Уравнение диффузии вихрей

В заключение следует сказать, что, в отличие от других вопросов нелинейной акустики, где нестационарные процессы совершенно не исследованы, для акустических потоков была сделана одна попытка экспериментального определения времени установления стационарного течения. Поскольку уравнение, описываюш,ее эккартовское течение,— это уравнение диффузии вихрей [4], порядок времени установления (времени диффузии вихрей) может быть определен по т где/>" — характерный размер [c.126]

Эти соотношения являются начальными условиями для решения нестационарной задачи о диффузии вихря. При отсутствии влияния твердых границ или иных возмуш,ений естественно считать, что все время движения и, = = О, т. е. частицы перемещаются по круговым траекториям. Поэтому, пренебрегая влиянием массовых сил (считая, например, что вихревая нить вертикальна), движение можно описать уравнением Навье—Стокса (5.14) в цилиндрических координатах, которое в данном случае примет вид [c.302]

Диффузия вихря. Если движение происходит по окружностям с центрами на оси г, причем скорость является функцией расстояния г от этой оси, то, согласно уравнению (I) из п. 19.11, [c.535]

Уравнения, описывающие диффузию вихря. Компоненты вихря I, т) и были определены в главе II как [c.199]

Из этих уравнений, описывающих диффузию вихрей, можно сделать важные выводы. [c.199]

Можно показать, что уравнение (129) идентично подобному уравнению диффузии тепла в двухмерной области. Эта тепловая аналогия создает очень удобный способ иллюстрации диффузии вихрей от источника. Цилиндр, вращающийся в жидкости, можно рассматривать как источник вихрей, а геометрически подобный нагретый стержень как источник тепла. Если радиусы этих двух цилиндров принимаются стремящимися к нулю, в то время как их напряжения (циркуляция и содержание тепла) остаются постоянными, они будут представлять в пределе линейный вихрь и линейное распределение конечного количества тепла. Если последнее вводится внезапно в некоторый бесконечный проводник постоянной температуры, добавляемое тепло будет диффундировать во внешнюю среду, пока (через бесконечный промежуток времени) температура (т. е. концентрация тепла) не вернется к своему начальному значению во всех точках. Аналогичное явление будет наблюдаться при внезапном введении линейного вихря в безграничную жидкую среду, находящуюся до этого в покое завихренность на любом радиальном расстоянии будет постепенно увеличиваться, а затем уменьшаться, пока (как температура в первом случае) через бесконечный промежуток времени циркуляция станет постоянной во всех точках, т. е. поток станет опять безвихревым. Если образующемуся линейному вихрю придается нулевая циркуляция, будет происходить обратный процесс, пока опять-таки спустя некоторое время циркуляция станет равной нулю. [c.201]

Для удобства обработки на поток накладывается равномерная скорость, равная по величине и противоположная по направлению скорости падения шара. Если в уравнениях (128) пренебречь нелинейными членами, описывающими диффузию вихрей, эти уравнения сводятся к простому виду [c.222]

Закон подобия. Число Рейнольдса. В предыдущих параграфах мы уже вывели, опираясь на общие уравнения движения вязкой жидкости, целый ряд свойств этих движений, например, что эти движения должны быть вихревыми движениями, что с течением времени происходит диффузия вихрей, что кинетическая энергия движения частью переходит в тепловую и т. д. [c.406]

При Н ф О ситуация совсем другая. Уравнения (4) и (5) связаны друг с другом и поэтому из-за присутствия квантовомеханического потенциала Р сосредоточенная в точке плотность вероятности р будет расплываться по всему пространству. Это явление, тесно связанное с соотношением неопределенности Гейзенберга, напоминает явление диффузии вихрей в вязкой жидкости ( 2 гл.1). [c.227]

Следует указать еще на одну существенную характеристику течений в акустическом пограничном слое. Речь идет о времени установления стационарного течения. Поскольку уравнение (57), определяющее стационарный поток, является уравнением диффузии, время диффузии вихрей в акустический пограничный слой имеет порядок б7v Г, т. е. стационарное течение устанавливается за время, близкое к периоду звуковой волны. [c.121]

