Закон Гука второй

Здесь р = р - Ро, р = Р - Ро, Со = (Эр/Эр)д р . Первый член разложения соответствует закону Гука, второй учитывает нелинейность среды. [c.7]

Согласно второй гипотезе (азз=0) каждый слой пластины бесконечно малой толщины находится в условиях плоского напряженного состояния. Поэтому на основании закона Гука [c.187]

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144]

Как уже ранее упоминалось, такой статической неопределенности можно избежать, только вводя дополнительные допущения о физических свойствах сплощной среды, например о ее упругости, подчиняющейся закону Гука о пропорциональности тензора напряжений тензору деформаций. Об этом тензора пойдет речь в конце второго отдела настоящего курса, посвященного кинематике. [c.139]

Уравнения закона Гука для плоского напряженного состояния согласно второй гипотезе имеют вид [c.169]

Уравнение Леви легко вывести, если условие неразрывности при помощи закона Гука выразить в напряжениях и дополнительно воспользоваться уравнениями равновесия (2.3.1) продифференцировав первое из которых по х, а второе по у, и затем их сложить. [c.35]

По аналогии с законом Гука для линейной деформации дается закон Гука, аля угловой деформации (при сдвиге). Разъясняется физический смысл модуля сдвига О как физической постоянной материала, характеризующей его жесткость при сдвиге. В учебной литературе и в практике преподавания для величины О применяют различные наименования модуль сдвига, модуль упругости при сдвиге, модуль упругости второго рода. Не отрицая возможности применения любого из этих терминов, будем пользоваться первым из них как рекомендованным Комитетом технической терминологии АН СССР. [c.103]

В качестве второй полезна задача 5.20 или 5.21 [15]. В ней не только вновь применяется формула для нормальных напряжений при изгибе, но и используется закон Гука при линейной деформации, что способствует лучшему пониманию теории изгиба. Кроме того, эта задача служит как бы введением к лабораторной работе по определению нормальных напряжений при изгибе. Аналогичны указанным задачи 140 и 141 [1]. [c.132]

Последний вопрос этой главы — энгармонизм и его проявления. Выше мы рассматривали колебания атомов, теплоемкость и основы теории упругости в гармоническом приближении, для которого выполняется закон Гука и в разложении энергии сохраняются лишь члены со вторыми производными и по межатомным расстояниям. [c.226]

Формула (6.6.1) носит название закона Гука при сдвиге. Величина О, имеющая размерность напряжения, называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода. [c.82]

Ранее установлено, что степень нагруженности растягиваемого стержня любого размера следует связывать с нормальным напряжением о в поперечном сечении. С возрастанием величины а материал конструкционного элемента последовательно проходит стадию упругого деформирования (с соблюдением закона Гука), стадию упругопластического деформирования и стадию разрушения. Границей между первой и второй стадиями служит состояние предельной упругости, когда напряжение равно пределу текучести, т. е. имеем условие [c.133]

Во второй главе дается довольно компактное изложение основных положений теории упругости (вектор смещений, тензор напряжений и тензор деформаций, закон Гука, уравнения равновесия и совместности деформаций). [c.7]

Опытная проверка этой теории указывает на согласующиеся в ряде случаев результаты лишь для хрупкого состояния материала (например, для легированного чугуна и высокопрочных сталей после низкого отпуска). Отметим также, что применение второй теории прочности в виде (7.5) недопустимо для материалов, не следующих закону Гука или находящихся за пределами пропорциональности. [c.203]

Когда из вышеприведенных уравнений найдены компоненты напряжения, можно получить компоненты деформации, используя закон Гука (формулы (3) и (6)). Затем для определения перемещений и, v, w можно использовать соотношения (2). Дифференцируя соотношения (2) по х, у, г, можно получить 18 уравнений, содержащих 18 вторых производных от и, у, w, ил которых можно определить все эти производные. Например, для компоненты перемещения и получаем [c.249]

