Потенциал Лапласа

Полнота системы функций 353 Полоса на абсолютно твердом основании 174, 180 Постоянная упругая 82 Потенциал Лапласа 213, 250 [c.363]

Следовательно, если точка М х,у,г) находится внутри тяготеющей сплошной среды, ньютоновский потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона (IV. 38). Если точка М х,у,г) находится вне тяготеющих масс, то вместо равенства (IV. 32). следует воспользоваться соотношением (IV.31). Тогда вместо уравнения Пуассона (IV. 38) получим уравнение Лапласа [c.492]

Заметим, что потенциал Ф(г) удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть реализован системой гиперболических электродов [21]. Модификация электродов приводит к потенциалу [22] [c.48]

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, [c.250]

Таким образом, потенциал ф скорости любого безвихревого потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению (7.1) Лапласа, т. е. является гармонической функцией. В связи с этим задачу определения поля скоростей, т. е. нахождения функций Wj., Uy и Uj для безвихревых течений, можно заменить задачей определения одной функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Для получения решения этого уравнения необходимо сформулировать граничные условия. Граничное условие на твердой непроницаемой стенке имеет вид (см. п. 5.6) [c.210]

Потенциал простого слоя является решением уравнения Лапласа. При этом он конечен и непрерывен всюду в пространстве, а в точках поверхности S выражается несобственным интегралом, который понимается в смысле главного значения. [c.278]

Предполагая течение осесимметричным, запишем уравнение Лапласа для потенциала скорости [c.304]

Теоретический анализ волновых движений чаше всего проводится при оговоренных выше двух допущениях. Первое из них предполагает, что соприкасающиеся фазы — невязкие жидкости. Это предположение оправдано тем, что в наиболее часто используемых жидкостях с малой вязкостью (прежде всего вода) эффекты вязкости существенны вблизи твердых поверхностей, тогда как в анализе волновых движений основное внимание сосредоточено на малой окрестности границы текучих сред, как правило, далеко отстоящих от твердых стенок. Поле скоростей при безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости определяется уравнением сохранения массы, принимающим формулу уравнения Лапласа для потенциала скорости ф (см. [3, 24, 26, 34]). Уравнение сохранения импульса упрощается до уравнения Эйлера. Условия однозначности, помимо обычного условия непроницаемости на твердых поверхностях, включают условия совместности для потоков массы и импульса на межфазной границе. [c.126]

Для плоских двумерных волновых движений решения уравнения Лапласа для потенциала скорости получаются в виде произведений гиперболических и тригонометрических функций, а соответствующая этим решениям форма границы раздела — в общем случае произведением синусоиды и косинусоиды [36]. Основные особенности волнового движения границы раздела фаз можно исследовать, рассматривая более простой случай, когда начальное возмущающее воздействие вызывает колебательное движение, описываемое одной [c.126]

Поскольку уравнение (5.5) — линейное, решение (5.6) можно использовать для получения других частных решений уравнения Лапласа. Очень важным для приложений является решение уравнения (5.5) для диполя, т.е. для течения, обусловленного действием источника и стока одинаковой мощности. Если мощность источника и стока устремить к бесконечности, а расстояние между ними — к нулю и потребовать, чтобы произведение мощности на расстояние оставалось конечной величиной т, называемой моментом, или интенсивностью точечного диполя [3, 26], то потенциал скорости такого течения получается дифференцированием функции (5.6) по направлению прямой, соединяющей источник и сток. В частности, для направления оси л (рис. 5.1) потенциал течения, обусловленного диполем, определяется как [c.187]

Воспользовавшись выражением для V ф, в сферической системе координат (см. приложение), несложно убедиться, что потенциал (5.9), действительно обращает уравнение Лапласа (5.5) в тождество. Поле скорости, определяемое соотношениями (5.10), очевидно удовлетворяет граничным условиям (5.8а) и (5.86). Второе из соотношений (5.10) определяет касательную скорость на границе обтекаемой сферы [c.189]

Эти уравнения показывают, что как функция тока, так и потенциал скорости удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются гармоническими функциями. [c.160]

Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА). Она основывается на том, что электрический потенциал фэ и функция тока а 3э удовлетворяют уравнению Лапласа (XVI. 1). [c.474]

Гидромагнитная аналогия (МАГА). Она основана на том, что скалярный потенциал магнитного ноля ц>, удовлетворяет при постоянном значении магнитной проницаемости уравнению Лапласа [c.477]

Покажем теперь, что потенциал Ф — гармоническая функция, т. е. он удовлетворяет уравнению Лапласа. [c.168]

Таким образом, функция тока, так же как и потенциал скорости, удовлетворяет уравнению Лапласа и является гармонической функцией. Функции Фиф называются сопряженными (или взаимно сопряженными). Зная одну из них, можно по (28.17) найти другую. [c.285]

Способ аналогий основан на том, что некоторые физические явления подчиняются уравнению Лапласа, причем в отличие от фильтрации в этих явлениях гораздо проще измерять значения определяемой функции. Например, экспериментальное изучение изменений потенциала однородного электрического поля выполняется легче, чем определение потенциала в различных точках фильтрационного потока. [c.293]

