ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Эйлера—Пуанкаре из "Общая теория вихрей " Коэффициенты — функции от точки х е М. [c.146] Уравнения (1.4) получены впервые Анри Пуанкаре в 1901 г. [76]. Если операторы дифференцирования Хк имеют вид (1.3), то уравнения Пуанкаре перейдут в обычные уравнения Лагранжа. Следует иметь в виду, что система уравнений (1.4) незамкнута для ее замыкания надо добавить соотношения (1.2). [c.147] Учитывая покомпонентную запись соотношения (1.2) Xs = aks k, 1 S и. [c.147] Наконец, с учетом (1.6) получаем уравнения Пуанкаре (1.4). [c.148] Они называются уравнениями Четаева [66]. [c.148] Для нас основным примером будет группа 80(3) — группа поворотов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная 3 х 3-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность — многообразие 50(3). С топологической точки зрения — это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось ( 5 главы I), группа 50(3) — конфигурационное пространство в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.149] Согласно условию (б), Ф — гладкое отображение группы С на себя. Ясно, что Ф = Фр-1 — тоже гладкое отображение (условие (а)). Следовательно, Фр — диффеоморфизм и поэтому его дифференциал йФ есть изоморфизм касательных пространств Т и Т -. [c.149] Алгебра g называется алгеброй Ли группы G. [c.150] Если VI. Vk — набор линейно независимых левоинвариантных векторных полей на G, то в равенстве (1.1) коэффициенты будут постоянными. Они называются структурными постоянными алгебры Ли. Очевидно, = — jj. [c.150] Аналогично определяются правоинвариантные векторные поля на группе Ли G, которые переходят в себя при всех правых сдвигах группы G. Легко проверить что линейное пространство правоинвариантных полей с операцией коммутирования является алгеброй, изоморфной алгебре Ли группы G. [c.150] Более подробно с этими вопросами можно познакомиться, например, по книге Шевалье [61]. Изложение, ориентированное на применение к дифференциальным уравнениям, см. в [49]. [c.150] При левом сдвиге х zx t) кривая (1.9) перейдет в кривую t zx t). Ее производная при i = О равна zA. Следовательно, при этом сдвиге вектор А из Те перейдет в вектор zA, касательный к GL в точке 2 . [c.151] Пусть г zB — еще одно левоинвариантное векторное поле. Их коммутатор в точке z = е равен, очевидно, [А, В = В А — АВ. Следовательно, алгебра Ли gl n) изоморфна пространству всех вещественных п X и-матриц с естественным законом коммутирования. [c.151] Алгебра gl n) играет важную роль в теории алгебр Ли. Согласно теореме Адо, каждая алгебра Ли изоморфна некоторой подалгебре gl n) при подходящем выборе п. [c.151] Пусть Z Az Vi Z Bz — два правоинвариантных векторных поля на GL. Их коммутатор равен АВ - ВА он отличается только знаком от [А, В]. [c.151] Важное значение с точки зрения приложений играет специальная ортогональная группа SO n), состоящая из ортогональных п х п-матриц с определителем -Ы. Ясно, что SO n) с GL n), so n) с gl n), и dim (SO(n)) = п(п - 1)/2. [c.151] Группа 50(3) — конфигурационное пространство задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки все положения тела можно получить из некоторого его фиксированного положения с помощью поворотов. Вращение твердого тела задается функцией t x t), где X — ортогональная матрица из 50(3). Скорость вращения x t) есть касательный вектор к группе в точке x t). Его можно перенести в единицу группы (то есть в алгебру so(3)) двумя естественными способами левым и правым сдвигом. В результате мы получили две кососимметричные матрицы х х и хх . [c.152] В трехмерном ориентированном пространстве кососимметрический оператор хх есть оператор векторного умножения fi х ( ). В результате получаем формулу Эйлера V = U х R. Вектор fi называется вектором угловой скорости в неподвижном пространстве. Таким образом, правоинвариантные векторные поля на 50(3) соответствуют вращениям твердого тела с постоянной угловой скоростью вокруг оси, фиксированной в неподвижном пространстве. [c.152] Ортогональное преобразование с матрицей х переводит твердое тело в начальное положение. Следовательно, v t) = x t)V t) — скорость точки тела в подвижной системе отчета, связанной с твердым телом. Таким образом, v = х хг = ш х г, где ш — вектор угловой скорости, а г = x t)R t) = Д(0) — радиус-вектор точки тела в подвижном пространстве. Отсюда вытекает, что левоинвариантные поля на 50(3) отвечают вращениям твердого тела с угловой скоростью, постоянной в подвижном пространстве. [c.152] С точки зрения динамики эта метрика определяется кинетической энергией Т и задает инерционные свойства системы Т = (ж, ж)/2. [c.153] Вернуться к основной статье