Работа виртуальная трения

Рассмотрим теперь тело I, движущееся по поверхности неподвижного тела II. В общем случае силы реакций сводятся к нормальной реакции и к силе трения скольжения, а также к двум парам, оказывающим сопротивление качению и верчению (см. 2, гл. III) виртуальные перемещения тела поступательное перемещение в общей касательной плоскости вместе с точкой контакта в качестве полюса и вращательное перемещение вокруг этой точки. При бесконечно малом перемещении тела работу дает сила трения скольжения на поступательном перемещении и пары сопротивления качению и верчению — на вращательном если движение происходит без скольжения, то элементарная работа силы трения скольжения равна нулю если, как это часто делается, пренебречь работами сопротивления качению и верчению, то эта связь может считаться идеальной ). [c.341]

Заметим, что работа силы трения Т обращается в нуль в том случае, когда скольжение тела А не допускается связью (тело А катится без скольжения по поверхности тела В) в этом случае виртуальное перемещение е точки М есть величина второго порядка малости, и следовательно, при вычислении работ сил и Т мы можем положить е = 0. [c.158]

Д - работа сил трения на виртуальном перемещении системы при условии бд- = О, а 8А - работа сил трения при условии = 0. Что касается активной силы тяжести / jg, то она учтена в L, так что при вычислении и ее [c.257]

Содержание принципа. — Принцип виртуальных работ, или виртуальных перемещений в первый раз в его общей форме был высказан Лагранжем он дал общее правило для определения условий равновесия материальных систем без трения и привел его к общему уравнению, выражающему эти условия. Это уравнение носит название общего уравнения статики. Мы будем называть аналитической статикой ту часть статики, которая основана на применении принципа виртуальных работ. [c.283]

Основная лемма. — Реакции связей, действующих без трения, обладают тем свойством, что сумма их работ на всяком виртуальном перемещении равна нулю в частности это верно и для действительных перемещений. [c.286]

Применение принципа виртуальных перемещений к случаю точки, которая может двигаться без трения по неподвижной кривой или поверхности.— Если точка М может двигаться без трения по неподвижной кривой или поверхности, то сила связи представляет собой нормальную реакцию этой кривой или поверхности. Поэтому выполнение основной леммы здесь очевидно. Реакция в этом случае не производит работы на перемещении, совместимом со связью, ибо последнее, будучи расположено на линии или поверхности, перпендикулярно к реакции связи. [c.288]

Тело, имеющее неподвижную ось. — Силами связи являются в данном случае реакции опор, которые удерживают ось неподвижной. Для отсутствия трения, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы эти реакции могли быть приведены к силам, приложенным в точках оси. Тогда, в согласии с леммой, эти силы не будут производить работы при всяком перемещении, совместимом со связями, т. е. оставляющем неподвижными точки оси. Следовательно, принцип виртуальных перемещений применим в этом случае, и условие равновесия может быть из него выведено. Единственное виртуальное перемещение есть вращение ыЫ вокруг неподвижной оси. Уравнение (1) п 238 приводится к виду [c.294]

Говорят, что трения нет, если эти реакции имеют равнодействующую, проходящую через точку касания и нормальную к обеим поверхностям. В этом случае основная лемма верна, так как равнодействующая реакций, приложенная в точке касания движущегося тела, нормальна ко всякому элементарному перемещению этой точки, совместимому со связями (все такие перемещения лежат в общей касательной плоскости к обеим поверхностям), и потому сумма виртуальных работ сил связи равна нулю. [c.295]

Системы со связями без трения,—Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения, не зависящие от времени. Эти связи могут входить в различные категории, изученные в статике при рассмотрении принципа виртуальных перемещений, например твердые тела, имеющие неподвижную ось или неподвижную точку, твердые тела, сочлененные между собою или скользящие одно по другому, и т. д. Связи могут также выражаться не зависящими от времени уравнениями между координатами различных точек системы или между этими координатами и их вариациями. Такие связи называются связями без трения или идеальными, если работа их реакций равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Работа реакций идеальных связей исчезает из уравнения живых сил, так как действительное перемещение совместимо со связями. Достаточно поэтому учитывать лишь работу других сил, представляющих собою силы прямо приложенные, или активные. Теорема живых сил принимает в этом случае следующую форму [c.17]

