Ру нее — Кутта метод формула

Это наиболее употребительная формула Рунге — Кутта. Методы Рунге — Кутта реализованы в виде стандартных программ на серийных ЭВМ. [c.18]

Методы Рунге—Кутта. Методы Рунге— Кутта суть одношаговые методы решения задачи Коши (4.72). Расчетные формулы этих методов имеют следующую форму [c.123]

Рунге — Кутта метод 358 --формула 361 [c.632]

Аналогично можно рассмотреть методы Рунге—Кутта с большим числом слагаемых. Известны формулы, содержащие до девяти слагаемых. Громоздкость выкладок быстро нарастает, но принципиально все остается так же, как и в рассмотренных случаях. Формулы с тремя слагаемыми имеют третий порядок аппроксимации, с четырьмя и пятью — четвертый порядок. Число уравнений, которым должны удовлетворять числа р, а и р, всегда меньше количества этих чисел и, следовательно, имеется множество формул одного порядка аппроксимации с одинаковым числом слагаемых. Чаще других употребляется следующая формула, имеющая четвертый порядок аппроксимации [c.102]

Решение системы дифференциальных уравнений проводилось методами Рунге—Кутта. При моделировании подобных нелинейных систем высокого порядка для достижения необходимой точности вычислений приходится выбирать малый шаг интегрирования. Ошибка ограничения метода рассчитывалась по формуле [4] [c.69]

Отсутствие метода определения циркуляции скорости вокруг крыла затрудняло использование формулы Жуковского для практических расчетов. Эту принципиально важную задачу решил ученик и последователь Жуковского С. А. Чаплыгин [40] и почти одновременно с ним В. Кутта [41]. Начиная с 1910 г. Чаплыгин проводит цикл работ по теории крыла. В статье О давлении плоско-параллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана) (1910 г.) Чаплыгин сформулировал положение (постулат Чаплыгина — Жуковского ), согласно которому при безотрывном обтекании профиля крыла потоком идеальной жидкости хвостовая точка профиля (точка заострения) является точкой схода потока с верхней и нижней поверхностей крыла. Этот постулат позволил вычислить циркуляцию скорости по замкнутому контуру, охватывающему профиль крыла, и тем самым определить подъемную силу по формуле Жуковского. В этой работе Чаплыгин изложил основы плоской задачи аэродинамики и дал формулы для расчета сил давления потока на различные профили крыла. Он впервые вывел общие формулы для силы и аэродинамического момента указал на наличие значительного опрокидывающего момента, действующего на самолет, и вследствие этого опасность потери устойчивости [c.287]

Метод Эйлера—Коши с итерациями является методом второго порядка. Методы Рунге — Кутта — наиболее распространенные среди одношаговых методов численного интегрирования и строятся по формуле [c.121]

Метод Рунге — Кутта второго порядка точности задается формулами [c.121]

Метод Рунге — Кутта третьего порядка точности определяется формулами [c.122]

Метод Рунге—Кутта четвертого порядка точности реализуется по формулам [c.122]

Метод Рунге — Кутта четвертого порядка для систем уравнений второго порядка может быть осуществлен по формулам [c.123]

Формулы метода Рунге—Кутты четвертого порядка точности принимают вид [c.146]

Вычисления по формуле (9.56) с учетом (9.57) выполняют в пять этапов, а следовательно, за пять переходов к вычислению правых частей. Методическая погрешность метода Кутта—Мер-сона [c.156]

Задача содержит четыре независимых параметра N, Z, р и со. Если их значения заданы, а также принято некоторое приближение для распределения температуры 0(т), то функция 0 (т) представляется в виде конечного ряда (12.75) и находятся коэффициенты Вт. Затем с помощью (12.76) отыскивается частное решение уравнения переноса излучения, а коэффициенты разложения Л(т1о) и Л(т]) определяются по методу, описанному в гл. 10 и 11. Зная Л(т]о), Л (т1) и Вт, можно найти безразмерную плотность потока результирующего излучения Q (t) по формуле (12.78). Рассматривая Q (t) как заданную функцию, можно численно с помощью метода Рунге — Кутта проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.69), используя граничное условие (12.70), и получить первое приближение для профиля температуры 0(т). Затем первое приближение используется для получения второго приближения и т. д. Расчеты повторяются до получения сходимости с заданной точностью. [c.516]