Второе и третье предположения позволят в дальнейшем записать уравнения закона Гука в наиболее простом виде. [c.9]

Задачи, в которых справедлив закон Гука в первой форме, называются линейными. Во второй форме закон Гука дан в 1.7. Физическим обоснованием как закона Гука в силах и перемещениях, так и обобщенного закона Гука служит прямо пропорциональная зависимость А/, = — САг , приведенная в 1.4. [c.29]

Итак, мы доказали, что для упругого тела, следующего закону Гука, работа усилий, вызванных действием сил первого состояния, на перемещениях, вызванных действием сил второго состояния, равна работе усилий, вызванных действием сил второго состояния, на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния. [c.45]

Для описания нелинейной зависимости, характеризующей свойства пластически деформируемых материалов, лучше отказаться от искусственных аналитических вы -ражений, претендующих на описание всей диаграммы монотонного нагружения, а воспользоваться упрощенной схемой, показанной на рис. 112, а. Эта диаграмма содержит всего два участка, описанных прямыми с различными углами наклона. Первый участок соответствует условиям применения закона Гука, а второй — упрощенно [c.138]

Воспользуемся законом Гука, записав его в форме, разрешенной относительно напряжений. На основании второго из уравнений [c.182]

Если у достаточно мала и время не очень велико, то второй член правой части в формуле (6.33) можно отбросить и тогда е а а Е. Таким образом, закон Гука можно считать частным случаем соотношения (6.33), имеющим место при у а 0. [c.162]

Второе уравнение получаем, используя закон Гука, связывающий упругие деформации с напряжениями [c.286]

Цель опыта состоит в проверке закона Гука при кручении и определении модуля упругости второго рода. [c.128]

На диаграмме растяжения при механических испытаниях образцов на разрыв (рис. 7-2) имеются четыре зоны. В первой зоне ОА сила Р, приложенная к образцу, пропорциональна удлинению А1. В этой зоне действует закон Гука и для нее определяется модуль упругости материала. Во второй зоне АВ, зоне текучести, длина образца изменяется без заметного изменения нагрузки. Третья зона ВС называется зоной упрочнения, так как в этой зоне удлинение сопровождается возрастанием нагрузки. Последнюю зону D называют зоной до-лома. [c.125]

Закон Гука, вытекающий из гармонического приближения, является законом приближенным и выполняется постольку, поскольку выполняется само гармоническое приближение, т. е. для малых относительных деформаций. При непрерывном увеличении внешней нагрузки растут напряжения о и деформация е (рис. 1.27). При некотором напряжении о, характерном для каждого материала, наблюдается или разрушение кристалла, или возникновение остаточной пластической) деформации, не исчезающей после снятия внешней нагрузки. В первом случае материал является хрупким, во втором — пластичным. Напряжение а , при котором происходит течение тела, называется пределом текучести. [c.37]

В общем случае анизотропии для описания закона Гука необходимо знать 36 упругих постоянных материала, из которых 21 будет независимой постоянной вследствие существования упругого потенциала. При этом упругий потенциал является функцией второй степени, инвариантной по отношению к любой координатной системе, тогда = с,- . [c.20]

В самом деле, нелинейность может иметь двоякое происхождение либо она возникает вследствие существенных изменений формы тела в процессе нагружения, либо же она связана с тем, что материал не следует закону Гука. В нервом случае из нелинейности между перемещениями и силами вытекает неприменимость правила относительной жесткости. Во втором случае такого вывода сделать нельзя. Материал может не следовать закону Гука, но если изменение формы несущественно, к системе полностью применимо это правило. [c.54]

Первое из них состоит в усилении органической связи вопросов теории сплошных сред с традиционными вопросами собственно курса сопротивления материалов. С этой целью во втором отделе излагаются теория напряжений (глава V), теория деформаций (глава VI), закон Гука и элементы реологии (глава УП) и условия пластичности (глава VHI — предельное состояние материала в локальной области) в объеме, достаточном для дальнейшего изложения механики сплошных твердых деформируемых тел. К тому, что обычно дается по этим вопросам в курсе сопротивления материалов, пришлось добавить очень немного для того, чтобы иметь возможность в дальнейшем к ним уже не возвращаться. [c.12]

