Переменные канонические инвариантность

Преобразование канонических переменных, сохраняющее инвариантными канонические уравнения движения, называется каноническим преобразованием. [c.353]

Так как при столь общих преобразованиях, как (41.9), величины утрачивают свое первоначальное значение обобщенных импульсов, то величины Р/г, Qk лучше назвать каноническими переменными в этом случае говорят, что и Qk являются канонически сопряженными . Уравнения Гамильтона, вследствие их инвариантности относительно этих преобразований, называются также каноническими дифференциальными уравнениями . [c.294]

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона Я в новой системе координат, после того как qt,pi выразятся через новые переменные Q,-. Pi, будет иметь тот же вид, что и функция Н в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона Н инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3). [c.229]

Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Следовательно, хотя мы и изменили канонический интеграл, это изменение свелось лишь к добавлению некоторой константы. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. Это означает, что канонические уравнения движения остаются инвариантными относительно преобразования (7.4.1). [c.238]

Предположим, что мы сумели найти такое преобразование. Тогда канонические уравнения в новой системе координат легко проинтегрировать. Поскольку функция Гамильтона Н инвариантна относительно канонического преобразования, в новой системе функция Гамильтона Н равна Qn- Это означает, что в новой системе координат все переменные циклические - и можно произвести полное интегрирование уравнений движения. [c.266]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Заслуживает внимания то обстоятельство, что с теоретической точки зрения рассмотренный в п. 53 случай оказывается только более общим случаем Рауса, разобранным в предыдущем пункте. Действительно, как это доказывается в теории преобразований прикосновения, инвариантные соотношения (105), находящиеся в инволюции, можно всегда привести надлежащим (вполне) каноническим преобразованием переменных р, q к простейшему виду [c.326]

Для классической механики основной группой преобразований являются канонические преобразования. Группу преобразований можно определить либо посредством бесконечно малых преобразований, либо посредством инвариантов этой группы. Первый способ, в котором задаются бесконечно малые изменения канонических переменных q , р, при бесконечно малом каноническом преобразовании, выражен уравнениями Гамильтона, второй—инвариантностью действия. [c.877]

Теперь мы покажем, что скобки, которые до сих пор были определены через канонические переменные специального вида pf, и q , инвариантны относительно канонических преобразований. Мы проведем доказательство для скобок Пуассона другими словами, мы хотим доказать [c.135]

Как известно, скобки Пуассона инвариантны относительно преобразования канонических переменных qi и Pi, которое оставляет неизменным вид уравнений Гамильтона. Лля скобок Пуассона имеем следующие свойства [c.466]

Для системы (6), имеющей интегральный инвариант вида (3), также известно обратное утверждение инвариантность интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона [25]. Однако теперь ситуация является более сложной, поскольку в интегральном инварианте используется ещё одна пара сопряжённых переменных. Наличие в интегральном инварианте (3) функции Н и условие, что система имеет вид (7) с гамильтонианом Н, дают лишь тривиальный случай по совпадению. Причины, по которым доказательство обратного утверждения для интегрального инварианта Пуанкаре-Картана, приведённое в [25], мы не считаем убедительным, будут отмечены ниже. [c.227]

В окрестности каждого п-мерного инвариантного тора вполне интегрируемой гамильтоновой системы с п степенями свободы можно ввести канонические переменные действие — угол /j,... V i,...,(pn mod 2тг, в которых функция Гамильтона Н зависит лишь от I. В этих переменных уравнения Гамильтона принимают следующий простой вид [c.13]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

ИНВАРИАНТНОСТЬ КАНОНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 525 [c.525]

Инвариантность канонических переменных [c.525]

Найдем условие каноничности преобразования (9.154). Из определения канонических преобразований следует, что как в старых переменных д, р, так и в новых переменных О, уравнения движения должны иметь каноническую форму. Следовательно, и в старых , и в новых переменных должны выполняться условия инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана (9.127) [c.428]

А. Замены переменных в канонических уравнениях. Из инвариантности связи формы pdq — Hdt с ее линиями ротора вытекает способ писать уравнения движения в любой системе 2п 1 координат в расширенном фазовом пространстве р, q, i) . [c.211]

В 28 показано, что уравнения Лагранжа (28.11) инвариантны относительно точечного преобразования (28.17), связывающего любые два набора обобщенных координат системы д, Q. Разумеется, что при любом преобразовании (28.17) сохраняют свою форму и канонические уравнения движения (33.4). Однако уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в методе Гамильтона роль независимых переменных наряду с обобщенными координатами выполняют и обобщенные импульсы р . Поэтому преобразования, сохраняющие форму канонических уравнений движения (33.4), относятся к классу преобразований [c.198]

Определение наиболее вероятного распределения инвариантно относительно канонического преобразования переменных р, д), так как и макроскопические условия, и элемент объема й рй д инвариантны относительно канонических преобразований. [c.93]

Для того чтобы представить инвариантные многообразия (2.3) в канонических переменных, введем в качестве обобщенных координат углы Эйлера в,1р,ф ( 5 главы I). Они однозначно определяют положение главных осей инерции твердого тела относительно неподвижного трехгранника. [c.156]