Математики обычно довольствуются классификацией (линейных) дифференциальных уравнений в частных производных по следующим типам параболические, эллиптические или гиперболические. При такой классификации не делается различия между уравнением (2.5) переноса вихря и уравнением диффузии дуд ад%1дх , однако, как мы увидим ниже, наличие в уравнении (2.5) производной первого порядка (конвективного члена) делает его качественно отличным от уравнения диффузии, причем при численном рещении конвективный член играет важную роль. К сожалению, для двух указанных членов наиболее эффективными могут оказаться различные численные схемы. [c.32]

В этих уравнениях I моделирует вихрь или какую-либо другую конвективную и диффузионную величину ), а — обобщенный коэффициент диффузии, соответствующий величине 1/Ке в уравнении переноса вихря, и — линеаризованная скорость конвекции. Если не оговорено противное, то и постоянна по х, хотя уравнение (2.17) может быть использовано и для изучения эффектов устойчивости в случае, когда и = и х). [c.35]

Чтобы вычислить поток в ко за счет диффузии, необходимо иметь закон для скорости диффузии. Простейший такой закон (согласующийся с уравнением переноса вихря) является линейным и гласит, что диффузионный поток величины за единицу времени, который мы назовем д, пропорционален градиенту (закон Фика) [c.49]

Если в ближайших внутренних точках (г, 1) и (г, ш /г) берутся разности второго порядка 0(Дг/2), то соотношение (3.601) при определении значения и,-, щ,-1/2 в фиктивном узле, расположенном внутри стенки, приводит к условию и,-, = 0. В разд. 3.3.2 (см. также задачи 3.24—3.26), было отмечено, что условия, аналогичные условию (3.600),- нри определении значения скорости на стенке приводят к ошибкам в членах, описывающих диффузию вихря. Однако в методе МАС переменные определены таким образом, что влияние этих условий сказывается только на конвективных членах, которые при таком способе трактуются верно. Поскольку диффузионный член с составляющей скорости V не входит в уравнение количества движения в направлении л , ошибки не возникает. [c.301]

Плоские течения воздуха в производственном помеш,ении при его вентиляции струями смоделированы в работах [70-71]. Здесь использовалось уравнение переноса и диффузии вихря, полученное из уравнения Павье-Стокса в приближении Буссинеска, а также уравнение Пуассона для функции тока [c.447]

В уравнение переноса вихря (2.5) входит нестационарный член дl/дt, конвективные ) члены йд1/дх и х д1/ду, а также член связанный с вязкой диффузией. Это уравнение не- [c.31]

Обратим внимание на то, что в безразмерном уравнении (8.53) переноса вихря при больших числах Re конвективный член div (uQ) может оказаться более существенным, чем член вязкой диффузии Re" тогда как при малых числах Re значимость членов оказывается противоположной. [c.319]

Численное решение [13] системы уравнений (13.22) и (13.23), очевидно, может быть получено при помощи пошаговой (относительно времени) схемы, для которой дискретизация выполняется так же, как это описано в предыдущих главах. При этом значения скорости и завихренности, известные в момент времени t— А/, принимаемый за начальный временной слой для уравнения (13.23), используются для вычисления нового набора значений завихренности в момент времени t. Эти значения w(r, t) в вихревых объемных ячейках затем используются для вычисления при помощи уравнения (13.22) скорости u(r о, t) в произвольных точках области. Далее численное решение задачи продолжается таким же образом, т. е. повторением подобных циклов, моделирующих физические процессы диффузии, конвекции и образования вихрей. Этот алгоритм, разработанный By, позволяет рассчитывать нестационарные решения наряду со стационарными или периодическими (вихревые дорожки) решениями на более поздних стадиях. [c.372]