Рассмотрим первые три уравнения закона Гука (7.23). Вычтем ИЗ первого второе, из второго — третье и из третьего — первое, в результате будем иметь [c.507]

Представим себе, что полное напряжение о является суммой двух частей, первая из которых, o, вызывает упругую деформацию, а вторая, а", вязкую деформацию. Если с деформацией напряжение о связано законом Гука, а а" — законом Ньютона, то из условия [c.756]

Использование физической зависимости. Чтобы использовать уравнения (12.3) и (12.5) совместно, их нужно выразить через одно и то же неизвестное с этой целью воспользуемся связью между сг и е , даваемую уравнением закона Гука, которое с учетом второй гипотезы, как уже указывалось выше, приобретает вид [c.106]

Первые слагаемые правых частей уравнений (VII.1) —деформации, возникающие под действием внешних нагрузок. Эти деформации евязаны с напряженияйи по обобщенному закону Гука.. Вторые слагаемые правых частей уравнений (VII. ) —равномерное расширение. Все оетальные формулы теории упругоети остаются без изменений. Относительное объемное расширение, учитывая (VII.I) [c.92]

Выше мы видели, что однородное напряжение и однородная бесконечно малая деформация описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами деформации ezj и девятью компонентами напряжения Oij. Если de opj iatj,UH бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных твердых тел. Математический закон Гука для монокристаллов запишется либо как [c.125]

Рассмотрим еще один конкретный пример, из которого можно будет вывести общее заключение. Две разные пружины соединены своими концами в точке О. Второй конец одной из пружин закреплен, а на второй конец другой пружины действует сила F, изменяющаяся так, что происходит медленное растяжение пружии (рнс. 62). Положим, что обе пружины подчиняются закону Гука, причем коэффициешы упругости их и различны. В каждый момент и,в частности, в конечном состоянии силы, действующие со стороны пружин друг на друга, равны. Поэтому k Xi = k x. , где и — соответственные растяжения пружин. Отсюда xjx = kjki. Потенциальная [c.131]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Кроме кинофильмов выпускаются кинофрагменты—-немые ролики для 5-минутной демонстрации с минимальным количеством титров. Все комментарии при их показе дает преподаватель. Кинофрагменты поступают в полное распоряжение техникумов от заказавших их министерств и ведомств. По сопротивлению материалов к настоящему времени выпущены следующие кинофрагменты Метод сечений , Напряжения, линейные и угловые деформации , Статически неопределимые системы , Заклепочные соединения , Напряж енное состояние при кручении , Внутренние силовые факторы при поперечном изгибе , Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов , Жесткость при изгибе , Косой изгиб , Изгиб с растяжением , Гипотезы прочности , Применение гипотез прочности , Обобщенный закон Гука , Контактные деформации напряжения (две части, первая посвящена точечному контакту, вторая — линейному) и др. [c.34]

На втором допущении надо остановиться несколько подробнее, так как нередки ошибки, связанные с его изложением. Это допущение о линейной зависимости между перемещением и силами, его вызывающими, или допущение о линейной деформируемости системы. Нередко это допущение отождествляют с законом Гука, но это верно только в историческом аспекте. В настоящее время закон Гука трактуется как закон, описывающий поведение не конструкции, а ее материала, закорг, устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями (а не силами и перемещениями). Мы упоминаем об истории вопроса потому, что сам Гук действительно говорил (выражаясь современным языком) о линейной деформируемости стержня или пружины. Нетрудно представить, скажем, стальную плоскую пружину малой жесткости. При ее нагружении в пределах пропорциональности перемещения будут велики и нелинейно связаны с вызывающей их силой, в то же время материал пружины будет работать в пределах справедливости закона Гука. Итак, в качестве второго допущения надо формулировать принцип линейной деформируемости, не упоминая о законе Гука сведения о нем будут даны в теме Растяжение . [c.54]