Такой выбор координатных векторов достаточен для корректного определения критической интенсивности давления при несимметричной форме потери устойчивости. Учет влияния докритических деформаций осуществляется последними L векторами системы (7.3.14). При решении задачи устойчивости без учета таких деформаций эти векторы следует отбросить, сохраняя в системе (7.3.14) лишь первые L векторов. Следовательно, в рассматриваемом примере под матрицей Z x) и матрицей коэффициентов системы (7.3.8) следует понимать 8 X 2L и 2L X 2L матрицы соответственно, если докритические деформации учитываются, и8 х L ш L х L матрицы — в противном случае. Соответствующие краевые задачи (7.3.12) решены методом инвариантного погружения, причем при интегрировании возникающих в этом методе задач Коши использовался метод Рунге — Кутта второго порядка [41 ]. Внешние интегралы в системе (7.3.8) вычислялись с использованием квадратурной формулы Симпсона [41 ], а собственные значения матрицы коэффициентов этой системы определялись обобщенным методом вращений [83]. [c.209]

Численное интегрирование дифференциального уравнения (115) производится по следующей формуле (метод Рунге — Кутта) [c.120]

Заметим, что требование совпадения разложений в ряд Тейлора до некоторого определенного порядка может быть обеспечено многими другими способами. Поэтому существуют различные формулы Рунге — Кутта, используемые разными авторами. Из-за способа, по которому они определяются, их точность не может существенно отличаться друг от друга. Точность, однако, может быть существенно повышена путем использования методов Рунге—Кутта более высокого порядка. [c.362]

Метод численного интегрирования дифференциальных уравнений (1.3) Рунге — Кутта широко применяется и обеспечивает высокую точность [21]. Суть метода сводится к следующему. Допустим, что для участка малой протяженности ( — независимая переменная — ) известна матрица Г . Последовательно вычисляем величины а также значения Г и (< 7/ 5) в точках с координатами при /= 1, 2, 3, 4 по формулам [c.58]

Решая методом Рунге - Кутты [122] систему уравнений (3.9) с учетом (3.8), (3.15) - (3.17), при заданных начальных условиях, получаем зависимости = Х0> Лс = Лс(0> а затем по формулам (3.18) и (3.19) вычисляем значения Хо и в каждый момент времени. [c.82]

Метод Рунге — Кутта непосредственно рассчитан на интегрирование систем вида (7.3.02) он наиболее удобен при применении ЭВМ. Для того чтобы начать вычисления, достаточно знать лишь начальные значения С80 = -кЛ о) искомых функций. Приведем сначала формулы для случая одного уравнения [c.668]

Пусть дано, например, одно уравнение (7.3.03). Пусть известны значения х 1о) — Ха, x t ) = x к = 1, 2, 3, 4), причем 4 = /о + кк. (Эти значения целесообразно вычислить по методу Рунге — Кутта.) Составляется таблица разностей для функции 1 х, 1)=кР х, () по известным значениям Хк, (Хк, ik)=fk к = О, 1, 2, 3, 4) (табл. 82). Значение х 1ъ)= хь находится с помощью разложения решения х 1) в ряд Тейлора в окрестности точки Требующиеся для этого производные функции х, () различных порядков в точке x , t ) выражаются с помощью формулы Ньютона для экстраполяции вперед. Это приводит к следующим выражениям [c.670]

Для первого цикла прилива решение начиналось с Д< = 30 с, а для второго цикла шаг был увеличен до 120 с. Эта величина согласуется со значением Д/, полученным по представленной выше формуле, которая дает 20 с для наихудшего элемента. Заметим, что приведенная формула основана на интегрировании по методу Эйлера и для схемы Рунге — Кутта четвертого порядка указанные значения шага по времени могут быть увеличены приблизительно в четыре раза. [c.220]