Учитывая (2.3) и (2.7), из (2.6) получаем окончательный вид инвариантных многообразий в канонических переменных [c.157]

Уравнения Гамильтона инвариантны не только по отношению к преобразованиям переменных, о которых уже была речь, но и по отношению к так называемым каноническим преобразованиям, которые играют важную роль при изучении консервативных систем со многими степенями свободы. [c.143]

Вопросы, связанные с интегралами уравнений движения, будут полнее рассмотрены в следующей главе —для этой цели удобнее записывать уравнения в канонической форме. Здесь же, в заключение, мы рассмотрим способ получения интегралов, основанный на инвариантности функций Лагранжа относительно бесконечно малых преобразований переменных. [c.233]

Поэтому естественно поставить задачу о разыскании такого преобразования канонических переменных, которое, оставАяя инвариантной форму канонических уравнений (а), превращало бы все координаты в циклические. Если такое преобразование будет найдено, то задача интегрирования системы канонических уравнений будет приведена к квадратурам. Покажем, как можно найти такое преобразование. [c.353]

Все дальнейшие рассуждения будут аналогичны рассуждениям предыдущего пункта. Инвариантность дифференциальной формы гарантирует инвариантность канонических уравнений и снова функция Гамильтона Н оказывается инвариантом преобразования. Более того, мы снова можем включить время t в число позиционных координат. .., qn в качестве дополнительной переменной, перейдя к параметрической форме канонических уравнений. В результате получим реономиую форму преобразований Матье, характеризуемую инвариантностью дифференциальной формы [c.236]

Поскольку инвариантность циркуляции, взятой вдоль любой замкнутой кривой L, является характерным свойством канонических преобразований, это же свойство может быть выражено как инвариантность скобок Лагранжа [и, v] каноническими яв.шотся те преобразования от переменных <7/. Pi Qi Pi которые оставляют инвариантными скобки Лагранжа, независимо от того, как qi, pi зависят от и и V. Смысл этой инвариантности состоит в том, что, заменив координаты qi, pi в результате канонического преобразования координатами Q,-, Pi и образовав затем скобки Лагранжа в новой системе координат, мы получим то же самое значение, что и раньше. [c.246]

Резюме. Заданная производяш,ая функция определяет каноническое преобразование в неявной форме. Хотя и не существует формул, которые бы задавали каноническое преобразование в явном виде, однако относительно любого конкретного преобразования можно выяснить, является ли оно каноническим. Для этой цели могут быть использованы скобки Лагранжа или Пуассона. Эти скобки тесно связаны с каноническими преобразованиями. Каноническими являются те преобразования сопряженных переменных, которые оставляют инвариантными любые скобки Лагранжа или Пуассона. [c.249]

Важность скобок Пуассона определяется тем, что они инвариантны по отношению к касательным преобразованиям, т. е. к таким преобразованиям канонических переменных, которые оставляют уравнения движения неизменными. В силу этого уравнения движения могут быть выражены посредством скобок Пуассона. Условия того, чтобы преобразование, преобразующее одну систему переменных в другую, было касательным, могут быть написаны с помощью скобок Пуассона следующим образом [c.832]

В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме эти преобразования были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы особенно внимательно займемся преобразованиями TiHia (5.220b). Смысл всех этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических переменных (скажем, а,,) и совсем не содержит переменных другой совокупности (Р ). Если ыы получили такой гамильтониан Я(а ), уравнения движения приобретают вид [c.153]

Заметим, что формула (3.5.1), вьфажающая условие трансляционной инвариантности, справедлива для системы частиц, описываемой только такими каноническими переменными, для которых определяет положение i-й частицы в пространстве. При другом выборе канонических переменных, а также для других типов систем рассматриваемое условие будет иметь другую форму. [c.102]

В то же время, поскольку изменение во времени динамитеских переменных является одним из частных случаев канонического преобразования и так как скобки Пуассона инвариантны [3] относительно канонических преобразований ), то, имея в виду формулу (50.15), можно записать формулу (50.16) в следующем виде [c.204]

Критерий инвариантности потенциала V относительно действия группы 5 — постоянство проекции кинетического момента на ось / М = -f /20)272 -f = oast. В канонических переменных [c.36]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Начнем с выбора вектора и = и>1,. .., и ), который лежит в области изменения Ну (у) при у е Э и удовлетворяет условию (21). Су-ш ествование такого вектора доказывается при условии д п с помо-ш ью рассуждений из теории меры, подобных проведенным в конце 25. Можно считать, что (0) = к = 1, , п), поскольку подходяш им сдвигом координаты у этого всегда можно добиться. Чтобы найти искомый инвариантный тор, мы построим каноническое преобразование, которое преобразует переменные (ж, у) в ( , г ) и тор (22) в тор г] = 0. А именно зададим искомое каноническое преобразование с помогцью производягцей функции 8 х, г] е) равенствами [c.347]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...