Вывод, как известно, базируется на гипотезе Бернулли и допущении о ненадавливании волокон. О втором допущении иногда забывают, и тогда применение закона Гука для одноосной линейной деформации становится необоснованным. Конечно, учащиеся могут не обратить внимания на это упущение в выводе, но пре- [c.128]

Таким образом, упругий потенциал представляет собой однородную функцию второй степени относительно компонент деформации. Заметим, что закон Гука можно было бы а рг1ог1 определить как такое соотношение между напряжениями и деформациями, при котором упругий потенциал представляет собой однородную квадратичную функцию. [c.220]

В выражение для полной потенциальной энергии, представленное с учетом приведенных выше постулатов 1) и 2) членами в скобках в (137 ), не входят приращения второго порядка от массовых н поверхностных сил. Приращения первого порядка обращаются в нуль, так как действительные перемещения а, v, W в этом виде возмущения можно принять за виртуальные. Поскольку приращение второго порядка должно быть положительным, состояние является устойчивым в определенном здесь смысле. Мы увидим, что этот вывод связан с использовг.нием закона Гука, а также постулатов 1) и 2) ). Для нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями возможны приращения порядка выше двух. [c.263]

Различие между этими разделами механики состоит, во-первых, в рассматриваемых объектах (так, например, в курсе сопротивления материалов рассматривается главным образом брус, в теории упругости помимо бруса изучаются нанряжеиное и деформированное состояния пластин, оболочек, массива, а в строительной механике объектами изучения являются системы, состоящие из стержней (фермы), балок (рамы), пластин и оболочек) во-вторых, в принимаемых допущениях (теории упругости, пластичности и ползучести отличаются друг от друга тем, что в них принимаются различные физические законы, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, но не вводится каких-либо деформационных гипотез, а в сопротивлении материалов физический закон тот же, что и в теории упругости (закон Гука), но, кроме того, принимается дополнительно ряд допущений — гипотеза плоских сечений, ненадавлпвания волокон и т. д.) в-третьих, в методах, используемых для решения задач (в теории упругости приходится решать существенно более слопшые уравнения, чем в сопротивлении материалов, и для их решения приходится прибегать к более сложным математическим методам). [c.7]

При вычислении констант слоистой модели трехмерноармированного композиционного материала применяют два подхода. В первом из них используют обобщенный закон Гука для ортотропного слоистого материала в случае трехмерного деформирования. Исходя из условия равенства послое-вых деформаций, параллельных плоскости слоев (условия Фойгта), и равенства напряжений, перпендикулярных плоскости слоев (условия Рейсса), вычисляют все константы материала. Во втором подходе [4] используют зависимости, в которых напряжения Oft, перпендикулярные плоскости слоев 1/, не учитывают, что следует из условий плоской задачи. Тогда свойства материала в направлении k следует рассчитывать при сведении трехмерной структуры к слоистой, но [c.121]

Учтем, во-первых, что на диаграмме вдоль оси ординат откладываются Ттах — максимальные касательные напряжения, а вдоль оси абсцисс эквивалентные по второй теории напряжения, во-вторых, то, что рассматривается простое нагружение, при котором компоненты напряжений растут пропорционально одному общему для всех них параметру. Тогда каждое напряженное состояние на диаграмме может быть охарактеризовано в пределах закона Гука, т. е. до Тшах = т цЯ Тт, прямой линией, проходящей через начало координат. При этом тангенс угла наклона этой линии равен а. Допуская определенную погрешность, Я. Б. Фридман предложил охарактеризовывать этой прямой напряженное состояние в точке и за пределом пропорциональности, т. е. во всем диапазоне измй нения нагрузок и напряжений. [c.552]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...