Легко видеть, что связи, рассмотренные нами в статике при изучении принципа виртуальных перемещений, будут связями без трения в случае ударов, если они представляют собой связи без трения в случае непрерывных сил. Действие и противодействие двух точек, производящие равные и противоположные ударные импульсы, не дадут никакой работы на таком перемещении, при котором расстояние между точками не изменяется. Нормальная реакция неподвижной поверхности или неподвижной кривой может произвести лишь нормальный ударный импульс, она не даст поэтому никакой работы, если ее точка приложения движется по поверхности или по кривой. Точно так же, если различные [c.48]

Сумма работ всех этих сил равна поэтому нулю для любого виртуального перемещения системы но если сообщить системе какое-нибудь перемещение, совместимое со связями, какими они являются в момент 1, то сумма работ сил связи равна нулю, так как нет трения поэтому работа данных сил и сил инерции также равна нулю. [c.213]

Вместо термина силы реакции можно пользоваться более ясным выражением силы геометрического происхождения . Они задаются геометрическими связями, существующими между различными частями системы, или, как в случае твердого тела, между отдельными материальными точками. Силам реакции мы противопоставляем то, что мы называли внешними силами . Вместо этого можно пользоваться более ясным термином силы физического происхождения или же сторонние силы, приложенные извне . Причина их лежит в физических воздействиях таковы, например, сила тяжести, давление пара, напряжение каната, действующее на систему извне, и т. д. Физическое происхождение этих сил проявляется в том, что в их математическом выражении содержатся особые, поддающиеся лишь опытному определению константы (постоянная тяготения, отсчитываемые по манометру или барометру деления шкалы и т. п.). Трение, о котором мы будем говорить в 14, нужно отнести частично к силам реакции, частично к сторонним силам к первым — если оно является трением покоя к последним — если оно является трением движения (в частности, трением скольжения). Трение покоя автоматически исключается принципом виртуальной работы, трение же скольжения нужно причислить к сторонним силам. Внешне это проявляется в том, что в закон трения скольжения [уравнение (14.4)] входит определяемый экспериментально коэффициент трения /. [c.75]

Хотя условия равновесия материальной точки Р были определены нами в предположении, что односторонняя связь осуществляется первым способом, однако можно считать, что эти условия применимы в значительно более широких пределах. Действительно, при изучении статики произвольной материальной системы мы увидим (ер. гл. XV, 1), что, по крайней мере в идеальном случае, когда можно отвлечься от трения и всякого рода пассивных сопротивлений, механическое действие связей совершенно не будет зависеть от способа их осуществления. В действительности это следствие из основного принципа теоретической механики (принципа виртуальных работ), который будет сформулирован ниже, является лишь приближенным законом. Однако этот закон оказывается полезным, по крайней мере как руководящее правило, также и в реальных случаях, в которых приходится учитывать пассивные сопротивления. Все же в каждом отдельном случае необходимо заботиться [c.14]

Мы не можем пойти по такому длинному пути и примем принцип виртуальных работ как общий постулат, рассматривая его как синтез опытных данных всей механики систем без трения. О абстракт- [c.245]

По этой причине, а также и для того, чтобы следовать историческому ходу развития статики, мы изложим здесь приложение принципа виртуальных работ к аналитической статике, обращаясь к материальным системам, связи которых не зависят от времени-, следует, однако, заметить, что выводы, к которым мы таким образом придем, останутся в силе во всех случаях, если только речь идет о системах без трения. [c.246]

Условие, необходимое и достаточное для равновесия материальной системы со связями без трения (и не зависящими от времени), состоит в том, что сумма элементарных работ активных сил на всяком виртуальном перемещении должна быть равна нулю или меньше нуля. [c.249]

Однако если отвлечься от трения, то очень быстро можно достигнуть цели, обращаясь к принципу виртуальных работ. Этот принцип дает условие равновесия в его окончательной форме, без упомянутого выше введения и последовательного исключения вспомогательных реакций, которое требуется при элементарном способе и которое может стать очень затруднительным, если система состоит из многих частей. [c.259]

