму, показанную на рис. 2.9 сплошными линиями. Требуется определить Q и М. Считая, что компоненты вектора и есть малые величины, воспользуемся уравнениями нулевого приближения (1.112) — (1.115) или уравнением (2.5), в котором следует положить поэтому получаем (2.6) в виде [c.82]

Существует несколько способов определения перемещений сечений при изгибе. Один из них основан на дифференцировании уравнения упругой линии. Для вывода этого уравнения используется формула (2.79), выражающая зависимость между кривизной 1/р и изгнбающихм моментом При этом следует иметь в виду, что правило знаков для кривизны изогнутой оси связано с выбранными на-иравлениями осей координат. Если принять, что ось х направлена вправо, а ось у — вниз, как показано иа рис. 2.87, то кривизна оси балки положительна в том случае, когда при изгибе балка обращена вогнутостью вниз, и отрицательна, когда балка обращена вогнутостью вверх, т. е. положительному изгибающему моменту соответствует отрицательная кривизна, а отрицательному—положительная кривизна. В соответствии с этим переиищем формулу (2.79) в следующем виде [c.222]

Конечно, построение эпюр по уравнениям не только приемлемо, но и необходимо, если в дальнейшем предполагается при изучении одного из дополнительных вопросов программы рассмотреть аналитический метод определения перемещений. Забегая несколько вперед, скажем, что мы против применения готовых, так называемых универсальньнх или обобщенных уравнений упругой линии и углов поворота. Считаем, что целесообразнее составлять уравнения изгибающих моментов и интегрировать их, пользуясь известными приемами, обеспечивающими равенство постоянных интегрироЕ ания для всех участков балки. Если принять эту точку зрения, то уравнения изгибающих моментов должны составляться. для всех участков при начале координат на левом конце балки. Считаем полезным предостеречь от одной довольно распространенной ошибки — иногда абсциссы сечений, принадлежащих различным участкам, обозначают буквой 2 с индексом (некоторые преподаватели, игнорируя рекомендации [c.127]

Некоторые вопросы теории. Обязательная часть программы не предусматривает изучения какого-либо из методов определения перемещений. Поэтому вопросы об интегрировании дифференциального уравнения упругой линии или об интеграле Мора и правиле Верещагина могут рассматриваться лишь за счет времени, отводимого на допо1лнительные вопросы программы. [c.135]

Наряду с рассмотренным выше методом определения перемещениу в балках с помощью уравнения упругой линии широко применяется энергетический метод. По этому методу определение перемещений выполняют,. пользуясь формулой [c.255]

Это равенство называют приближенным дифференциальным уравнением упругой линии балки и используют для определения перемещений при изгибе. Для балок постоянного пеперечного сечения уравнение (2) записывают"Б виде [c.157]

Расчет на прочность В этом случае связан с необходимостью определения прогиба. При продольно-поперечном изгибе прннцип сложения действия сил неприменим, поэтому прогибы нельзя определять с помощью интеграла Мора и способом Верещагина. Перемещения при продольно-поперечном изгибе бпределяюг интегрированием дифферен- циального уравнения упругой линии. [c.254]

Трудности математического и вычислительного характера были причиной того, что исследования распределения напряжений около трещин в оболочках начали развиваться лишь в последние десятилетия. Первыми были работы [321, 323], в которых рассмотрена задача о меридиальной трещине в пологой сферической оболочке. Подробный обзор исследований в этом направлении приведен в книге [160]. В появившихся в последнее время работах [127, 252, 361, 364, 366, 395, 396] продолжается изучение напряженного состояния оболочек с разрезами. В задачах об упругом равновесии оболочек с трещинами широкое применение нашел метод дистор-сий [146, 176], основанный на том, что вместо оболочки с разрезами рассматривается сплошная оболочка, находящаяся под действием дисторсий, описывающих скачки перемещений и углов поворота на линиях, соответствующих разрезам при этом получаются сингулярные интегральные уравнения для определения неизвестных скачков перемещений и углов поворота. В работах [146, 176] указан ряд исследований, в которых методом дисторсий изучались задачи о трещинах как в изотропных, так и в трансверсально-изо-тропных оболочках. До сих пор исследовались только случаи разрезов, расположенных вдоль координатных линий. [c.287]

Здесь и представляет пока еще произвольный параметр, от выбора которого зависит форма упругой линии при изгибе, взятой нами при применении принципа возможных перемещений. Свободой в выборе этого параметра мы воспользуемся для того, чтобы возможно более приблизиться к действительной форме упругой линии, а следовательно, и к истинному значению критической силы, насколько это позволяет вообще выбранная по нашему усмотрению формула (20). Этого мы достигнем, если будем рассматривать Р как функцию от и, определяемую формулой (22). Продиференцируем Р по и, приравняем производную нулю и полученное уравнение вместе с уравнением (22) используем для определения неизвестных Р и и ). В каждом отдельном случае [c.312]

В случаях, когда балка имеет несколько участков нагружения, уравнение (7.19) должно быть составлено для каждого участка в отдельности. В результате двукратного интегрирования этих уравнений каждое из полученных выражений будет содержать две постоянных интегрирования, т. е. общее число постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков. Для определения этих постоянных, помимо граничных условий, вытекающих из характера опорных закреплений балки (см. примеры 7.21, 7.22), используется условие плавности и непрерывности упругой линии. Плавность упругой линии означает, что, если в уравнения углов поворота, составленные для двух смежных участков, подставить абсциссу сечения, являющегося их границей, то величины угловых перемещений из обоих уравнений должны получиться одинаковыми. Подобные условия, составленные для всех граничных сечений, дают зависимости между величинами постоянных интегрирования i. Аналогично используется условие непрерывности упругой линии прогибы для граничного сечения, получаемые из уравнений, составленных для смежных участков, должны быть одинаковыми. В результате получаются зависимости между постоянньми интегрирования для отдельных участков. [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...