Метод МАГДА или МАГА (метод магнитогидродинамической аналогии), основан на том, что скалярный потенциал магнитного поля Фи (аналог потенциала скорости Ф) в среде с постоянной магнитной проницаемостью также удовлетворяет уравнению Лапласа [c.296]

Запишите уравнение Лапласа для потенциала скорости и функции тока. [c.298]

Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, -например, ср1, 9.2, 93,. .. или ф,, ф2. фз,. .. такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации и в том числе их сумма, т. е. функции вида [c.80]

Ранее говорилось ( 13), что потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа (уравнение неразрывности). Функция тока также удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, из условия (3.1) следует [c.129]

Электрогидродинамическая аналогия основывается на том, что тем же уравнениям Лапласа (10.49) и граничным условиям. (10.50) и (10.51) удовлетворяют электрический потенциал фа и функция тока фа- [c.396]

Это уравнение называется уравнением Лапласа. Решение его для заданных граничных условий дает семейство линий равного потенциала скорости [c.70]

Функция тока для потенциального течения, как и потенциал скорости ф, удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, взяв условие потенциальности (77) и выражения для компонентов скорости через функцию тока (83), получим [c.72]

Учитывая специфические трудности, связанные с решением уравнений Лапласа, большой интерес представляют те случаи потенциальных течений, которые дают точные значения функции тока и потенциала скорости без решения этих уравнений. Общая методика такова задаемся произвольной функцией которая удовлетворяет уравнению Лапласа, а затем выясняем, какой гидродинамической сетке она отвечает. Разберем -несколько характерных примеров. [c.73]

В указанный период существенный вклад в дело развития механики жидкости внесли также два выдающихся французских математика того времени Ж. Лагранж (1736—1813), который ввел понятие потенциала скорости и исследовал волны малой высоты, и П. Лаплас (1749—1827), создавший, в частности, особую теорию волн на поверхности жидкости. [c.28]

Однако уравпе[1ия Пуассона и Лапласа не годятся для мезонного поля, так как oni[ описывают только статическое поле и не являются релятивнстскнмгнвариантными. Кроме того, потенциал, [c.164]

Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Им же было получено для этой величины уравнение вида (10,6), получпвшее впоследствии название уравнения Лапласа. [c.38]

Потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа Дг15 = О с граничным условием при г R, имеющим вид (аналогично тому, что мы имели для плоской поверхности) [c.343]

Стационарные двумерные поля температуры и электрического потенциала в однородной среде с постоянным коэффициентом теплопроводности (Я,= onst) и в токопроводящей среде с постоянной электрической проводимостью (а = onst) описываются дифференциальным уравнением Лапласа [c.76]

Следует отметить, что метод ЭГДА является приближенным способом решения уравнения Лапласа на специальном аналоговом устройстве. Существуют и другие методы аналогий, например метод магнитогидродинамической аналогии, разработанный А. Н. Патрашевым [15] и метод ламинарной аналогии, в котором используется факт сущ,ествования потенциала, для осредненного по толщине потока вязкой жидкости между параллельными поверхностями при весьма малых числах Рейнольдса (течение Хил—Шоу). [c.269]

Причем Фл, так же как и р, удов-летворяет уравнению Лапласа и, следовательно, может рассматриваться как потенциал скорости усредненного по толщине слоя течения. Поэтому, если для функции Фл (т. е. для давления р) создать граничные условия такие же, как для исследуемого потенциального потока идеальной жидкости, то мы должны получить при течении в щели распределение скоростей и сетку течения такими же, как для идеальной жидкости. Опыт полностью подтверждает этот вывод. Течение описанного типа было исследовано Хил-Шоу (1898 г.) и применено им для визуального изучения потенциальных потоков. Схема прибора Хил-Шоу показана на рис. 153. На таком приборе путем подкращивания струек легко воспроизвести линии тока, которые затем графически могут быть дополнены эквипотенциалями. [c.300]

Перейдем к вычислению оператора Лапласа. Выберем некоторую точку ро и образуем шар радиуса е с центром в этой точке. Тогда сам потенциал оказывается возможным представить в виде суммы двух интегралов — по этому щару и остальной области. Последний интеграл представляет собой гармоническую функцию. Поэтому необходимо лищь вычислить вторые производные от интеграла по щару. Воспользуемся тождеством [c.95]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Первые пять аналогий относятся к аналогиям безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости, потенциал скорости и функция токакоторого удовлетворяют уравнению Лапласа [c.473]

Линии, для которых 1 = onst, называют линиями тока. Гармоническая сопряженная с а[з функция ф называется потенциалом скоростей потока. Линии тока и линии, вдоль которых потенциалы скоростей постоянны, взаимно ортогональны. Обе функции (тока и потенциала скоростей) удовлетворяют уравнению Лапласа [ср. например, (21.48) и (23,27)]. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двумерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциалу скоростей идеального потока жидкости. [c.249]

Если несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одними и темн же дифференциальными уравнениями при одних и тех же условиях однозначности, то такие явления называются аналогичными, а метод их исследования — аналогией. В технической механике жидкости часто используются электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА), газогидравлическая аналогия (ГАГА), гидромагнитная аналогия (МАГА) и другие аналогии. Приведенные аналогии относятся к безвихревому (потенциальному) движению невязкой несжимаемой жидкости, которое, как известно, оп-исывается уравнениями Лапласа для потенциала скорости и функции тока д Ф 3 ф [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...