Заключение. Предложенная модель описьшает зарождение и диффузию вихря в газе. При определенных условиях на начальном участке внутри вихря образуется вакуумное ядро, при заполнении которого газом происходит его торможение и уменьшение полной энергии. Дальше вниз по потоку действие вязкости приводит к постепенному расширению вихря. Если за характерный размер вихря принимается расстояние от оси, на котором угол поворота вектора скорости максимален, то далеко вниз по потоку закон расширения вихря будет носить универсальный характер. Численное моделирование диффузии вихря качественно согласуется с экспериментальными данными. Однако значительное изменение давления торможения на оси по мере удаления от генератора вихря, а также малое изменение температуры торможения в поперечном сечении, наблюдаемые в эксперименте, указывают на наличие диффузии, существенно большей молекулярной. Это может быть связано с высоким уровнем вихревых и акустических пульсаций в рабочей части аэродинамической трубы. Простейший способ учесть эти пульсации - ввести в уравнения диффузии вихря эффективный коэффициент турбулентной вязкости с помощью модели турбулентности. [c.117]

В заметке А.И. Морогакина К вихревой теории сопротивления (Труды Все-эосс. съезда математиков в Москве. Гиз, 1928) приводится любопытный экспе-эиментальный материал из опытов аэродинамической лаборатории МГУ опыты показали, что вихри в воздухе производят заметное вращение только близко к вихревой трубке и очень быстро затухают при удалении от нее. Другим подобным вопросом, также весьма важным и для теории и для приложений, является вопрос о сохранении вихря в вязкой жидкости. Этому последнему вопросу посвящена интересная работа А.И. Некрасова Диффузия вихря (Труды ЦАГИ. №84, 1931). В этой работе показано, что вследствие диффузии вихря он быстро ослабляется в вязкой жидкости, и весьма быстро вихревое движение становится неощутимым. Замечательным здесь является то обстоятельство, что оказывается, что вихревое состояние определяется уравнением параболического типа [c.178]

Наконец, Стокс исследовал случай неустановившегося движения вязкой жидкости, когда общие уравнения вырождаются в уравненйе теплопроводности для единственной ненулевой компоненты скорости движения. Развитие этого направления принадлежит Рэлею ° и связано с первыми исследованиями диффузии вихрей в вязкой жидкости (и устойчивости ламинарного движения). К сочинению Стокса 1851 г. восходит и исследование диссипации энергии в вязкой жидкости, развитое позже Рэлеем. Отметим еще связанную с обоими затронутыми вопросами работу Д. К. Бобылева , исследовайшего роль вязких сил в вихревых движениях жидкости. [c.70]

Уравнение (6.6) для течения в пограничном слое также представ.1яет собой уравнение вынужденной диффузии. Время диффузии вихрей в пограничный слой T 6 /v = = Г/я. где Г —период звуковой волны. Таким образом, время установления стационарного течения в пограничном слое сравнимо с периодом волны. [c.247]

В задаче о вихревой нити, рассматриваемой как простейшая модель таких атмосферных явлений, как смерчи, меридиональное-движение и, в частности приосевая струя, является следствием вращения. В реальных смерчах имеется ядро, где вращательная скорость возрастает от нуля до своего максимального значения. Наличие этого ядра в задаче о вихревой нити игнорируется, она претендует на описание ноля скорости лишь впе ядра. Если использовать решение задачи о вихревой нити как начальное поле скорости и рассмотреть эволюцию в рамках нестационарных уравнений Навье — Стокса, производная от скорости по времени будет в начальный момент равна нулю всюду кроме оси, где она будет бесконечно большой. Ситуация здесь такая же, как в задаче о распространении тенла после мгновенного его выделения на оси. Далее формируется вязкое ядро, которое в отличие от задачи о диффузии вихря будет иметь не цилиндрическую, а коническую форму. Последняя связана с эжекцнонным действием струи, порождаемой взаимодействием вихревой нити с плоскостью. Подтекание жидкости к оси замедляет диффузию, причем максимальной величины этот эффект достигает вблизи плоскости. [c.122]