Чтобы показать это, достаточно, если речь идет о связях без трения, воспользоваться принципом виртуальных работ, т. е. (предыдущая глава, п. 2) соотношением [c.288]

В 3—6, наоборот, мы будем исходить из деления сил на активные силы и реакции связей и покажем, в предположении отсутствия трения, как и в этом динамическом случае принцип виртуальной работы позволит исключить из дифференциальных уравнений движения в самом общем виде неизвестные реакции. Мы придем таким образом к классическим уравнениям Лагранжа ( 6) и посредством ряда дополнительных выводов, и конкретных примеров покажем их огромную важность как в теоретических вопросах, так и для при- ложений ( 7—9). [c.256]

Это заключение в случае систем со связями без трения объясняет и уточняет замечание, сделанное в общей форме в конце предыдущего пункта. Действительно, мы видим, что с математической стороны замена принципа виртуальных работ совокупностью общего соотношения статики и принципа Даламбера не дает никакого преимущества. Однако если принять во внимание, что вся [c.268]

Далее мы исследовали движение чистого качения, допуская неявно, что плоскость в точке опоры С способна развить такую реакцию Ф, которая обеспечивает условия (6) неголономной связи (и согласуется с принципом виртуальных работ) теоретически этот способ правилен, так как, очевидно, выполняется условие, что работа реакции связи (в силу неподвижности точки С) равна нулю. Однако, физически, нельзя отвлечься от того факта, что реакция Ф как реакция опоры подчиняется закону статического трения, т. е. должна содержаться внутри конуса трения, имеющего вершиною С. Теперь важно отметить, что это условие будет, наверное, удовлетворено в нашем случае, потому что из равномерности горизонтального движения центра тяжести непосредственно следует, что реакция Ф будет вертикальной, т. е. нормальной к плоскости опоры. [c.190]

В гл. V мы видели, что все законы механики материальных систем со связями без трения, по существу, синтезируются в принципе виртуальной работы или, еще лучше, в вытекающем из него общем соотношении динамики, так что, пользуясь этим единственным соотношением, мы в состоянии для какой угодно задачи составить дифференциальные уравнения движения. Тем не менее представляет интерес и оказывается удобным преобразовать общее соотношение динамики таким образом, чтобы прийти к формулам, в основном эквивалентным этому соотношению, но имеющим отличную от него структуру эти формулы с прикладной и эвристической точек зрения допускают или возможные обобщения, выходящие за рамки узко механических задач, или, в некоторых случаях, более быстрый вывод дифференциальных уравнений движения, а с теоретической точки зрения они представляют собой интерпретации, обнаруживающие некоторые общие свойства движения систем, которые, конечно, логически содержатся в принципе виртуальной работы, однако не могут быть непосредственно получены из его первоначальной формулировки. [c.387]

Здесь мы использовали принцип Д Аламбера таким образом, что определили механические системы как такие системы, для которых этот принцип справедлив. Другими словами, мы определили механические системы как такие системы, в которых силы, действующие со стороны связен, не могут совершать виртуальной работы. Можно, конечно, иначе ввести этот принцип (по существу этот другой способ очень мало отличается от того, что мы только что сделали), считая его просто гипотезой, которая оказывается фактически оправданной. Следует, конечно, помнить, что этот принцип теряет силу, как только мы хотим учесть влияние трения. [c.45]

Поэтому в отличие от случая стационарных связей возможное перемещение точки при нестационарной связи будем называть виртуальным перемещением этой точки. Важно заметить, что при отсутствии трения реакция поверхности (175) направлена но нормали к этой поверхности в точке М, а так как виртуальное перемещение точки М лежит в касательной плоскости, то элементарная работа реакции нестационарной связи (175) на всяком виртуальном перемещении точки М равна нулю. [c.545]

Связь —шарнир без трения. Пусть рычаг укреплен шарнирно в неподвижной точке (рис. 18.9). При отсутствии трения виртуальная работа реакции шарнира О будет [c.412]

Перейдем теперь к определению обобщенных сил. Вычислим работу бЛ всех активных сил па виртуальном перемещении системы (если имеются силы трения, то они присоединяются к активным силам) [c.423]