Ш жс. П6.4 представлена программа решения обьосновенного диффе-решдаального уравнения методом Рунге - Кутта. Расчетные формулы имеют вид [c.95]

Вычисление нач шьных значений /,, /2, /3 ( разгонка метода Лдамса) осуществляется методом Рунте - Кутта с помощью формул [c.72]

Метод Мерсона требует пяти вычислений правой части уравнения (против четырех при использовании формулы (3.18)), но эти затраты окупаются тем, что можно без повторных расчетов сказать, достигнута ли нужная степень точности и, если нет, то при каком шаге она будет достигнута. Кроме того, следует отметить, что требуемый объем памяти вычислительной машины не превышает тот, который необходим для вычисления формул (3.18). Таким образом, по-видимому, метод Мерсона является наиболее эффективным вариантом метода Рунге—Кутта. [c.103]

Решзние исходной задачи определяется по формуле (3.23), где l определяется по формуле (3.24) и j = 0. Функции у (х) и Уд х) могут быть найдены с достаточной степенью точности, например, методом Рунге—Кутта. [c.105]

При использовании формулы Адамса необходимо знать решение в ряде предшествующих узлов, и это снижает достоинство метода. Например, для того чтобы использовать формулы (1.49), (1.53) при решении задачи (1.30), необходимо каким-то образом вычислить у, у2, Уз, в частности используя методы типа Рунге —Кутта. Однако для этого в памяти ЭВМ нужно хранить дополнительную программу, которая нужна для вычисления решения лишь в трех точках. При использовании формулы Адамся определенные трудности логического характера вызывает такж изменение шага интегрирования в процессе решения задачи. [c.20]

Для случая Wi = onst на рис. 90 приведены графики (кривая )), полученные по формуле (7.27). Кроме того, показаны точки, отвечающие расчету по методу Рунге—Кутта на ЭВМ (кривая 2). [c.308]

Развитие авиации требовало создания теории крыла, и эта теория обязана своим возникновением фундаментальным работам Н. Е. Жуковского (1847—1921) и С. А. Чаплыгина (1869—1942). В 1906 г. Н. Е. Жуковский в Po iHi, а за рубежом Кутта п Ланчестер опубликовали теорему о подъемной силе крыла, а позднее Н. Е. Жуковский совместно с С. А. Чаплыгиным сформулировал постулат о плавном обтекании его задней кромки, позволивший вычислять циркуляцию скорости,, возникающую вокруг крылового профиля. Последующие публикации С. А. Чаплыгина и Н. Е. Жуковского по теории крыла уже к 1910—1911 гг. практически закончили цикл этих исследований, так как были даны не только формулы, но и методы построения крыловых профилей, названных в последствии именами их авторов. [c.11]

Доказано, что при основных и дополнительных начальных условиях решение системы дифференциальных уравнений (43) существует и является единственным [23]. Поэтому можно применять методы численного интегрирования. Широкое распространение получили одношаговые методы, особенно формулы Рунге—Кутта четвертой и второй степени [23. В последнее время применяют разностные формулы Адамса—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и дают возможность решать системы дифференциальных уравнений на длинных отрезках. [c.431]

Метод Кутта—Мерсона обладает значительной точностью и, несмотря на трудоемкость вычисления вектора правых частей по формулам (6.30), (6.31), будет широко использован в алгоритмах определения напряженно-деформированного состояния многослойных анюотропных оболочек. Методические исследования обсуждаемого метода, а также результаты тестовых расчетов можно найти в монографии [ 1.16]. [c.121]

Еще лучшую точность (погрешность nopi a О(АХ ) дают формулы 3-го порядка метода Рунге — Кутта [c.33]

И, наконец, погрешность 0(AX ) обеспечивают формулы 4-го порядка метода нге — Кутта, наиболее употре пельные среди которых принимают [c.33]

Наибольшее распространение при решении задач Коши (9.54), (9.55) получили различные варианты метода Рунге—Кутта. Здесь для интегрирования систем вида (9.54) с начальными условиями вида (9.55) используем модификацию Мерсона метода Рунге — Кутта. Решение в точке х h выразим через решение в точке X по формуле [c.155]

