Дифференцирование обобщенных функций

Дифференцирование обобщенных функций. По определению производной обобщенной [c.118]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. Покажем, что обобщенные функции дифференцируемы неограниченное числО раз. [c.31]

Как выполняется дифференцирование обобщенных функций [c.33]

Г. Дифференцирование обобщенных функций. С ис- [c.365]

Если этот интеграл существует для всех X из спектрального интервала Л, то функция Р (Я.) считается дифференцируемой в Л. С учетом тех особенностей ядра г) для сферических рассеивающих частиц, о которых речь шла выше, выражение (4.10) лишено практического смысла. Слабая сходимость исходных рядов (1.64) не может гарантировать сходимости рядов, получаемых из них путем дифференцирования для любой пары значений X и г. В связи с этим для производной от полидисперсного интеграла необходимо ввести иное определение. Это нетрудно сделать по аналогии с теорией дифференцирования обобщенных функций, если полагать, что распределение s r) вполне регулярно в области своего определения и обладает суммируемой, по Риману, производной. [c.243]

При целых значениях у операция, определенная с помощью (3.30), (3.31) соответствует обычному дифференцированию обобщенной функции g(/) при = 0,1,2,3.... и кратному интегрированию для целых отрицательных значений у [27]. Для неё при любых действительных у,и выполняется обычный закон композиции В g = [27]. [c.140]

Обобщенные координаты системы qi, q2,. .., q., являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки и,- определяется по правилу дифференцирования сложной функции [c.340]

Предположим, что обобщенные силы можно получить дифференцированием некоторой функции П( , г), называемой потенциальной энергией [c.13]

С другой стороны, д1 /дд1 есть сложная функция времени, которая зависит от него не только явно, но и через обобщенные координаты. По правилу дифференцирования сложных функций имеем [c.394]

Уравнения (9,4) и (9,5) называют дифференциальными уравнениями движения агрегата (машины), они также могут быть получены из уравнения Лагранжа второго рода, так как Р и М являются обобщенными силовыми параметрами, а s и ф—обобщенными координатами. Обычно их интегрируют численно или графически и получают таблицу одной из функций, определяющих закон движения, например ф=ф( . Численное или графическое дифференцирование этой функции позволяет определить законы изменения других кинематических параметров, определяющих закон движения звена приведения. [c.304]

Рассмотрим теперь столкновение системы п частиц, взаимодействующих друг с другом (именно этот случай имеет место в кинетической теории газов). Обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или из обобщенной потенциальной функции [c.265]

П.2.4. Обобщенные функции. Введение обобщенных функций позволяет сделать всегда выполнимой операцию дифференцирования (13,81]. [c.219]

В работе [82] рассмотрен метод, базирующийся на так называемых обобщенных функциях температуры. Особенностью этого метода является то, что его применение не требует дифференцирования функций температур, известных из эксперимента. [c.167]

В большинстве практических случаев обобщенные функции f = D W являются обычными, за исключением сосредоточенных особенностей в некоторой подобласти G, при этом вне G порождающая функция fV имеет непрерывные производные. (Здесь D W- оператор дифференцирования функции W). Если рассматривать / как обобщенную функцию, эти особенности будут учтены только в операциях для обобщенных функций через скалярное произведение. [c.31]

Покажем, что это фундаментальное решение удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (п.2.3). Расписывая =х согласно формулам дифференцирования однородных обобщенных функций, получаем [26] [c.173]

Это свойство является обобщением известного правила дифференцирования сложной функции вещественной переменной. [c.239]

Скорости и Сд точек В а О являются функциями обобщенных координат (р, и т. е. Vв — Vg( и = Скорость VQ точки С есть функция обеих обобщенных координат и, таким образом, = VQ (< , <р,). Угловая скорость <ов звена 6 является также функцией обеих обобщенных координат <0в = (0в (<р1, <Р4). По правилу дифференцирования сложных функций получаем из равенств (19.100) [c.488]

Возьмем теперь частную производную от потенциальной энергии V по обобщенной координате Имея в виду, что д входит в V через посредство декартовых координат х , у , и принимая формулу дифференцирования сложных функций, будем иметь [c.330]

Одним из главных соображений в пользу введения понятия обобщенной функции было желание получить класс объектов, для которых дифференцирование всегда возможно. Производная дТ/дх обобщенной функции Т определяется гак [c.59]

Отметим, что операция дифференцирования понижает размерность линейных сплайнов и обобщенных функций, т.е. единичная функция Хевисайда является безразмерной функцией, дельта - функция Дирака имеет отрицательную размерность по отношению к размерности аргумента. Если [х] = М, то д(х - Хо)] = [А/ ] и т.д. [c.7]

ТО вариационные уравнения (1.2.13) удовлетворяются для всех функций yg (Q). Следовательно, в силу определения дифференцирования для обобщенных функции имеем [c.28]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Кинематические передаточные функции находят путем дифференцирования функций положения звеньев по обобщенной координате ф . [c.91]

Кинематические передаточные функции получают дифференцированием соотношений (3.23) — (3,26) по обобщенной координате [c.95]

Если зависимости обобщенных координат от времени известны, то скорости можно найти дифференцированием по времени функции положения. Так, например, для рассмотренного манипулятора с тремя степенями свободы при заданных зависимостях ф1о(/)> 2i(0 фза(0 проекции вектора скорости точки D схвата на оси координат получим, дифференцируя (11.16) повремени [c.329]