Положение стержня по-прежнему определяется одной обобщенной координатой — углом ф, поэтому выражение для кинетической энергии стержня не изменится. Для составления уравнения Лагранжа нужно определить обобщенную силу Q, соответствующую углу ф, с учетом силы трения Fa- Дадим стержню АВ виртуальное перемещение бф и вычислим суммарную работу ЬА силы тяжести mg и силы трения Рд на этом перемещении (работа нормальных реакций Nj и Ng равна нулю) [c.446]

Пусть ограничение движениям сплошной однородной идеальной жидкости доставляет только замкнутая достаточно гладкая (в математическом смысле — поверхность Ляпунова и без трения) поверхность недеформируемого тела. Взаимодействие при потенциальном обтекании свободного абсолютно твёрдого тела (поверхности) при установившемся движении может описываться с помощью виртуальных работ [c.43]

Изменение действия за счёт виртуальной работы сил вязкого трения, заданных функционалом (8), имеет вид [c.149]

Сила, перпендикулярная к перемещению, не производит работы. ПоэтоА у работа идеальной реакции при виртуальном перемещении равна пулю. Так как существуют связи более сложной природы, выражаемые уравнениями, то указанное свойство принимают как определение и под идеальными связями понимают такие связи, при которых сумма элементарных работ их реакций на всяком виртуальном перемещении системы (или, как говорят, сумма виртуальных работ) равна нулю. Будем считать их связями без трения, стационарными, т. е. не изменяк 1щнлшся со временем, и удерживающими, т. е. не допускающими таких перемеи ений, в результате которых точка освобождается or спя 5И. [c.416]

Идеальные связи представляют модель существующих в прпро-де связей. К ним относятся поверхности и кривые с пренебрежимо малым трением, ибо Nv в этом случае перпендикуляр1ю бГг, шарниры без трения, ибо силы реакции их проходят через ось шарнира, для которой 6fv = 0. В класс механических систем, с идеальными связями входит абсолютно твердое тело. Действительно, его произвольные точки а м Ь находятся на неизменном расстоянии, в результате действия внутренних сил, которые иредставляют реакции связей Na и Nft абсолютно твердого тела. Сумма работ этих сил равна нулю, ибо вводя виртуальные скорости, используя третий закон Ньютона и теорему Грасго([)а, можно записать [c.53]

Когда твердое тело имеет неподвижную точку, то силы связи представляют собою реакции тех внешних тел, которые обеспечивают неподвижность этой точки. Условие отсутствия трения заключается в том, что реакции эти приводятся к одной результирующей, проходящей через неподвижную точку, без пары. Влияние трения равносильно действию пары, стесняющсй свободное вращение вокруг неподвижной точки. В том случае, когда пары нет, сумма виртуальных работ реакций приводится, как мы видим (п° 237), к работе их результирующей, приложенной к неподвижной точке эта работа равна нулю, так как точка приложения силы неподвижна. Таким образом, в согласии с леммой (п 232) работа сил связи равна нулю для всех перемещений, совместимых со связями, и потому принцип виртуальных перемещений применим к данному случаю. [c.293]

Предположим теперь, что поверхность 5, связанная с телом, вынужден катиться и вертеться без скольжения по неподвижной поверхности S. Силы связи в этом случае, как и в предыдущем, представляют собою реакции, производимые неподвижной поверхностью. Попрежнему говорят, что трения нет, если эти реакции имеют равнодействующую, проходящую через точку касания при этом принимают, что равнодействующая приложена в этой точке твердого тела. Но так как скорость точки касания, по предположению, равна нулю при всяком перемещении, со-нместимом со связями, то работа равнодействующей, приложенной к этой точке, также равна нулю, что согласуется с основной леммой. Следовательно, в этом случае можно применить принцип виртуальных перемещений к выводу условий равновесия тела. [c.295]

Для отсутствия трения необходимо, чтобы реакции, производимые на поверхность движущегос/i твердого тела бесконечно малым элементом неподвижной поверхности, имели равнодейсгвующую, проходящую через этот элемент и нормальную к общей касательной плоскости. Эта равнодействующая, будучи приложена в точке твердого тела, которая может скользить по элементу неподвижной поверхности, нормальна к перемещению точки приложения и не производит работы. Таким образом, основная лемма верна, и принцип виртуальных перемещений применим. [c.297]