Я считаю важным приобщать студентов к работе на ЭВМ как можно раньше. Соответственно в процессе преподавания я не придерживаюсь строго последовательности изложения материала в настоящем учебном пособии. В книге последовательно описываются схемы для решения уравнения переноса вихря, затем схемы решения эллиптического уравнения для функциитока, затем методы постановки граничных условий и, наконец, вопросы, связанные с начальными условиями и критериями сходимости вопросы, связанные с обработкой полученной информации, обсуждаются в последней главе. Однако в учебном курсе я даю задачу о течении жидкости в замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей сразу же после изложения нескольких основных схем и непродолжительного численного экспериментирования с одномерным модельным уравнением конвекции и диффузии вихря и лекции, в которой излагаются простейшие схемы решения эллиптического уравнения для функции тока и граничные условия на стенках с прилипанием. Студенты в течение нескольких недель работают над этой двумерной задачей, в то время как я продолжаю чтение лекций уже в соответствии с изложением материала в настоящей книге. [c.11]

В уравнение переноса вихря (2.5) входит нестационарный член дtJдt, конвективные ) члены йд дх и Ид ду, а также член vV S> связанный с вязкой диффузией. Это уравнение нелинейно из-за конвективных членов, так как в силу (2.7) и [c.31]

Эти одномерные уравнения не являются уравнениями переноса вихря (в одномерном однородном потоке вихрй не существрт), но тем не менее моделируют некоторые аспекты многомерных уравнений. Физически эти уравнения описывают конвекцию и диффузию одной окрашенной жидкости в другой (например, чернил в воде) — в пятидесятых годах Лелевье называл уравнение (2.18) цветовым уравнением (см. У. Кроули [1968а]), [c.35]

Даже при сравнительно мягких условиях (3.478), предложенных Томаном и Шевчиком [1966], можно получить нереально резкое изменение функции 5 в окрестности границы В 6 для течений при малых Ке = 0(10). Для течений при таких малых Ке иа выходной границе Роуч и Мюллер [1970] брали самые мягкие граничные условия для 5, которые получаются из уравнения переноса вихря. Предполагая, что / 0 (т. е. что В 6 действительно является выходной границей потока), конвективный член для и можно аппроксимировать с помощью разностей против потока при г = /, не прибегая к дальнейшим аппроксимациям. Конвективный член для о также можно аппроксимировать при помощи разностей против потока (в зависимости от знака У/, /) или при помощи какой-либо другой схемы, используемой во внутренних точках аналогично, для диффузионного члена в направлении у при I — I пе требуется аппроксимации. Член, описывающий диффузию в направлении х, мог бы быть вычислен при / = / — 1. Но само по себе такое вычисление является статически неустойчивым (см. разд. 3.1.4) для члена (д%/дх )/Яе, особенно в течениях при малых Ке, В этом легко убедиться, если вернуться к рис, 3,6 корректирующее смещение, обусловленное членом дХ/дх для точки = /—1, [c.242]

В уравнение переноса вихря (2.5) входит нестационарный член д11д , конвективные ) члены йдУдх и х)д1/ду, а также член vV S> связанный с вязкой диффузией. Это уравнение нелинейно из-за конвективных членов, так как в силу (2.7) и (2.8) й и у представляют собой функции зависимого переменного Оно является параболическим по времени, и поэтому для него ставится задача с начальными условиями, в которой решение продвигается шаг за шагом от некоторых начальных данных. [c.31]

Уравнение (13.22) представляет собой не что иное, как закои Био—Савара [15—17] для вихревых линий. Объемный интеграл в (13.23) показывает, что распределение завихренности изменяется в результате конвективного переноса, который непрерывно оказывает обратное воздействие на последующее распределение завихренности в жидкости. Поверхностный интеграл в (13.23) отражает непрерывное возникновение (или исчезновение) завихренности на твердой границе 5. Поскольку скорость u(r 0,0 на 5 равна нулю (условие прилипания), возникающие вихри могут покидать границу 5 лишь посредством диффузии. [c.372]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...