Отметим, что в момент мгновенного приложения нагрузки Р I) (т. е. при t = 0) дифференцирование по времени в (7.8) следует понимать в обобщенном смысле. При этом скорости компонент деформации и ее и перемещения и,, содержат сингулярные составляющие вида Де (г) б (1), Дее (г) б (1) и Ди (г) б (1), где Де , Дее, Ди — приращения соответствующих величин в момент = О, аб (О — дельта-функция Дирака. Следовательно, при = О соотношения Коши выполняются именно для приращений деформаций и перемещений. Используя приведенные рассуждения, можно показать, что полученное ниже решение справедливо и для произвольной кусочно-непрерывной нагрузки Р t). [c.116]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

Лежандрово преобразование может быть приложено к лагранжиану, рассматриваемому как функция переменных преобразования ф, а также координат положения и времени t. При этом скорости преобразуются в импульсы, а лагранжиан — в гамильтониан. Преобразование Лежандра при приложении его к уравнениям Лагранжа отделяет дифференцирование по времени от алгебраического процесса и приводит к каноническим уравнениям. В самом деле, определив обобщенный импульс р, через лагранжиан [c.876]

Уравнения движения для каждой обобщенной i-й координаты можно получить по Лагранжу из дифференцирования кинетической Т и потенциальной П энергии и диссипативной функции Ф по Релею [c.23]

Эти уравнения представляют собой систему двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ф1 и ф4. Все коэффициенты этих уравнений могут быть заранее вычислены как функции двух переменных ф1 и <р4- Выше было показано, как определить основные коэффициенты Уц, /и и/44. Что касается других коэффициентов, то все они являются частными производными от этих основных коэффициентов. Так как каждый из основных коэффициентов графически можно представить как поверхность или как семейство кривых, то определить частные производные можно графическим дифференцированием по одной обобщенной координате при фиксированной другой. Выбирая разные положения фиксируемого звена, можно получить семейство кривых-производных, которое и определит искомый коэффициент. Но графическое дифференцирование недостаточно точно. Для получения более точных результатов можно рекомендовать известный из предыдущего метод планов скоростей и ускорений, который был нами применен в связи [c.155]

Определение скоростей движения звеньев и отдельных точек. Скорости и ускорения движения звеньев находятся, как и обычно, дифференцированием по параметру времени t перемещений как функции единственной обобщенной координаты ф = ф (О- Скорости движения исследуемого механизма определяются тензорами скорости звеньев. [c.163]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

Теория обобщенных функпдй полагает, что дифференцирование распределений всегда возможно, т.е. обобщенная функция бесконечно дифференцируема, а п-я производная определяется выражениями [c.14]

Дисперсия и мощность белого шума стремятся к бесконечности, что противоречит механическим и физическим представлениям о реальных процессах. Строго говоря, белый шум вообще нельзя рассматривать как процесс. Формально он получается путем дифференцирования недифференцируемого процесса типа Винера и относится к классу обобщенных функций. [c.17]

Другое интересное свойство обобщенных функций — их диф-ференцируемость сколь угодно много раз в результате каждого дифференцирования получается обобщенная функция, для которой справедлива формула (2.4), если, конечно, рассматриваемые основные функции достаточно гладкие. Цроизводная Т обобщенной функции Т определяется последовательностью обыкновенных функций, состоящей из производных функций, образующих последовательность, определяющую Т (конечно, необходимо набирать ее из непрерывно дифференцируемых функций). [c.18]

Известно, что обобщенное дифференцирование разрывной функции приводит к импульсам Дирака (об этом более подробно можно справиться в нриложении В). В результате в правой части соотношения (4.7) придется умножить разрывную угловую скорость на импульсное угловое ускорение, что весьма затруднительно, так как каждый момент разрыва угловой скорости сопровождается импульсом в угловом ускорении. Так, в задаче 4.1 возникнет известная проблема умножения обобщенных функций. В данной ситуации для преодоления этого затруднения используется подход, изложенный в приложении В, в рамках которого по определению полагается [c.72]

Естественно возникает вопрос о том, где же при реализации первой схемы решения обратной задачи допугцена ошибка Как выяснилось, она была сделана в самом начале решения обратной задачи, когда производным в уравнениях (9.1) движения цилиндра был придан смысл обобгценной производной. Чтобы поступить так, следовало до этого придать смысл произведениям ускорений Dtuj, DtV как обобщенных функций на реализации os (p t), про которые нельзя заведомо сказать, что они гладкие. Такие произведения, кстати, появились в результате неправомерного применения правила Лейбница при обобщенном дифференцировании произведений V os ip и и sin ip при выводе уравнения (9.1) Дело в том, что в пространстве распределений мультипликаторы долоюны быть гладкими. [c.125]

Обобщенные еилы определяютея дифференцированием потенциальной функции по координатам [c.160]

Масса каждой точки ttiv может изменяться в функции обобщенных координат q,, обобщенных скоростей qi и времени t. После выполнения дифференцирования, суммирования и обычных преобразований, применяемых при выводе уравнений Лагранжа, получаем уравнения Лагранжа второго рода для систем с переменными массами [c.301]

Уравнения Лагранжа в общем случае. — Предположим, что координаты х, у, г точек системы выражены в функции от / и от обобщенных координат при помощи уравнений (4) предыдущего пункта. В движении системы параметры и координаты х, у, г представляют собой функции от 1. Условимся считать переменные д, - независимыми при частном дифференцировании, которым мы будем пользоваться, и обозначать штрихами полные производные переменных X, у, г и <7,-, рассматриваемых как функции от t. Если-про-ди( ерен1щровать полным образом первую из формул (4) относительно t, то получим в этих обозначениях [c.216]

Аналогично полу 1аются вырай<ёний длй скорости й ускорения какой-либо точки М, принадлежащей звену к, представленные в функциях обобщенной координаты т. Такие выражения получаются в результате дифференцирования радиуса-вектора точки М по времени. [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...