Теорема взаимности Бетти вторая

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил. [c.211]

Рассмотрим четные итерации, в которых энергия деформации тела V складывается из работы сил на всей поверхности тела LUS. Итерационный процесс (3.15) минимизирует на S работу реакций на заданных из постановки задачи перемещениях 5 = и. Покажем уменьшение работы реакции на S при переходе от нулевой итерации (и =0,m s =u, p g =P5,M i =tPi, P l =0) ко второй (л = 2, Is = u, p s =Р5,м1л = ,pli =pi)- Из теоремы взаимности Бетти для этих двух состояний следует [c.75]

Формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872). Рассматриваются два состояния равновесия линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По векторам перемещений и, и", задающих эти состояния, определяются тензоры деформации [c.167]

С теоремой Клапейрона тесно связана и теорема взаимности Бетти. Пусть оболочка находится в равновесии под действием некоторой системы внешних сил. Эти силы, а также отвечающие им усилия и моменты, снабдим значком < >. Введем другую аналогичную систему величин, снабжая ее значком <2). Подсчитаем работу внешних сил первой системы на перемещениях второй [c.320]

Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам достаточно было воспользоваться простыми физическими соображениями и приемом введения фиктивной системы в неограниченной области, то прямой метод требует более изощренного подхода, который оказывается тесно связанным с использованием интегральных тождеств [7], например второй формулы Грина — уравнение (2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются те же самые фундаментальные решения для неограниченной области. [c.50]

Работа сил первого состояния системы на перемещениях во втором состоянии ее равна работе сил второго состояния на перемещениях в первом состоянии (теорема взаимности Бетти-Максвелла). [c.155]

Широкое применение в исследовании статически неопределимых систем получили линии влияния. Построение их основано на теореме взаимности, доказанной Максвеллом для простого случая двух сил общее доказательство этой теоремы было дано позднее итальянским ученым Бетти ). Лорд Рэлей распространил теорему также и на колебания упругих систем ), доказав, что если сила гармонического типа с заданными амплитудами и периодом действует на систему в точке Р, то получающееся в результате этого воздействия перемещение во второй точке Q будет иметь ту же амплитуду и ту же фазу, что и перемещение в точке Р, если бы сила была приложена в Q. Отсюда он вывел теорему взаимности для статических условий как частный случай, в котором сила имеет бесконечно большой период ). В этой работе Рэлей пользуется понятиями обобщенной силы и соответствующего обобщенного перемещения, рассматривая силу и пару, в обычном смысле, как частные случаи. Он сопровождает это обобщение следующим замечанием Для тех, кому понятие обобщенных координат представляется недостаточно отчетливым, здесь можно привести доказательство более специального случая этой общей теории... . Рэлей подтвердил правильность своей теоремы опытами и, производя их для балки, получил линию влияния для прогиба в заданном поперечном сечении. Это— первый случай построения линии влияния экспериментальным путем. [c.383]

Таким образом, работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния. Этот вывод носит название теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти). [c.432]

Равенства (10.7) выражают теорему Бетти о взаимности работ. Согласно этой теореме работа первой силы на перемещении по ее направлению от действия второй силы равна работе второй силы на перемещении по ее направлению от действия первой силы. Теорему Бетти можно обобщить на случай произвольного нагружения упругой системы. [c.208]

Понятие особенностей, определяемых силовым тензором, было использовано Лауричелла (1895) для представления компонент тензора деформации упругого тела через внешние силы. Вывод формул Лауричелла основан на применении теоремы взаимности Бетти к двум состояниям 1) первое состояние создается поверхностными силами F (при отсутствии объемных), причем через и, Т обозначаются вектор перемещения и тензор напряжения в этом состоянии 2) второе состояние и, Т задается а) действием в точке Q силового тензора, определяющего вектор перемещения и тензор напряжения Т и и б) наложением на это действие напряженного состояния Нг, Та снимающего нагружение поверхности О тела. Вектор перемещения в этом состоянии и тензор напряжения равны [c.212]

Применим к этим двум состояниям теорему Бетти о взаимности виртуальных работ. Согласно этой теореме, работа сил первого состояния (т1А110)",т2А21а)") на перемещениях второго состояния (А12,А22) равна [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...