Все это показывает, насколько желательно установить такие способы, при применении которых реакции автоматически исключались бы из уравнений равновесия при самом составлении этих уравнений, как бы ни были разнообразны и сложны практические приспособления, осущеетвляющие связи. В случае связей без трения такой способ дается так называемым принципом виртуальных работ, который мы сформулируем и разъясним в следующем пункте, а индуктивное обоснование его дадим непосредственно после этого. [c.243]

Реакции, происходят,ие от связей без трения, таковы, что сумма элементарных работ, их равна нулю на всяком виртуальном обратимом перемсгцении и положительна г1ли равна нулю на всяком необратимом перемещении (ср. гл. VI, 3, 4). [c.243]

Заметим, наконец, что свойство реакций, выралсаемое принципом виртуальных работ, не зависит от способа осуществления связей. Это же можно сказать и об общих условиях равновесия, которые мы выведем в ближайшем параграфе из этого принципа для любой материальной системы. Таким образом, будет оправдан тот взгляд на независимость условий равновесия от способа осуществления связей, который был введен как руководящее правило в элементарной статике точки (гл. IX, п. 12) и с надлежащими оговорками, в тех случаях, когда следует принимать во внимание трение и пассивные сопротивления (поскольку эти последние можно представить в виде трения в связях). [c.244]

Две указанные выше классификации сил, действующих на материальную систему, играют ва>1<ную роль в динамике, поскольку с каждой из них связывается целая группа общих теорем и последующих конкретных приложений. Не будет поэтому лишним вспомнить, что аналогичные обстоятельства имели место в статике, где сначала, разделив силы на внешние и внутренние, мы пришли к основным условиям равновесия (т. I, гл. XII), приложимым в качествь необходимых к всевозможным типам материальных систем (например, к стержневым системам, нитям и т. д., гл. XIV) и, в частности, являющимся достаточными для равновесия твердого тела (гл. Х1П) затем в общей статике (гл. XV), отправляясь от разделения сил на активные силы и реакции и присоединяя ограничительные предпо--ложения о природе связей (отсутствие трения), мы пришли, примени принцип виртуальной работы, к исключению неизвестных реакций н условий равновесия. [c.256]

СВЯЗЯМИ без трения, для kotqphx на основании принципа виртуальных работ в его наиболее общей принятой нами форме (т. гл. XV. п. 2) сумма элементарных работ реакций R , независимо от. того, имеется ли равновесие или нет, при всяком виртуальном перемещении положительна или равна нулю, т. е. [c.268]

Общее соотношение динамики установлено при явном предположении, что система находится исключительно под действием заданных активных сил и заданных связей без трения, т. е. реакций, З довлетворяющих принципу виртуальных работ. Но может случиться (и это будет даже более общим случаем), что наряду с этими реакциями действуют другие (в виде пассивных сопротивлений или, в частности, трения, происходящего от шероховатых связей, и т. п.), которые не подчиняются принципу виртуальных работ. В этом предположении способ, посредством которого приходят к общему соотношению динамики, можно повторить с единственным изменением, что в числе сил, прямо приложенных к точке Р,-, наряду с результирующей Fi активных сил в собственном смысле рассматривается и результирующая ф,- указанных выше действий, которые не упоминаются в принципе виртуальных работ. Таким способом приходят к символическому соотношению N [c.269]

Для идеальных жидкостей, т. е. для жидкостей, строго несжимаемых и без внутреннего трения, внутренняя энергия рассматривается как величина постоянная (п частности, если угодно, равная нулю), потому что молекулярные силы, обеспечивающие несжимаемость, имеют характер реакций, происходящих от связей, и, следовательно, при всяком бесконечно малом (виртуальном) перемещении, совместимом с несжимаемостью, совершают полную работу, равную нулю, а это означаеа, что речь идет о силах, являющихся производными от постоянного (или просто ранного нулю) потенциала. [c.285]

ИДЕАЛЬНАЯ СВЯЗЬ — связь, для которой виртуальная работа реакции связи на люЛм виртуальном перемещении системы равна нулю. В частном случае И. — это связь, реакция которой не содержит составлякяцей, обусловленной трением. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...