Разностная схема дивергентная

Разностная схема для одномерного нестационарного течения. Для расчета одномерного нестационарного течения по схеме Годунова используют следующие уравнения, записанные в дивергентной форме [см. форм)/лы (2.40) при v = w = 0] [c.165]

Следствие 7.2. Разностная схема, содержащая уравнение сохранения массы (7.71) в дивергентном виде, М-консервативна при [c.230]

Ранее отмечалось, что полученные здесь конечно-разностные уравнения не являются единственными, которые можно использовать для аппроксимации исходного дифференциального уравнения (5.17). Приведенные выше уравнения оказываются более предпочтительными по следующим причинам а) при их выводе используются некоторые общие принципы б) изучение можно легко распространить на другие геометрии, для которых уравнение переноса представлено в гл. 1 в дивергентной форме, и в) установлено, что полученные результаты оказываются более точными, чем те, которые даются другими разностными уравнениями. Необходимо отметить, что возможные разностные схемы не были исчерпывающе изучены. Например, вариационный подход к решению, изложенный в конце гл. 6, не рассматривался вплоть до 1968 г. [21]. [c.184]

Анализ разностной схемы. В дифференциальном случае уравнение (2.4), выражающее закон изменения внутренней энергии газа, может быть преобразовано с использованием других уравнений системы к дивергентному виду [c.110]

Выясним, как обстоит дело с законом сохранения энергии в разностной схеме (2.7") — (2.11"). Попытаемся преобразовать аналогично дифференциальному случаю разностное уравнение энергии (2.10") к дивергентной форме. Умножим уравнение движения (2.7") на = 0,5(у-Ь у). Учитывая, что [c.110]

Для интегрирования системы уравнений (4.37), записанной в дивергентной форме, применим метод [5, 10, 18], основанный на использовании явной конечно-разностной схемы второго порядка точности. [c.219]

Для первой задачи используется дивергентная конечно-разностная схема 2-го порядка [18], а для второй задачи используется обобщение метода дискретных ординат для вычисления интеграла столкновений. [c.157]

Три различных вида разностного дивергентного уравнения энергии (2.16) — (2,18) отвечают трем различным определениям в схеме кинетической энергии,— в первом случае кинетическая энергия массового интервала определяется по скорости его левого конца 0,5ки , во втором — по скорости правого 0,. 5/гу2( + 1), в последнем случае используется полусумма 0,5((),5/1г -Ь + 0,5/1г (+1) ) = 0,25(у + у ( + 1)). Соответственно в каждом случае определяется и разностный вид работы сил давления. [c.112]

В случае гиперболической системы, записанной в дивергентной форме с конвективными членами вида 9f(u)/9x, схема (4.30) при е = О лишь незначительно модифицируется с учетом того, что q и г становятся аппроксимациями первых и вторых производных по х функции f. Поскольку при этом в правой части второго и третьего уравнений (4.30) вместо и" появляется нелинейная функция f (и ), дпя удобства решения разностных уравнений естественно произвести ее линеаризацию. Кроме того, если схему желательно записать в виде некоторых уравнений баланса, операторы МДо и Л/Дг следует, как и в рассмотренных схемах третьего порядка, заменить на операторы AqM и Д+(7 ,/2 Д-- Легко проверить, что локальный порядок аппроксимации схемы при этом не нарушится, если в окрестности рассматриваемого узла нет смены знаков собственных значений матрицы Q. [c.112]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Уравнение (7.58) записано в дивергентной форме и выражает условие постоянства теплового потока. Введем для уравнения (7.58) неконсервативную разностную схему, для чего исходное уравнение представим в недивергентной форме [c.250]

Самым простым способом получения консервативных схем является метод баланса, основанный на применении дивергентных форм физических законов к ячейкам сетки. Рассмотрим его на примере разностной схемы для расчета потенциального поля. Потенциальные поля описывают стационарный процесс теп.топроводности, электрическое поле рабочего конденсатора при диэлектрическом нагреве и т. д. т Запишем выражение для потока вектора [c.131]

Анализ работ, посвященных изучению свойств разностных законов сохранения, указывает на незавершенность теории априорного исследования консервативности схем и противоречивость оценок. Так, например, большинство авторов для уравнения энергии считает предпочтительней дивергентную форму, а для уравнения сохранения массы — недивергентную (плотность равна массе, деленной на объем). В этих условиях конструктивные предложения, позволяющие из всех возможных разностных схем выбирать в некотором смысле наилучшие, имеют большое зн ение для практических работ по математическому моделированию процессов в твердых телах. [c.217]