Далее no формулам (16.28)—(16.31) и (16.25) определяют скорости деформации как функции времени в интервале от 4 до tk+i для каждой точки оболочки и, задав изменения температуры Т (О и флюенса Ф (/), интегрируют уравнения состояния (16.12) в интервале от до 4+i отдельно для каждой точки. В результате получают вектор состояния zffi в каждой точке оболочки. Интегрирование уравнений состояния в каждой точке может быть выполнено с помощью метода Рунге — Кутта высокого порядка точности с автоматическим выбором шага интегрирования для обеспечения задаваемой погрешности. [c.282]

В результате численного интегрирования методом Рунге — Кутта уравнения (45) при данных граничных условиях были вычислены значения функций J o(l), i i(i) и Yzil) по значениям Р, принятым в расчетах. Ход изменений этих функций представлен на рис. 52, 53, 54. С помощью найденного представления этих функций могут быть вычислены распределения температур в потоке разреженного газа по заданным температурам стенки. Поддержание неравномерно заданных температур стенки в условиях стационарного теплообмена ее с обтекающим газом должно осуществляться соответствующим подогревом стенки тепловыми источниками. Мощность этих источников может быть вычислена по температурному полю газа. Таким же путем могут быть вычислены коэффициенты теплообмена, необходимые для практических расчетов, но в этом случае нужно произвести еще один пересчет. Решение тепловой задачи получено в функции обобщенных переменных Блазиуса х и . Для физической интерпретации решения необходимо установить соответствие между переменными Блазиуса и физическими координатами х и у. Такое соответствие должно устанавливаться формулой (32), разрешаемой относительно координаты обтекающего стенку разреженного газа. Расчеты должны быть произведены при [c.321]

Два процесса ведут к изменению интеграла столкновений. С одной стороны, в данную точку пространства приходят молекулы из других областей течения. Если L — характерный размер течения и —характерная скорость молекул, характерным временем этого процесса будет 1 = 1Ц. С другой стороны, если бы даже функция распределения была однородной по пространству, то она изменялась бы в результате столкновений молекул. Характерным временем этого процесса является время релаксации, или время между столкновениями молекул, где Л—характерная длина пробега молекул. Поэтому At должно быть меньше минимального из времен , и 02, и вычислительный процесс, определяемый формулой (14.3), практически применим лишь при не слишком малых числах Кнудсена. Процесс (14.3) аналогичен простейшему методу Эйлера численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя более сложные аппроксимации интеграла столкновений, легко построить аналоги более точных методов, типа, скажем, Рунге—Кутта. [c.222]

Большую точшюсть при малом шаге Л дают разностные уравнения, аппроксимирующие решения миогочленами бол1ее высоких степеней, чем первая. Например, одна из наиболее употребительных формул метода Рунге—Кутта так задает вершину ломаной [c.20]

Далее по формулам (2.143), (2.144), (2.146), (2.147) и (2.150) определяем значения коэффициентов 0,3. Интегрируя по толщине от —Ао/2 до Ао/2, например, методом Кутта — Мерсона, находим жесткостные пластические добавки А., 0. у [c.62]

Наибольшее распространение в практике нашли различные варианты метода Рунге — Кутта четвертого порядка. В приведенных ниже алгоритмах используется модификация метода Рунге — Кутта, предложенная Мерсоном [44]. Решение в каждой последующей точке вычисляем по формуле [c.83]

Данный метод (как и любой одношаговый) позволяет производить интегрирование как с постоянным, так и с переменным шагом. В последнем случае шаг определяется автоматически по заданной точности. Методическая погрешность метода Кутта — Мерсона задается формулой [c.83]

Для задания граничных условий в точках А н F (см. рис. 5.6) необходимо ввести массив чисел Г[1 8], содержащий величины Yi (i=l,. .., 8), соответствующие формулам (7.3) и (7.4). Необходимо также задать параметр plo , означающий число шагов интегрирования методом Кутта — Мерсона в интервале между двумя соседними точками ортогонализации. [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...