Конструирование разностной схемы на первом этапе заключается в выборе нужного количества уравнений из системы законов сохранения, определяющих уравнений и их следствий и обосновании ее полноты. Второй этап заключается в выборе сетки и определении конкретных выражений для Это относится ко всем точкам сетки, в том числе и к граничным. Следуя установившейся терминологии [6], будем называть уравнения (7.71) и (7.73) уравнениями в дивергентной форме, остальные — уравнениями в недивергентной форме, или, проще, дивергентными или недивергентными уравнениями. [c.229]

Теорема 7.1. Дивергентные разностные уравнения механики сплошной среды преобразуются с помощью других уравнений разностной схемы в уравнения недивергентной формы и наоборот. [c.229]

Рассмотрим, с какой точностью выполняется закон сохранения энтропии в разностных схемах с дивергентным и недивергентыым уравнением энергии. Следуя [7—9], ограничимся уравнениями идеальной среды. С одной стороны, такое ограничение упрощает исследование и делает более ясными результаты. С другой — законы сохранейия для идеальной среды являются ядром системы законов сохранения для любых физических процессов в сплошной среде, и, следовательно, их достоинства и недостатки переносятся на неидеальные среды. Кроме того, анализ -консервативности проведен для адиабатического случая, чтобы в чистом виде выделить производство энтропии, определяемое разностной схемой. Иными словами,,исследование -консервативности ограничивается предпо- [c.233]

Проведенное рассмотрение М- и, 5-консервативности в 4 и 5, позволяет утверждать, что эти свойства не связаны с дивергентной или недивергентной формой разностных уравнений. Чтобы определить диссипативные свойства разностной схемы, нужно построить для нее уравнения производства массы и энтропии. Анализ диссипативных свойств схем показывает, что среди схем с дивергентным уравнением энергии есть термодинамически аномальные. Полностью консервативные разностные схемы и большинство схем с недивергентным уравнением энергии термодинамически нормальны, и среди них есть как сильно, тик и слабо диссипативные. [c.236]

Как отмечалось в 4, 5, разностные схемы с разностным урав нением сохранения массы в дивергентном виде, как правило, Ж-неконсервативны. С целью сохранения массы каждой частицы следует применять разностный закон сохранения массы в недивергентном виде. Однако уравнение [c.260]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

В основе предлагаемого численного алгоритма решения уравнений нелинейной динамики балок лежит модифицированная конечно-разностная схема типа крест . От непрерывной системы — балки (пластины) — производится переход к многопараметрической или конечно-разностной модели в два этапа. Первый этап состоит в конечно-разностной аппроксимации дивергентных уравнений движения в усилиях и моментах (3.1.1), что эквивалентно использованию интегро-интерполяционного подхода в аппрокси-мационной записи уравнений сохранения импульса при разбиении балки на К элементов-звеньев. Цроизводные по 0 аппроксимируются по двум значениям в соседних звеньях и относятся к соединениям звеньев — узлам [c.59]

Построение дивергентных, консервативных разностных схем [45, 97, 161, 175, 192], аппроксимирующих на разностной сетке законы сохранения полностью консервативных схем [46, 47, 162, 173] схем, обладающих свойством локальной консервативности [101, 197]. Для этого этапа характерно моделирование сред и элементов конструкций дискретными ячейками, широкое использование лагранжевых сеток [11—17, 51, 52, 56, 82, 86, 175—179], эйлерово-лагранжевых [21, 61, 186] и сеток переменной структуры на основе построения ячеек Дирихле [117, 132]. [c.85]

Уравнения конвекции выражают несколько физических законов сохранения (тепла, массы, завихренности). Дифференциальные уравнения получаются из законов сохранения (уравнений баланса) при достаточной гладкости функций, входяш,их в эти уравнения. В теории и практике метода сеток широко известен интегро-интер-поляционный метод построения разностных схем [12, 14], когда дискретизации на сеточном шаблоне подвергается не дифференциальное уравнение, а соответствую-ш,ее ему уравнение баланса. Метод позволяет конструировать схемы, отражающ,ие в дискретной форме интегральные законы сохранения на сколь угодно больших и на сколь угодно малых участках сеточной области. Такие схемы называются консервативными, или дивергентными. Консервативные схемы, как правило, улучшают точность решения, особенно в качественном отношении. Разностный оператор консервативных схем обладает свойством самосопряженности, которое является одним из определяющ,их условий сходимости различных итерационных алгоритмов решения разностных задач. [c.53]

При расчете разрывных решений обычно используются консервативные уравнения, т. е. уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Прежде всего нун но отметить работу [248], в которой для одномерных дивергентных уравнений газовой динамики разработана разностная схема второго порядка точности. Весьма удобный для расчетов вариант этой схемы разработал Рихтмайер [161]. Он предложил двухшаговый вариант (консервативную схему предиктор-корректор), который в 1962 году обобщил на двумерные нестационарные уравнения. Разностные схемы этого типа носят название схем Лакса — Вепд-роффа. Аналогичная двухшаговая схема для двумерных нестационарных уравнений в неконсервативной форме была предложена в [61, 164, 168]. Стационарный вариант консервативной двухшаговой схемы в случае двух и трех переменных разработан в [125, 126, 165, 167]. Различные варианты двухшаговой схемы рассматривались в [14, 85, 258]. [c.88]

Ото соотношение является разностным аналогом дивергентного уравнения liHeprnn (2.4 ). Оно представляет действующий в рассматриваемой схеме сеточный закон сохранения энергии, записанный для одного массового интервала h на промежутке времени т. Суммирование соотношений (2.16) на сетке по г и (0интегрального закона сохранения энергии. [c.111]

Таким образом, при выполнении условий (3.8) разностная схема (3.1) — (3.4) обладает. чамечательным свойством, аналогичным дифференциальному случаю,— недивергентное уравнение энергии (3.4) посредством тождественных алгебраических преобразований сводится к дивергентному виду [c.118]

Для построения разностных схем развиваются вариационные принципы, интегро-интерполяционные методы и традиционные способы [6]. Требования к разностным схемам становятся более жесткими. Обычные конструкционные требования (точность, гибкость, при выборе шага и т. д.) дополняются рядом новых ограничений. К условию дивергентности схемы (свойство выполнения законов сохранения в разностной форме) добавляются требования близости дисперсионных, диссипативных, групповых свойств исходной задачи и разностной монотонности свойств разностного оператора. [c.127]

Методика расчетов. Решение задачи осуществляется с помощью неявного нефакторизованного метода [8], использующего для аппроксимации пространственных производных разностные схемы четвертого порядка [9]. При этом производится переход к обобщенной криволинейной системе координат с сохранением дивергентной формы исходных уравнений. Это позволяет описывать течение минимально необходимым количеством узлов сетки за счет их сгущения в направлении твердой поверхности, а сами границы обтекаемого тела задавать с помощью координатных линий. [c.82]

Это выражение аппроксимирует дивергентное уравнение энергии (см. с. 306) п выражает разностный закон сохранения энергии в применении к одному массовому интервалу сетки за один шаг по времени. Нетрудно получить и интегральный закон сохранения энергии для всей массы газа на произвольном промежутке времени. Для этого следует просуммировать соотношение (4.29) по У = Уь 71 + 1,. .., 72, где ] и 72 некоторые временные слои, и по /с = 0, 1,. . ., Л —1. Нужно иметь в виду, что для крайних фиктивных интервалов сетки (см. п. 4, 4, гл. II) справ ливы соотношения для левого интервала = О, р(—1) = Рй, II- = Но,(к(р) — 1— ( ф)о1 Г 1 = Гд, = Гд, Ь 1 =(Г0 ) /(ГдГд) И для правого интервала /г.у = О аналогично. В результате полный баланс энергии для схемы (4.28) приобретает вид [c.329]

Отметим, что вычислительные схемы для уравнений Сен-Венана плановой задачи должны обладать, как известно [255], свойствами аппроксимации и сходимости, и, кроме того, как показано в [239] должны удовлетворять условию дивергентности, заключающемуся в том, что законы сохранения, выполняющиеся в исходных уравнениях Сен-Венана (в дивергентной форме), должны выполняться и в конечно-разностных уравнениях, иначе будут накапливаться ошибки при большом времени счета и в зонах больших градиентов или скачков. [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...